高中数学必修第一册3.1.3函数的奇偶性

3.1.3函数的奇偶性

最新课

结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.

程标准

新知初探旧主学习——突出基础性

知识点偶、奇函数

1.偶函数

一般地，设函数y=/(x)的定义域为如果对。内的任意一个x,都有一xCD,且八一

%)=Ax)，则称y=黄防为偶函数.

2.奇函数

一般地，设函数y=#x)的定义域为。，如果对D内的任意一个x,都有,且

，则称y=/(x)为奇函数.

3.奇、偶函数的图像特征

(1)奇函数的图像关于成中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标

原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

(2)偶函数的图像关于对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这

个函数是偶函数.

状元随笔奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个

函数一定不具有奇偶性.

基础自测

1.(多选)设是定义在R上的偶函数，下列结论中错误的是()

A.式—x)+y(x)=0B.人一X)—7(x)=0

c.»-X-x)<0D.X0)=0

2.下列函数为奇函数的是()

A.y=\x\B.y=3-x

1

C.y=—D.y=—x2+14

3.若函数xG[—2,a]是偶函数，则a的值为()

A.-2B.2

C.0D.不能确定

4.下列图像表示的函数是奇函数的是,是偶函数的是.(填序号)

课堂探究•素养提升一强化创新性

题型I函数奇偶性的判断[教材P102例1]

例1判断下列函数是否具有奇偶性：

(1)Xx)=》+*3+%5；

(2加x)=N+l；

(3y(x)=x+i；

(4)/(x)=x2,xd[—1，3].

【解析】(1)因为函数的定义域为R,所以xeR时，一xGR.

又因为八一无)=(一尤)+(一尤/+(—X)5=—(x+x3+%5)=-fix),

所以函数负X)=了+；?+2是奇函数.

(2)因为函数的定义域为R,所以xGR时，一xdR.

又因为八一X)=(—x>+1=N+1=/(x),

所以函数负X)=N+1是偶函数.

(3)因为函数的定义域为R,所以xeR时，一xeR.

又因为八一1)=0,XD=2,所以式一1)利：D且式一1)#一式1),

因此函数八一X)=—x+1既不是偶函数也不是奇函数.

(4)因为函数的定义域为[—1,3],而3G[—1,3J,但一3熨-1,3],所以函数启)=/,

x£[-l,3]既不是奇函数也不是偶函数.

激材反思

函数奇偶性判断的方法

(1)定义法:

(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称,

则函数为偶函数.此法多用在解选择、填空题中.

跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：

(1)/(X)=X2(N+2)；

(2汽)=伏+1|一伏一1|；

■J1—y2

(3求x尸?

x+1,x>0,

(4求助=

x+1,x<0.

先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断.

题型2函数奇偶性的图像特征［经典例题］

例2设奇函数;(x)的定义域为［-5,5］,若当xd［O,5］时，式x)的图像如图，则不等式

Ax)<o的解集是.

根据奇函数的图像关于原点对称作图，再求出f(x)<0的解集.

方法屋附

根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根

据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题.

跟踪训练2如图，给出了偶函数y=/(x)的局部图像，试比较式1)与犬3)的大小.

方法一利用偶函数补全图像，再比较f(l)与f(3)的大小;

方法二f(l)=f(—1),f(3)=f(—3),观察图像判断大小.

题型3利用函数奇偶性求参数［经典例题］

利用定义法求a,也可利用特值法f(-l)=-f(l).

例3(1)设函数兀0=竿等为奇函数，贝:

__义2又又0

,是奇函数，则。=________

ax2+x,x<0

方法扳他

由函数的奇偶性求参数应注意两点

(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可

以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.

(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.

跟踪训练3(1)若函数yU)=ox2+bx+3a+6是偶函数，定义域为口-2,2a］,贝。a=

,b=；

(2)已知函数本)=ox2+2x是奇函数，则实数。=.

(1)函数具有奇偶性，定义域必须关于(0,0)对称.

(2)f(0)=0?

题型4函数的奇偶性和单调性的综合应用［经典例题］

例4已知奇函数>=於)，xe(-l,1),在(T,1)上是减函数，解不等式x)+yu

-3x)<0.

状元随笔1.由奇函数得f(—X)=—f(x).

2.函数单调递减，若f(Xl)<f(X2)得X1>X2.

3.定义域易忽略.

方法何林

1.函数奇偶性和单调性的关系

⑴若危)是奇函数，且危)在口,加上是单调函数，贝叱尤)在［一心一网上也为单调函数，

且具有相同的单调性.

(2)若贝X)是偶函数，且式X)在3,切上是单调函数，则本)在［-6,一可上也为单调函数，

且具有相反的单调性.

2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法

(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为其为)>八彳2)或八X1)

〈4刀2)的形式，再利用单调性脱掉'了'求解.

(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等

式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响.

跟踪训练4(1)已知函数y=/(x)在定义域［―1,1］上是奇函数，又是减函数，若八1一层)

+/(1-«)<0，求实数a的取值范围.

(2)定义在［-2,2］上的偶函数人劝在区间［0,2］上单调递减，若八1—附<犬利)，求实数

m的取值范围.

状元随笔(1)可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系，再利用单

调性转化为自变量的关系.

(2)两个自变量1—m,m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理.

3.1.3函数的奇偶性

新知初探咱主学习

知识点

2.~x^D

3.⑴原点(2)y轴

［基础自测］

1.解析：由偶函数的定义知八-x)=/(x),

所以7(一x)—y(x)=。正确,八一x)+y(x)=。不一定成立.

八一X)贝X)=[/(X)]220,

犬0)=0不一定成立.故选ACD.

答案：ACD

2.解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数

为奇函数.

答案：C

3.解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以-2+。=0,所以a=2.

答案：B

4.解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数.

答案：⑵(4)⑴⑶

课堂探究•素养提升

跟踪训练1解析：(1),.”GR,.xdR.

又,//一X)=(-x)2[(一尤)2+2]=X2(X2+2)=/X),:.的为偶函数.

(2)：xGR,尤GR.

又•••火一劝=|一尤+1|一|-%—1|=枕一1|一仇+1|=一(仅+1|一仇一1|)=一八%),

.•扰X)为奇函数.

(3辿好的定义域为[―1,0)U(0,1],

即有一IWxWl且xWO,则一1W—尤W1,且一尤W0,

又..7(—x)=正于己=—亨=:或X)为奇函数.

(4)/(x)的定义域是(-8,0)U(0,+8),关于原点对称.

当x>0时，-x<0,/(—x)=l—(—x)=l+x=y(x)；

当x<0时，一x>0,五一尤)=1+(一尤)=1-x=/(x).

综上可知，对于尤e(—8,o)u(0,+8),都有五-x)=/(x),«x)为偶函数.

例2【解析】由奇函数的性质知，其图像关于原点对称，则"r)在定义域[—5,5]

上的图像如图，由图可知不等式"x)<0的解集为{x|—2<x<0或2<xW5}.

【答案】{x|-2<x<0或2<xW5}

跟踪训练2解析：方法一因函数八x)是偶函数,

所以其图像关于y轴对称，补全图如图.

由图像可知人1)勺(3).

方法二由图像可知4-1)勺(一3).

又函数y=/(x)是偶函数，

所以八一D=/U),八一3)=73),

故式1)53).

例3【解析】⑴方法一(定义法)由已知人-x)=一/(x),

gp(-x+l)(-x+a)(x+l)(x+a)

-xX

显然得，x2—(〃+l)x+a=12+(〃+1)%+〃，

故〃+1=0,得a=-1.

方法二(特值法)由九0为奇函数得八一1)=—41),

即(-1+1)(-l+a)(l+l)(l+a)

-11'

整理得a=-1.

(2)(特值法)由加c)为奇函数，得4-1)=一式1),

即aX(-l)2+(-l)=-(-l2+l),

整理得4—1=0,解得4=1.

【答案】(1)-1(2)1

跟踪训练3解析：(1)由1x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，

故有a—2+2a=0,解得a=|.

又兀0为偶函数，所以其图像关于y轴对称，

即一9=0,解得。=0.

2a

(2)由八力为奇函数得八一x)=即X-x)+»=O,

所以a(—x)2+2(—x)~\~ax2~\~2x=0.

即2ax2=0,所以a=0.

答案：(1)|0(2)0

例4【解析】：y=")，xG(—1,1)是奇函数，

—x)+yu—3x)<0可化为犬1—X)<一A1—3x),

即加一x)勺(3x—1).

又在(一1,D上是减函数,

r-1<1-%<1,fo<x<2,

.,./I—x)</(3x—-1<1-3x<1,，0<3%<2,o

、1-x>3%—1［x<|

0<%<