专题05二次函数和一元二次方程不等式（4知识点6题型）(原卷版)

专题05：二次函数和一元二次方程、不等式（4知识点+4题型）二次函数和一元二次方程、不等式二次函数和一元二次方程、不等式常考题型不等式恒成立问题绝对值不等式解法分式不等式的解法一元二次不等式及解法题型一：不含参的不等式解法题型二：已知一元二次方程不等式的解集，求参数问题题型三：含参的不等式解法题型四：恒成立问题知识点一：知识点一：一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是，其中均为常数，.满足一元二次不等式的实数组成的集合叫做一元二次不等式的解集，即或.解一元二次不等式的一般步骤是：方法一：对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零，即标准形式（或＜0或≥0或≤0），.计算相应方程的根的判别式；当时，求出相应的一元二次方程两根.根据一元二次不等式解的结构，写出解集.（5）当时，二次函数图象开口向上．（6）=1\*GB3①若，解集为．=2\*GB3②若，解集为．=3\*GB3③若，解集为．（2）当时，二次函数图象开口向下．=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为三个“二次”之间的关系如图：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图不等式的解集f(x)>0{x|x<x1或x>x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}Rf(x)<0{x|x1<x<x2}∅∅知识点二、知识点二、分式不等式的解法分式不等式的解法（1）（2）（3）（4）知识点三：知识点三：绝对值不等式解法绝对值不等式的解法（1）（2）；；含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解知识点四：不等式恒成立问题1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).（5）)对于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立时，最高次数的系数含参要考虑为零情况。2．区间恒成立问题.函数在某区间恒成立时，若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.题型一：不含参的不等式解法解题思路：一元二次不等式解法对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零，即标准形式（或＜0或≥0或≤0），.（2）=1\*GB3①若，解集为．=2\*GB3②若，解集为．=3\*GB3③若，解集为．当时，二次函数图象开口向下．=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为分式不等式的解法（1）（2）（3）（4）绝对值不等式的解法（1）（2）；；例1．（多选题）下列命题为真命题的是（

）A．若，则解集为 B．若，则解集为C．若，则解集为 D．若，则解集为例2．不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．例3．不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．4．不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．5．不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．6．关于x的不等式的解集为.7．不等式的解集是.8．求不等式的解集：．题型二：已知一元二次方程不等式的解集，求参数问题解题思路：利用一元二次方程不等式的解集，即为这个解集两个数为这个方程的两个根；在利用韦达定理求参数。例1．已知的解集是，则，例2．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．例3．已知不等式的解集为，且，则（

）A．－1 B．1 C．3 D．－1或3例4．（多选题）关于的不等式的解集为，则下列正确的是（

）A．B．关于的不等式的解集为C．D．关于的不等式的解集为变式训练5．已知不等式的解集为，则．6．已知不等式的解集为，则的解集为（

）A． B．C．或 D．或7．（多选题）若不等式的解集是，则下列选项正确的是（

）A． B．且C． D．不等式的解集是题型三、含参的不等式解法解题思路：含参的不等式解法的步骤： 首先要看最高最次数的系数是否含参；如果含参数要讨论等于零、大于零和小于零的情况；令不等式等于零求出各根x1和x2，如果两个大小不确定，要讨论根大小分等于零、大于零和小于零的情况。数轴标根，穿针引线若不等式（最高次数的项的符号化为“+”后）“＞0”，则找“线”在数轴上方对应的的取值范围；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方对应的的取值范围.例1．已知函数，(1)若的解集为，求的值；(2)若，求不等式的解集.例2．讨论关于x的不等式的解集．例3．已知关于的不等式的解集为或(1)求的值;(2)解关于x的不等式变式训练：4．已知关于x的不等式的解集为或，(1)求a，b的值．(2)当时，解关于x的不等式．5．已知函数(1)若的解集是，求的值.(2)若，解关于的不等式.题型四、恒成立问题解题思路1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).（5）)对于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立时，最高次数的系数含参要考虑为零情况。2．区间恒成立问题.函数在某区间恒成立时，若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.例1．已知函数（a，b为实数）过点(1)对于，有恒成立，求实数a的取值范围；(2)对于，有恒成立，求实数a的取值范围．例2．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例3．若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围（

）A． B． C． D．变式训练：24．不等式对于一切恒成立，的取值范围是（

）A． B． C． D．25．若对一切恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．26．当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是．27．一元二次不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为．28．若时，关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是．29．已知函数(1)求关于x的不等式的解集；(2)若在区间上恒成立，求实数a的范围.一、单选题1．不等式的解集是（

）A． B．或C． D．2．不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．3．设a、b、c为实数，不等式的解集是或，则（

）A． B． C． D．4．不等式的解集为（

）A． B． C． D．5．若方程有2个相等的实数根，则不等式的解集为（

）、A．或. B．或.C． D．6．已知一元二次不等式的解集为或，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．17．对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或8．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（

）．A． B． C． D．二、多选题9．已知关于x的不等式的解集为，则（

）A．B．C．不等式的解集为D．不等式的解集为10．已知关于的不等式的解集为，则（

）A．的解集为B．的最小值为C．不等式的解集为D．的最大值为三、填空题11．已知不等式的解集为，那么不等式的解集为．四、解答题12．已知关于的不等式的解集为或.(1)求，的值；(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.13．（1）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.14．某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1