2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练6　函数的单调性与最大(小)值

考点规范练6函数的单调性与最大(小)值一、基础巩固1.(2021北京,3)已知f(x)是定义在区间[0,1]上的函数,那么“函数f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A解析:若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1),若f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1),比如f(x)=x-但f(x)=x-132在区间0,1故f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)推不出f(x)在区间[0,1]上单调递增,故“函数f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件.2.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)内都单调递减,则y=ax2+bx在区间(0,+∞)内(A.单调递增 B.单调递减C.先单调递增后单调递减 D.先单调递减后单调递增答案:B解析:因为函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)内都单调递减所以a<0,b<0.所以y=ax2+bx图象的对称轴为直线x=-b2a<故y=ax2+bx在区间(0,+∞)内单调递减,选B.3.设函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,gA.(-∞,0] B.[0,1) C.[1,+∞) D.[-1,0]答案:B解析:由题知,g(x)=x2,x>1,0,x4.(多选)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中正确的是()A.f(xB.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)>f(x2)答案:AB解析:由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上单调递增,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;对于选项C,D,因为x1,x2的大小关系无法判断,所以f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断,故C,D不正确.5.若函数f(x)=kx在区间[2,4]上的最小值为5,则k的值为(A.10 B.10或20 C.20 D.无法确定答案:C解析:当k=0时,不符合题意;当k>0时,f(x)=kx在区间[2,4]上单调递减,∴f(x)min=f(4)=k4∴k=20,符合题意;当k<0时,f(x)=kx在区间[2,4]上单调递增,∴f(x)min=f(2)=k2∴k=10.又k<0,∴k=10舍去.故k的值为20.6.函数f(x)=1x,x≥1答案:2解析:当x≥1时,函数f(x)=1x单调递减,即f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2故函数f(x)的最大值为2.7.函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是.

答案:[1,2]解析:由题意知,f(x)=x作出f(x)的图象,由图知f(x)的单调递减区间是[1,2].8.写出一个值域为(-∞,1),在R上单调递增的函数f(x)=.

答案:1-12解析:f(x)=1-12x,∵y=12x为R上的减函数,且1∴f(x)=1-12x为R上的增函数,且f(x)=1-12x<1,∴f(x)=1-12x9.若f(x)=(3a-1)x+4a答案:[18解析:由题意知,3解得a<13,a≥110.已知函数f(x)=2x-1x+1(1)判断函数f(x)在区间[3,5]上的单调性,并给出证明;(2)求该函数在区间[3,5]上的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)在区间[3,5]上单调递增,证明:设任意x1,x2,满足3≤x1<x2≤5.因为f(x1)-f(x2)=2x1-1x又3≤x1<x2≤5,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)=2x-1x(2)由(1)可知f(x)min=f(3)=2×3-13+1=54,f(二、综合应用11.(多选)下列说法正确的是()A.函数y=2x2+x+1在区间(0,+∞)内单调递增B.函数y=1x+1在区间(-∞,-1)∪(-1,+C.函数y=5+4x-x2的单调区间是[-D.已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)答案:AD解析:由函数y=2x2+x+1=2x+142+78在区间-14,+∞内单调递增知,函数y=2x2+x+函数y=1x+1在区间(-∞,-1)和(-1,+∞)内均单调递减,但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)内不单调递减,如-2<0,但1-2+1<函数y=5+4x-x2在区间[-2,-1)和(5,+∞)内无意义,从而在区间[-2,+∞)内不是单调函数,由a+b>0得a>-b,因为f(x)在R上单调递增,所以f(a)>f(-b),同理f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),故D正确.12.已知函数f(x)=log13(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是(A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.-12,2答案:D解析:设y=f(x),令x2-ax+3a=t.∵y=f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,∴t=x2-ax+3a在区间[1,+∞)内单调递增,且满足t>0.∴a2≤1,12-a故实数a的取值范围是-113.已知函数f(x)=12-x2+2A.-2 B.2 C.-1 D.1答案:B解析:∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,∴12-x∴f(x)的值域为[2,+∞).∵y1=12x在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为[m,+∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).由条件知m=2.14.已知函数f(x)=2x+mx+1,x∈[0,1],若f(x)的最小值为5A.32 B.C.3 D.52答案:C解析:函数f(x)=2x+mx+1,即f(x)=2+当m=2时,f(x)=2,不成立;当m-2>0,即m>2时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,可得当x=1时,f(x)取得最小值,且2+m2=52,当m-2<0,即m<2时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,可得当x=0时,f(x)取得最小值,且m=52,不成立综上可得,m=3.15.已知函数f(x)=e-x,x≤0,-x3,x>0,若f答案:-解析:因为f(x)=e-x,x≤0,-x3,x>0,当x≤0时,f(x当x>0时,f(x)=-x3单调递减,且f(x)<0,所以函数f(x)=e-x,x因为f(a-1)≥f(-a),所以a-1≤-a,解得a≤12,即不等式的解集为-16.函数f(x)=13x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为答案:3解析:因为y=13x在R上单调递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,1]所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.三、探究创新17.如果函数y=f(x)在区间I上单调递增,且函数y=f(x)x在区间I上单调递减,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫作“缓增区间”.若函数f(x)=12x2-x+32是区间I上的“缓增函数”,则“A.[1,+∞) B.[0,3]C.[0,1] D.[1,3]答案:D解析:因为函数f(x)=12x2-x+32图象的对称轴为所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.又当x≥1时,f(x)x=12x-1+32x,令g(x)=12x-1+32x由g'(x)≤0得1≤x≤3,即函数f(x)x=12x-1+32x在区间[1,3]上单调递减,故18.已知减函数f(x)的定义域是实数集R,m,n都是实数.如果不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是()A.m-n<0 B.m-n>0C.m+n<0