2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练24　三角函数模型的应用

考点规范练24三角函数模型的应用一、基础巩固1.已知弹簧振子的振幅为2cm,在6s内振子通过的路程是32cm,由此可知该振子振动的()A.频率为1.5Hz B.周期为1.5sC.周期为6s D.频率为6Hz答案:B解析:振幅为2cm,振子在一个周期内通过的路程为8cm,易知在6s内振动了4个周期,故周期T=1.5s,频率f=1T=12.一个直径为6m的水轮如图所示,水轮圆心O距水面2m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点P到水面的距离y(单位:m)与时间x(单位:s)之间满足关系式y=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0),y<0表示点P在水面下,则有()A.ω=π15,A=3 B.ω=2π15C.ω=π15,A=6 D.ω=2π15答案:A解析:由题意可知A为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为T=602=30s,所以ω=23.如图,一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从点P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数解析式是()A.h(t)=-8sinπ6t+10 B.h(t)=-cosπ6C.h(t)=-8sinπ6t+8 D.h(t)=-8cosπ6答案:D解析:设h=Asin(ωt+φ)+B,由题意可得hmax=18,hmin=2,T=12,A=ℎmax-ℎmin2=8,B=ℎmax+ℎmin2=10,ω当t=0时,8sinφ+10=2,得sinφ=-1,可取φ=-π2所以h=8sinπ6t-π2+10=-4.如图,在平面直角坐标系Oxy中,质点M,N间隔3分钟先后从点P绕原点按逆时针方向做角速度为π6弧度/分钟的匀速圆周运动,则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间为(A.37.5分钟 B.40.5分钟C.49.5分钟 D.52.5分钟答案:A解析:设圆O的半径为1,质点N的运动时间为t(单位:分钟),由题意可得,yN=sinπ6t-π2=-cosπ6t,yM=sin[π6(t+3)-π2]=sinπ6t,则令sinπ6t+π4=1,解得π6t+π4=2kπ+π2,故M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间为3×12+32=37.5(分钟)5.(多选)某时钟的秒针端点A到时钟的中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转.当时间t=0时,点A与钟面上标“12”的点B重合,将A,B两点的距离d(单位:cm)表示成t(单位:s)的函数,则d等于(),其中t∈[0,60].A.10sinπt60 B.C.10cos(30-t)π答案:AC解析:依题意作出图形,如图.因为∠AOB=t60×2π=πt30,所以经过ts秒针转了π30t过点O作OD⊥AB于点D,∠AOD=12∠AOB=π在Rt△AOD中,有sinπt所以d=10sinπt60或d=10cosπ2-πt60=10cos6.根据市场调查,某种商品一年内出厂单价在7000元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9000元,9月份价格最低,为5000元,则7月份的出厂价格为元.答案:6000解析:作出函数简图如图,三角函数模型为y=Asin(ωx+φ)+B,由题意知A=12×(9000-5000)=2000,B=7000,周期T=2×(9-3)=12,则ω=2将点(3,9000)看成函数图象的第二个特殊点,则有π6×3+φ=π2,得φ=0,故f(x)=2000sinπ6x+7000(1≤x≤12,x∈N*),即f(7)=2000×sin7π6+7000=6故7月份的出厂价格为6000元.7.去年某地的月平均气温y(单位:℃)与月份x近似地满足函数解析式y=a+bsin(π6x+φ)(a,b为常数,0<φ<π2).其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为℃,φ=x5811y/℃133113答案:-5π解析:由题意,得当x=5+112=8时,sin(π6×8+φ)=±因为0<φ<π2,所以4π3<4π3+φ<11π6,则4π3+φ=3π2,φ=π6,y=a+bsinπ6x+π6二、综合应用8.(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具,亦称“水转简车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具.如图,一个半径为R的水车,以水车的中心为原点,建立平面直角坐标系.一个水斗从点A(3,-33)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过t秒后,水斗旋转到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标与时间t满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2,则下列叙述正确的是()A.φ=-πB.当t∈(0,60]时,函数y=f(t)单调递增C.当t∈(0,60]时,|f(t)|的最大值为33D.当t=100时,|PA|=6答案:AD解析:由题意,R=32+(-33)2=6,周期当t=0时,y=-33,把(0,-33)代入f(t),可得-33=6sinφ,解得sinφ=-32.因为|φ|<π2,所以φ=-π3则f(t)=6sinπ60t-π3当t∈[0,60]时,π60t-π3∈-π3,2π3当t∈[0,60]时,点P到x轴的距离的最大值为6,C错误;当t=100时,π60t-π3=4π3,点P的纵坐标为y=-33,横坐标为x=-9.下表是某地近30年的月平均气温(华氏度).月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴,令x=月份-1,以平均气温为y轴.(1)作出散点图.(2)用正弦型曲线去拟合这些数据.(3)第(2)问中所求得的正弦型曲线对应的函数的周期T是多少?(4)估计这个正弦型曲线的振幅A.(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据?①yA=cosπx6;②y-③y-46-A=cosπx6;解:(1)(2)如图所示.(3)1月份的平均气温最低,为21.4华氏度,7月份的平均气温最高,为73.0华氏度,根据图知,T2=7-1=6,所以T=12(4)2A=平均最高气温-平均最低气温=73.0-21.4=51.6,得A=25.8.(5)因为x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0,代入①,得yA=26.025.8>1代入②不合适,同理④也不合适,所以应选③.三、探究创新10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮轮盘直径为124米,设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点时距离地面145米,匀速转动一周大约需要30分钟.以游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数解析式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|≤π2),求摩天轮转动一周对应的解析式H(t)(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度第一次恰好达到52米?(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔5个座舱,在摩天轮转动一周的过程中,设两人距离地面的高度差为h米,求h的最大值.解:(1)由题意,H(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|≤π2),摩天轮的最高点距离地面145米,最低点距离地面145-124=21米,则B+A=145,B因为周期为30分钟,ω>0,所以ω=2π所以H(t)=62sin(π15t+φ)+83因为H(0)=62sinπ15×0+φ+83=21,所以sinφ=-1,又|φ|≤π2,故H(t)=62sinπ15t-π2+83(0(2)由(1)知,H(t)=62sinπ15t-π2+83令-62cosπ15t+83=52,则c