2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练45　双曲线

考点规范练45双曲线一、基础巩固1.设曲线C是双曲线,则“双曲线C的方程为x2-y24=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±2x”的(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.在平面直角坐标系Oxy中,已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为AA.x22−y28=1 BC.x24−y216=1 D.3.已知离心率为52的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M为双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MFA.32 B.16 C.84 D.44.(2021全国Ⅱ,理5)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为双曲线C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率为()A.72 B.132 C.7 D5.已知双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使sin∠PF2A.3 B.2 C.-3 D.-26.已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,B为渐近线上一点,O为坐标原点.若四边形A.2 B.3 C.2 D.2+17.(2021新高考Ⅱ,13)若双曲线x2a2−y2b2=8.如图,F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线与圆x2+y2=a2(a>0)相切,切点为T,且交双曲线的右支于点P,若29.分别求满足下列条件的方程:(1)焦点在x轴上,长轴长为10,焦距为4的椭圆的标准方程;(2)一个焦点为(-3,0),渐近线方程为y=2x的双曲线的标准方程.10.已知双曲线C的离心率为3,且过点(3,0),过双曲线C的右焦点F2,作倾斜角为π3的直线交双曲线C于A,B两点,O为坐标原点(1)求双曲线C的标准方程;(2)求△AOB的面积.二、综合应用11.(多选)设F1,F2分别是双曲线C:x2m+n−y2m-nA.m=2B.当n=0时,双曲线C的离心率是2C.点F1到渐近线的距离随着n的增大而减小D.当n=1时,双曲线C的实轴长是虚轴长的2倍12.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为M,N,点P在双曲线C的渐近线上,PFA.y=±22x B.y=±3C.y=±2x D.y=±2313.已知双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),圆C2:x2+y2-2ax+34a2=0,若双曲线C1的一条渐近线与圆CA.(1,233) B.(233C.(1,2) D.(2,+∞)14.已知双曲线C的中心在原点,F(-2,0)是一个焦点,过F的直线l与双曲线C交于A,B两点,且AB的中点为N(-3,-1),则双曲线C的方程为.

15.已知以直线y=±3x为渐近线的双曲线D:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P16.设双曲线C:x2-y2b2=1(b>0)的右焦点为F,点Q(0,b),已知点P在双曲线C的左支上,若△PQF的周长的最小值为8,则双曲线C的离心率为,此时,点P的坐标为17.某高校的人工智能兴趣小组策划开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图,A,B两个信号源相距10米,O是AB的中点,过点O的直线l与直线AB的夹角为45°,机器猫在直线l上运动,机器鼠沿某一曲线运动,且始终有接收到点A的信号比接收到点B的信号晚8v0秒(注:信号每秒传播v0米).在时刻t0时,测得机器鼠距离点O(1)以O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图),求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标;(2)假设机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时,有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变,是否有“被抓”的风险?18.(2022新高考Ⅰ,21)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2-1=1(a>1)上,直线l交C(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.三、探究创新19.已知一族双曲线En:x2-y2=n1020(n∈N*,且n≤1020),设直线x=2与双曲线En在第一象限内的交点为An,点An在双曲线En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,记△AnBnCn的面积为an,则a1+a2+a3+…+a1020=

考点规范练45双曲线1.A若双曲线C的方程为x2-y24=1,则渐近线方程为y=±2x;若渐近线方程为y=±2x,则双曲线C的方程为x2-y24=λ(λ≠0).所以“双曲线C的方程为x2-y24=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±2x2.D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2.又双曲线C的离心率为5,所以1+b2a2=5,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4.所以双曲线C的方程为x2-y3.B由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=bax上,由题意可知|F2M|=bca2+b2=b由S△OMF2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,ca=52,所以a=8,b=4,c=454.A不妨设|PF2|=1,则|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7,所以2c=|F1F2|=7,所以c=7由双曲线的定义,可知2a=|PF1|-|PF2|=2,所以a=1.所以离心率e=c5.B由题意及正弦定理得sin∠PF∴|PF1|=2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=4,由余弦定理可知cos∠PF2F1=|P∴F2P·F2F1=|F2P|·|F2F1|·cos故选B.6.D依题意,双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F为(c因为四边形OFAB为菱形,点A在双曲线C的右支上,且在x轴上方,点B在渐近线上,所以点B在渐近线y=-bax上,|OB|=|AB|=|OF|=c如图,设点Bx,-bax,x<0,则|OB|=x2+-bax2=c,因为AB∥OF,所以点A的纵坐标为b,代入双曲线C的方程,可得点A(2a,b).所以|AB|=2a+a=c,所以e=ca=27.y=±3x由已知得e=ca=2,即c=2a又a2+b2=c2=4a2,所以b2=3a2,所以b故此双曲线的渐近线方程为y=±3x.8.132如图,连接OT,PF2,则OT⊥PF1,过F2作F2Q∥因为2F1T=TP,|OF1|=c,|OT|=a,所以|TF1|=|TQ|=|QP|=b,|QF2|=2a,|PF2|=|PF1|-2a=3b-2a.在Rt△PQF2中,(3b-2a)2=(2a)2+b2,整理得所以双曲线C的离心率e=139.解(1)因为椭圆的长轴长为10,所以a=5.由椭圆的焦距为4,可得c=2,则b=21又焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为x225+(2)双曲线的一个焦点为(-3,0),则c=3.又渐近线方程为y=2x,所以ba=2.又a2+b2=c2,所以a2=1,所以双曲线的标准方程为x2-y22=10.解(1)由题意可得,双曲线C的焦点在x轴上,且a=3,ca=3,b2=c2-a2,解得a2=3,所以双曲线C的方程为x23−(2)由(1)可得F2(3,0),由题意可知直线方程为y=3(x-3).设点A(x1,y1),B(x2,y2),由y=3(x-3),2x2则有x1+x2=18,x1x2=33.可得y1-y2=3[(x1-3)-(x2-3)]=3(x1-x2),所以S△AOB=12|OF2|·|y1-y2|=12×3×故△AOB的面积为36.11.AC对于A,由题意,可知a2=m+n,b2=m-n,所以c2=a2+b2=m+n+m-n=2m.因为2c=4,所以c=2,所以c2=2m=4,可得m=2.故A正确.对于B,当n=0时,双曲线C:x22−y22=1,此时a=b=2所以离心率e=ca=2.对于C,由已知得点F1(-2,0),渐近线方程为2-nx±2+ny=0,则点F1到渐近线的距离d=|-22-n|2=2对于D,当n=1时,a=2+1=3,b=2-所以双曲线C的实轴长为23,虚轴长为2,此时实轴长不是虚轴长的2倍,故D不正确.12.D连接OP(图略),由PF1·PF2=0,可得△PF1F2为直角三角形,故|OP|=1不妨设点P在渐近线y=bax上,且在第一象限在△OPN中,tan∠PON=ba,则cos∠PON=又|ON|=a,则|PN|2=|OP|2+|ON|2-2|OP|·|ON|·cos∠PON,解得|PN|=b.由|OP|2-|ON|2=|PN|2知PN⊥ON,即PN⊥MN.故在Rt△PMN中,tan∠MPN=|MN||PN|=2a13.A由双曲线C1的方程可得渐近线方程为y=±bax,即bx±ay=0,圆C2的标准方程为(x-a)2+y2=14a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径r=12a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得|ab|a2+b2<12a,即c>2b,即c2>4b2.又b2=c2-a2,所以c2>4(c2-a2),即c2<43a2,所以e=ca<14.x23-y2=1因为F(-2,0),N(-3,-1),所以直线AB的斜率k=1.设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),则a2+b2=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-6,由x12a2−y12b2=1,x22a2−y22b2=所以a2=3,b2=1.所以双曲线C的方程为x23-y2=15.(0,12]∵双曲线D:x2a2−y2b2=1(a>0∴ba=3,可得b=3a,c=a∵P为双曲线D右支上一点,∴|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c,∴0<|∵c=2a,∴ac=12,∴|165(-52,1)如图,设F'为双曲线C的左焦点,连接PF',则|QF'|=|QF|,|PF|=|PF'|+2,所以△PQF的周长l=|PQ|+|PF|+|QF|=|PQ|+|PF'|+|QF|+2.因为|PQ|+|PF'|≥|QF'|=c2+b2,所以△PQF的周长l≥2因为△PQF的周长的最小值为8,所以2c2+b2+又b2+1=c2,所以b=2,c=5,所以双曲线C的离心率为c当△PQF的周长取最小值时,点P在直线QF'上,易知直线QF'的方程为y=255x+由y=255x+2故点P的坐标为-52,1.17.解(1)设机器鼠所在位置为点P,由题意可得|PA|v0−|PB|v0=8v0,即|PA|-|PB|=8<10,可得P的轨迹为双曲线的右支,且2c=10,2a=8,即有c=5,a=4,b=3,则P的轨迹方程为x216−y29=1(x≥4),时刻t(2)设与直线l平行的直线l1的方程为y=x+m,将其代入轨迹方程x216−y29=1(x≥4),可得7x2+32mx+16m2+144=0,当直线l1和轨迹相切时,Δ=(32m)2-28(16m2+144)=0,解得m=-7或m=7(舍去),则l1的方程为y=x-7,切点即为双曲线右支上距离l最近的点,此时l与l1的距离为d=|-7|2=故机器鼠保持目前运动轨迹不变,没有“被抓”的风险.18.解(1)∵点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2∴4a2−1a2-1∴双曲线的标准方程为x22-y2=易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+m,点P(x1,y1),Q(x2,y2),由x2-2y2=2,y=kx+m,得(1-2k2)x2∴Δ>0,x1+x2=4km1-2k2,设直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ,则kAP+kAQ=y1-1∴(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=0,∴(kx1+m-1)(x2-2)+(kx2+m-1)(x1-2)=0,整理,得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,∴2k(-2m2-2)+4km(m-1-2k)-4(m-1)(1-2k2)=0,即2k2+k(m+1)+m-1=0,(k+1)(2k+m-1)=0.∴k=-1或m=1-2k,把m=1-2k代入y=kx+m,得y=kx+1-2k=k(x-2)+1,此时直线PQ过点A(2,1),舍去,∴k=-1,即直线l的斜率为-1.(2)由(1)知,直线l的方程为y=-x+m,x1+x2=4m,x1x2=2m2+2,则x12+x22=∴|PQ|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x∴△PAQ的面积S△PAQ=12d·|PQ|=2|3-m|由tan∠PAQ=22,得cos∠PAQ=13,sin∠PAQ=∴S△PAQ=12|PA||QA|sin∠PAQ=23∴13|PA|·|QA|=|3在△PAQ中,由余弦定理,得cos∠PAQ=|∴|PA|2+|QA|2-|PQ|2=(x1-2)2+(y1-1)2+(x2-2)2+(y2-1)2-(x1-x2)2-(y1-y2)