2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练55　古典概型、条件概率与全概率公式

考点规范练55古典概型、条件概率与全概率公式一、基础巩固1.某市气象监测资料表明,清明节当天下雨的概率为0.9,清明节当天及随后一天都下雨的概率为0.63.若该市某年清明节当天下雨,则随后一天也下雨的概率为()A.0.63 B.0.7 C.0.9 D.0.5672.将三枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A=“三个点数都不同”,B=“至少出现一个3点”,则概率P(A|B),P(B|A)分别是()A.6091,12 C.518,60913.已知P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A|B)=0.3,则P(B|A)=()A.0.25 B.0.5C.0.75 D.0.1254.纹样是中国传统文化艺术,小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣,他收集了9枚不同的纹样徽章,其中4枚凤纹徽章,5枚龙纹徽章.小楠从9枚徽章中任取3枚,则其中至少有1枚凤纹徽章的概率为()A.34 B.37C.2137 D.5.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为.

6.已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的,三人生产的产品分别占总产量的20%,40%,40%.已知三人生产产品的次品率分别为5%,4%,3%,现从这批零件中任取一个零件,则它是次品的概率为.

7.某海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中抽取6件商品进行检测.地区ABC数量/件50150100(1)求分别从A,B,C三个地区的商品中抽取的商品数量;(2)若从这6件商品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.8.已知某人从外地赶来参加会议.他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是310,15,二、综合应用9.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增的概率是()A.512 B.13 C.14 10.为了解学生的体重状况,某校随机抽取了一批学生测量体重,经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于45至70之间.将数据分成5组,并得到频率分布直方图如图所示.现采用分层随机抽样的方法,从[55,60),[60,65),[65,70]这三个区间中随机抽取6名学生,再从这6名学生中随机抽取3人,则这3人中恰有2人体重位于区间[55,60)的概率是()A.815 B.920 C.35 11.已知袋中有大小、质地相同的4个黑球,3个白球.现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球.若取出的球全是白球,则掷出2点的概率为()A.23 B.14 C.521 12.已知甲箱产品中有5个正品和3个次品,乙箱产品中有4个正品和3个次品.(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;(2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,再从乙箱中任取1个产品,求取出的这个产品是正品的概率.13.某种仪器由三个部件组装而成.假设各部件质量互不影响,它们的优质品率分别为0.8,0.7,0.9.如果三个部件都是优质品,那么组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.6;如果三个部件都不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.9.(1)求仪器的不合格率;(2)若已发现一台仪器不合格,则它有几个部件不是优质品的概率最大?三、探究创新14.(2023新高考Ⅰ,21)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(∑i=1nXi)=∑i=1nqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求

考点规范练55古典概型、条件概率与全概率公式1.B设“清明节当天下雨”为事件A,“清明节随后一天下雨”为事件B,则P(A)=0.9,P(AB)=0.63,故P(B|A)=P(AB)P(2.A由题意可知P(A)=6×P(B)=63-5363=91故P(A|B)=P(AB)P(B)3.AP(B|A)=P(B)P(4.B从9枚徽章中任取3枚的不同取法有C93种,其中没有凤纹徽章的不同取法有C故其中至少有1枚凤纹徽章的概率为1-C5.112从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数,有C92=36(种)情形,设事件A=“其中一个数恰是另一个数的3倍”,则A={(1,3),(2,6),(3,9)},共36.0.038设事件A=“任取一个零件是次品”,B1=“任取一个零件是甲生产的”;B2=“任取一个零件是乙生产的”,B3=“任取一个零件是丙生产的”,则由题意可知P(B1)=0.2,P(B2)=0.4,P(B3)=0.4,P(A|B1)=0.05,P(A|B2)=0.04,P(A|B3)=0.03,故P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)=0.2×0.05+0.4×0.04+0.4×0.03=0.038.7.解(1)由题意可知从A地区商品中抽取50×650+150+100=1(件),从B地区商品中抽取150×650+150+100=3(件),从C地区商品中抽取100×650+150+100(2)从6件商品中随机抽取2件,有C62=15(种)不同的取法,其中2件商品来自相同地区的不同取法有C32+C28.解设事件A1=“乘火车来”,A2=“乘轮船来”,A3=“乘汽车来”,A4=“乘飞机来”,B=“迟到”.由题意得P(A1)=310,P(A2)=15,P(A3)=110,P(A4)=25,P(B|A1)=14,P(B|A2)=13,P(B|A3)=112,P由贝叶斯公式,得P(A1|B)=P同理P(A2|B)=49,P(A3|B)=118,P(A4|B)=因为P(A1|B)>P(A2|B)>P(A3|B)>P(A4|B),所以推断此人乘火车来的可能性最大.9.A由题意可知样本空间Ω={(a,b)|a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5}},其中共有12个等可能的样本点.设事件A=“函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增”.由函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增,可知①当a=0时,f(x)=-2bx,则-2b>0,即b<0,故b=-1.②当a>0时,需要满足ba≤1,故当a=1时,b=-1或b=1,当a=2时,b=-1或b=所以A={(0,-1),(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1)},n(A)=5.所以函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增的概率P(A)=510.B由频率分布直方图,可得(0.01+0.07+0.06+a+0.02)×5=1,解得a=0.04.由分层随机抽样,可知从区间[55,60)中抽取6×0.060.从区间[60,65)中抽取6×0.040.从区间[65,70]中抽取6×0.020.06+0所以从这6名学生中随机抽取3人,这3人中恰有2人体重位于区间[55,60)的概率为C11.C记事件Ai=“骰子掷出的点数为i(i=1,2,3)”,B=“取出的球全是白球”,则P(Ai)=16,P(B|Ai)=C所以P(B)=∑i=13P(Ai)P(B|Ai所以若取出的球全是白球,则掷出2点的概率为P(A2|B)=P12.解(1)从甲箱中任取2个产品,有C82=28(种)其中2个产品都是次品的不同取法有C32=3(故从甲箱中任取2个产品,这2个产品都是次品的概率为3(2)设事件A=“从乙箱中取出1个产品是正品”,B1=“从甲箱中取出2个产品都是正品”,B2=“从甲箱中取出1个正品,1个次品”,B3=“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则P(B1)=C52C82=514,P(B3)=C3P(A|B1)=23,P(A|B2)=59,P(A|B3)=故所求概率P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=513.解记事件B=“仪器不合格”,Ai=“仪器有i个部件不是优质品”,i=0,1,2,3.显然A0∪A1∪A2∪A3=Ω,且A0,A1,A2,A3两两互斥.根据题意得P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.9,P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504,P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398,P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006,P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092.(1)由全概率公式,得P(B)=∑i=03P(Ai)P(B|Ai)=0.504×0+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.140(2)由贝叶斯公式,得P(A0|B)=0,P(A1|B)=P(P(A2|B)=P(P(A3|B)=P比较结果可知,若已发现一台仪器不合格,则它有一个部件不是优质品的概率最大.14.解(1)设事件A:“第2次投篮的人是乙”,则P(A)=P(甲乙)+P(乙乙)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.(2)设第i次是甲