矩阵的特征值和特征向量

05七月20241第三章矩阵的特征值与特征向量§1方阵的特征值与特征向量§2

矩阵的对角化05七月20242第1节方阵的特征值与特征向量05七月20243定义3.13.1.1

特征值与特征向量的基本概念

05七月20244例1解是不是05七月20245命题1命题2命题3矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。05七月20246它有非零解的充分必要条件是即怎样求矩阵A的特征值与特征向量？05七月20247矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2A的特征方程A的特征多项式A的特征矩阵特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。05七月20248求矩阵的特征值与特征向量的步骤求矩阵A的特征方程2.求特征方程的根，即特征值3.对每个特征值解方程组求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量便得属于的全部特征向量。05七月20249例2：求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为05七月202410得基础解系得基础解系05七月202411练习:求下列矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为即对应的特征向量可取为05七月202412对应的特征向量可取为05七月2024133.1.2特征值与特征向量的性质

定理1定理2推论若n阶方阵有互不相同的特征值则其对应的特征向量线性无关。05七月202414定理305七月202415(2)由于05七月202416定理4设A是n阶方阵，是的特征值.若为A

的特征值，则05七月202417例3设A是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求（1）A的主对角线元素之和（2）解的特征值依次为05七月202418例4试证n阶矩阵A是奇异矩阵的充要条件是A中至少有一个特征值为0。证明因为为A的特征值）所以的充分必要条件是至少有一个特征值为零。05七月202419第2节矩阵的对角化05七月202420定义3.3

设A和B为n阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵P，使得则称A相似于B，或说A和B相似(similar),记做A∽B.性质（1）反身性A相似于A（2）对称性A相似于B，可推出B相似于A（3）传递性A相似于B，B相似于C，可推出

A相似于C。3.2.1相似矩阵及其性质

05七月202421方阵的迹定义3.4方阵的迹是它的主对角线上的元素和例5Tr(A)=2+(-3)+0=-1性质：(1)Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)(2)Tr(AB)=Tr(BA)(性质3.1)05七月202422性质：(1)Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)

(2)Tr(AB)=Tr(BA)(性质3.1)

05七月202423相似矩阵的性质若A和B相似，则A和B有相等的秩。2.方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2)证明（1）05七月2024243.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2)4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。TH5推论如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值。05七月202425定理3.6n阶矩阵A与n阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。充分性3.2.2矩阵的对角化

05七月202426必要性设A相似于对角矩阵即存在可逆矩阵B，使得由B可逆便知：都是非零向量，因而都是A的特征向量，且线性无关。05七月202427推论如果n阶矩阵A的特征值互不相同则A相似于对角矩阵定理3.7n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重特征值,对应着个线性无关的特征向量.05七月202428相似变换若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵05七月202429

例矩阵A=

能否相似于对角阵？解

=(λ-2)(λ-1)2

所以A的特征值为λ1=2λ2=λ3=1对于λ2=λ3=1，解方程组(I–A)χ=0对系数矩阵作初等变换

05七月202430解方程组得通解

为任意常数）因为λ2=λ3=1是二重根，而对应于λ2=λ3=1无两个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。05七月202431例

用相似变换化下列矩阵为对角形解:A的特征方程为特征值为对于可求得特征向量对于可求得线性无关的特征向量这三个特征向量线性无关05七月20243205七月202433练一练用相似变换化矩阵为对角形.05七月202434应用:利用对角化计算矩阵的乘方05七月202435设解:A的特征方程为特征值为对应的特征向量为对应的特征向量为例705七月20243605七月20243705七月202438THEEND.P88将一个方阵A对角化的三步骤.思考?第三章作业:1(4),3,7,9,10(3),11,15,1605七月202439练习已知

问满足什么条件时，A可对角化？解首先

所以，A的特征值为2（重数为1）和1（重数为2）。05七月