专题4.2 指数函数-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题4.2指数函数一、单选题1．下列函数中，在其定义域上是增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数在定义域上为减函数，A不满足条件；对于B选项，函数在定义域上不单调，B不满足条件；对于C选项，函数在定义域上为增函数，C满足条件；对于D选项，函数在定义域上不单调，D不满足条件.故选：C.2．函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（）A．（0，－3） B．（0，－2）C．（1，－3） D．（1，－2）【答案】D【分析】根据指数函数的图象所过定点的性质求解．【详解】令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）．故选：D．3．下列函数中是偶函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出函数的定义域，再求出表达式，即可判断.【详解】对于A项，函数的定义域为R，关于原点对称，，所以是偶函数，故A项正确；对于B项，函数的定义域为R，关于原点对称，，所以不是偶函数，故B项错误；对于C项，函数的定义域为R，关于原点对称，，所以不是偶函数，故C项错误；对于D项，函数的定义域为R，关于原点对称，，所以是奇函数，不是偶函数，故D项错误.故选:A.4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数的单调性，比较指数幂的大小，【详解】，，在R上为增函数，且，.在R上为增函数，且，..故选：A.5．已知是定义在上的增函数，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用幂函数以及指数函数的单调性判断的大小关系，结合是定义在上的增函数，即可判断出答案.【详解】因为函数为R上单调增函数，故，而，由于是定义在上的增函数，故，即.故选：A.6．函数（且）的图象如图所示，其中为常数.下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数单调性和在轴截距可判断出的范围.【详解】函数图象单调递增

又函数在轴截距在之间

故选：【点睛】本题考查根据指数型函数的图象判断参数范围的问题，关键是能够熟练应用函数的单调性和截距来得到参数所满足的不等关系.7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合指数函数性质求得的值域，然后再根据新定义求的值域．【详解】，显然，，所以的值域是，当时，，时，，当时，所以所求值域是．故选：C．8．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令t＝2x﹣x2，利用配方法求其值域，再由指数函数的单调性求原函数的值域；【详解】∵t＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+11，为减函数，∴∴函数的值域为；故选A.【点睛】本题考查复合函数单调性的应用及复合函数的值域问题，是中档题．9．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=A． B．C． D．【答案】D【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.【详解】是奇函数，时，．当时，，，得．故选D．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．10．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案.【详解】的定义域为，，所以是奇函数，由此排除CD选项.，排除A选项.故选：B11．设，，那么是（

）A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数【答案】D【分析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数的单调性判断在上的单调性即可.【详解】，，，故为偶函数,当时，，是增函数，故选：D．12．若函数在R上是单调增函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分段函数的单调性列不等式组，即可求解.【详解】要使函数在上是增函数，只需，解得，即a的取值范围是.故选：C.13．函数在区间上的最小值为（

）A． B． C． D．13【答案】B【分析】先令，得，再根据范围结合二次函数的性质，即可得解.【详解】解：令，，则原函数等价于，，又二次函数的对称轴为，故最小值是，即的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查了指数函数的性质和二次函数的最值的求法，属于基础题.14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，得到f（x）在区间上单调递减，然后根据，得到求解.【详解】因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，所以f（x）在区间上单调递减，因为，所以，所以，解得，所以a的取值范围是，故选：C15．已知函数（其中且），若当时，恒有，则a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性，运用分类讨论的思想求解参数的取值范围得出答案.【详解】当时，在上单调递增，此时的值域为，不满足条件；当时，在上单调递减，此时的值域为，因为时，满足；当时，时，满足；当时，在上的增函数，的值域为，由，得，解得：综上，所求的取值范围是.选项D正确，选项ABC错误.故选：D.16．已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据单调性求出和的最小值，由题可得即可解出.【详解】因为在时单调递增，所以，因为在时单调递减，所以，对，使得等价于，得，所以.故选：B.17．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据函数单调递减知，根据函数单调递增知，得到答案.【详解】根据函数单调递减知：；根据函数单调递增知：，故.故选：.【点睛】本题考查了根据函数单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.18．函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】将函数零点问题转化成方程的根的问题，转化成两个新函数的公共点问题.【详解】令，得，显然不是该方程的根，故，在同一直角坐标系中分别作出的图象如下所示，观察可知，它们有2个交点，即函数有2个零点，故选：C.【点睛】此题考查函数零点问题，关键在于对方程进行等价转化，转化成两个易于作图的函数，讨论函数的交点问题.19．，，的大小关系是A． B． C． D．【答案】D【分析】将、、均化为的指数幂，然后利用指数函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】，，，且指数函数在上是增函数，则，因此，.故选D.【点睛】本题考查指数幂的大小比较，考查指数函数单调性的应用，解题的关键就是将三个数化为同一底数的指数幂，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（）A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)【答案】C【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是减函数，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：C．二、多选题21．下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．图象关于点成中心对称C．的最大值为D．幂函数在上为减函数，则的值为1【答案】BD【分析】根据函数的定义域、对称性、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，函数的定义域为，所以对于函数，有，即的定义域是，A选项错误.B选项，，所以图象关于点成中心对称，B选项正确.C选项，，所以，即的最小值为，C选项错误.D选项，是幂函数，所以，解得或，当时，，在上递减，当时，，在上递增，所以D选项正确.故选：BD22．关于函数，．下列说法正确的有（

）A．的图像关于y轴对称B．在上单调递增，在上单调递减C．的值域为D．不等式的解集为【答案】ABC【分析】根据函数，逐一对其进行奇偶性，复合函数的单调性分析，即可判断选项A，B，C均正确，而选项D也可由单调性转化为关于的二次不等式求解，解集应为，则D错误.【详解】因为函数，，则该函数为偶函数，其图像关于轴对称，故选项A说法正确；令，在单调递增，单调递减，又在单调递增，则由复合函数的单调性可知在单调递增，单调递减，故选项B说法正确；由可得，即的值域为，故选项C说法也正确；由不等式即，则，故的不等式解集为，选项D说法错误.故选：ABC.23．已知符号函数，下列说法正确的是（

）A．为奇函数 B．，C．的值域为 D．，【答案】ABD【分析】，画出函数的图象，根据图象对称性判定；，对任意的，，即可判断B；，求出的函数解析式，画出图象，即可得值域为，，求出，即可判断；【详解】解：，画出函数，的图象，根据图象对称性判定函数是奇函数，故正确；，对任意的，，可得，故正确；，函数，画出图象，即可得函数值域不为，故C错，，即可得，故D正确．故选：．24．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】按照、讨论，结合二次函数及指数函数的性质即可得解.【详解】若，则函数是R上的增函数，函数的图象的对称轴方程为，故A可能，B不可能；若，则函数是R上的减函数，，函数的图象与轴的负半轴相交，对称轴为，故C可能，D不可能.故选：AC.25．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】根据不等式的性质判断，结合指数函数性质判断D．【详解】命题意图本题考查不等式的性质.∵，∴，∴，A错误；，B错误；，C正确，，D正确．故选：CD.26．下列函数中，最小值为2的有（

）A． B． C． D．y=3x+2【答案】BC【分析】分别根据对勾函数，二次函数，指数函数的最值进行判断．【详解】对于选项A：根据，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，在（﹣1，0）递减，在（﹣∞，﹣1）递增，可得y≥2或y≤﹣2，所以选项A不满足最小值为2；对于选项B：，当且仅当，即时取得最小值，所以选项B满足最小值为2；对于选项C：，即时取得最小值，所以选项C满足最小值为2；对于选项D：y=3x+2>2，所以选项D不满足最小值为2；故选：BC27．下列命题，其中正确的命题是（

）A．函数的定义域为，则函数的定义域是B．函数上，在上是减函数C．若函数（，且），满足，则的单调递减区间是D．函数在内单调递增，则的取值范围是【答案】ACD【分析】对A，由可求出定义域；对B，根据单调区间必须连续可判断；对C，先求出，再求出的单调递增区间即可；对D，满足在内单调递增即可.【详解】对A，因为函数的定义域为，则对于，由，解得且，即的定义域为，故A正确；对B，分别在上是减函数，故B错误；对C，，解得（舍负），，因为的单调递增区间为，所以的单调递减区间是，故C正确；对D，的对称轴为，开口向下，要使在内单调递增，则，解得，故D正确.故选：ACD.28．（多选）已知函数，则（

）A．函数的定义域为R B．函数的值域为C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减【答案】ABD【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.【详解】令，则．对于A，的定义域与的定义域相同，为R，故A正确；对于B，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；对于C、D，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.故选：ABD.29．若函数对，同时满足：（1）当时有；（2）当时有，则称为函数，下列函数中是函数的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由题意可得满足是上的奇函数，且为增函数，由函数的奇偶性和单调性，结合指数函数和幂函数的单调性，分别判断的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论．【详解】由（1）当时有，即为，则为上的奇函数；由（2）当时有，即为，，可得为上的增函数，则函数为上的奇函数，且为增函数．对A：，定义域为，，可得为偶函数，故A不是函数；对B：，定义域为，，即为奇函数，又在上的增函数，所以为上的增函数，故B是函数；对：，定义域为，,即为奇函数，又为上的增函数，故C是函数；对D：，定义域为，当时，，可得为奇函数，又在，上单调递增，但在上不为增函数，比如，故不是函数．故选：BC【点睛】本题考查函数的新定义，主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，考查推理能力，属于中等题.30．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的函数值可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用定义可知函数为奇函数，根据解析式可得，分三种情况讨论可求得结果.【详解】因为，所以，所以，即，因为，因为，，所以，所以，所以即当时，，所以，，此时，当时，，所以，，此时，当时，，此时，，此时，所以函数的值域为.故选：ABC三、填空题31．设且，函数的图像恒过定点______．【答案】【分析】令指数为0即可求得函数图象所过的定点.【详解】由题意，令，则函数的图象过定点（1,0）.故答案为：（1,0）.32．设函数是定义在上的偶函数，且对任意恒有，已知当，，则下列命题：①是函数的周期；②函数在上递减，在上递增；③函数的最大值是，最小值时是；④当，．其中，正确的命题的序号是__________．【答案】①②④【分析】根据函数的周期性、奇偶性、单调性和指数型函数的值域依次判断命题即可.【详解】∵对任意的恒有，∴则的周期为，故①正确；∵函数是定义在上的偶函数，当时，，∴函数在上是增函数，函数在上是减函数，所以在上递减，在上是增函数，故②正确；∴函数的最大值是，最小值为，故③不正确；设，则，，故④正确．故答案为：①②④．33．设的最大值为16，则__________．【答案】【详解】试题分析：因为所以，是减函数．又的最大值为16，所以取到最小值－4时，中的为16，即，．考点：本题主要考查正弦函数的性质，二次函数的性质，复合函数的最值，指数函数的性质．点评：小综合题，本题综合考查正弦函数的性质，二次函数的性质，复合函数的最值以及指数函数的性质．34．满足不等式中的取值范围为_____________.【答案】【分析】利用指数函数的单调性求解不等式即可.【详解】因为且单调递增，所以，即，则x的取值范围是[3,+).故答案为：.35．在，，三个数中，则最大的数为______．【答案】【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【详解】解：，，，，，，最大，故答案为：．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．36．写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式：______．①定义域为；②值域为；③是奇函数．【答案】（答案不唯一）【分析】根据函数的三个性质，写出符合条件的函数即可.【详解】如，定义域为，又，因为，所以，，又，故是奇函数．故答案为：（答案不唯一）37．函数（且）的图象必经过定点，则________________.【答案】【分析】利用，求出的值，即可求解.【详解】令过，.故答案为:.【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.38．模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中K为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为________.（）（答案填整数）【答案】【分析】解方程可得结果.【详解】由可得，可得.故答案为：.39．已知函数的值域为，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】由题意可得，计算不等式组即可求得结果.【详解】∵函数的值域为，又当时，，∴，解得.故答案为：.40．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_________．【答案】【分析】由指数函数的性质，可得，再根据基本不等式“”的用法，即可求出结果.【详解】∵函数的图象恒过定点，则，∴，当且仅当，即，时取等号.故答案为：.四、解答题41．设的定义域为，且是奇函数，当时，（1）求当时，的解析式；（2）解不等式．【答案】（1），；（2）．【详解】试题分析：（1）根据奇函数的定义，对于定义域D内的任意实数，总有，且，由题，已知当时，，那么当时，，则，根据，所以，因此当时，函数的解析式为；（2）由题意及第（1）问可知，函数在上的解析式为，所以不等式转化为或，不等式组的解集分别为或，所以不等式的解集为．试题解析：（1）是奇函数，所以当时，，，又当时，当时，（2）当时，∴，∴，∴，即．当时，，∴，∴∴，∴所以解集是考点：1.奇函数的性质；2.分段函数解不等式．42．已知函数．（1）判断在内的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在实数a使函数为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）在内为增函数，证明见解析（2）【解析】（1）在内任取两个变量x1，x2，并设，作差，差式变形成分式，利用指数函数的单调性判断正负，进而得函数的单调性；（2）因为定义域为R，所以，解方程求得．利用奇函数定义证明．【详解】（1）在内为增函数.证明：设任意x1，x2∈，且，则=．∵是R上的增函数，且，∴，∴即，∴函数为上的增函数；（2）由函数定义域为R知，若函数为奇函数，则，∴a=1．当a=1时，．∴，此时为奇函数，满足题意，∴a=1．43．已知定义在上的函数是奇函数.（1）求，的值；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由题意可得，求得，再由（1），求得，检验可得所求值；（2）运用参数分离和换元法、结合指数函数的单调性，以及反比例函数、一次函数的单调性，求得函数的值域，结合恒成立思想，可得所求范围．【详解】（1）由题意可得，解得，再由（1），得，解得，当，时，的定义域为，由，可得为奇函数，所以，；（2）由，得，因为，所以，所以．令，则，此时不等式可化为，记，因为当时，和均为减函数，所以为减函数，故，因为恒成立，所以．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法.44．设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.(1)求与的解析式；(2)若在上的最小值为，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数的奇偶性可得出关于、的方程组，即可解得这两个函数的解析式；（2）设，可得，设，分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值.【详解】（1）解：为偶函数，，又为奇函数，，，①，即，②由得：，可得.（2）解：，所以，，令，因为函数、在上均为增函数，故在上单调递增，则，设，，对称轴，①当时，函数在上为减函数，在上为增函数，则，解得：或（舍）；②当时，在上单调递增，，解得：，不符合题意.综上：.45．已知函数.(1)利用单调性定义证明：在上是增函数；(2)解不等式【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用定义法即可证明；（2）今，则，因为在上是增函数，所以，解不等式即可得出答案.【详解】（1）证明：任取，，因为，所以，，故，所以，即在上是增函数；（2）今，则，因为在上是增函数，所以，解得：，即，解得，故不等式得解集是.46．已知.（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）证明是定义域内的增函数；（3）解不等式.【答案】（1）奇函数，证明详见解析；（2）增函数，证明详见解析；（3）．【详解】试题分析：（1）函数的定义域为R，关于原点对称，，验证的值，，所以即，因此函数为奇函数；（2）首先可以将函数化简，即，根据定义证明函数在定义域内为增函数，设是R上任意两个不等的实数，且，则，，由于函数在R上为增函数，所以当时，，则，，所以，则函数在R上为增函数；（3）由第（1）、（2）问可知函数为奇函数且为增函数，所以转化为，即，所以转化为，所以，，则．试题解析：（1）∵的定义域为R，且，∴是奇函数.（2）设且，则∵为增函数，∴当时，，又∵，∴，即∴在定义域上为增函数.（3）不等式可化为由（1）知是奇函数∴由（2）知在定义域上为增函数∴解得考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.解不等式．47．已知函数为奇函数.(1)求b的值，判断函数在上的单调性并证明；(2)若对任意实数a恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析；(2).【分析】(1)由求出b值并验证；再用单调性定义证明函数单调性的方法推理作答.(2)利用(1)的结论去掉法则“f”，再分离参数，换元借助二次函数性质求最值作答.【详解】（1）函数的定义域为R，因为奇函数，则有，解得，而当时，，即是奇函数，因此，，在上单调递增，，，，因，即有，，则，即，所以在上单调递增.（2）由(1)知是R上的奇函数，且在上单调递增，则为R上的增函数，由得：，即，令，当且仅当时取“=”，即对任意实数恒成立，而函数在上单调递增，当时，，则，所以m的取值范围是.48．已知函数.(1)求的值；(2)求函数的值域；(3)若，且对任意的、，都有，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）代值计算即可得解；（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质可求得函数的值域；（3）令，，分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据题意可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：.（2）解：.，则，则，所以，，函数的值域为.（3）解：，令，则，，函