矩阵分析 课件 第3章 矩阵的Jordan标准形

第3章矩阵的Jordan标准形可以将对角矩阵看作是与可对角化矩阵相似的标准形。矩阵及其相关的一些性质。在线性代数中，讨论了矩阵相似于对角矩阵的条件，本章引入Jordan标准形的概念，得到不可对角化的但是，那些不可对角化的矩阵相似于什么样的标准形呢？矩阵相似于Jordan矩阵即Jordan标准形。首先讨论3.1不变因子、初等因子与行列式因子1、不变因子与初等因子定义3.1若矩阵

A的元素为的复系数多项式，矩阵，记作例如，一般的数字矩阵也可以视为矩阵。定义3.2以下三类变换称为矩阵的初等变换：（1）互换两行（列）；（2）某行（列）乘非零常复数

k；（3）某行（列）乘多项式后加到另一行（列）。则该矩阵就称为定义3.3如果矩阵经过有限次初等变换后可变成则称与等价，记为定理3.1若矩阵与等价，则，但反之不然。定义3.4秩为

r的矩阵是首项系数为1（首一）的多项式，并且则称矩阵是一个Smith标准形。定理3.2如果矩阵，并且那么矩阵一定与一个Smith标准形等价。定义3.5如果与Smith标准形等价，则称的对角线元素为的不变因子（或不变因式）。记的分解形式（其中互不相同，）中所有指数大于0的因子称为的初等因子。定理3.3若矩阵证

将的所有初等因子按不同的一次因子分类，此表中共有

r列（每列中的因子个数可能不同，空白处可以用就是的第

i个不变因子的不变因子确定，的初等因子被唯一确定；反过来，若的秩与所有的初等因子则不变因子也被唯一确定。则确定，并按各因子的幂从小到大排列：数1补上）。在第

i列上的各式之积例3.1将矩阵并求不变因子和初等因子。解即得的Smith标准形，初等因子化成Smith标准形，不变因子定义3.6设2、行列式因子矩阵的秩为

r，对任意必存在非零的

k阶子式，称的全部非零

k阶子式为的

k阶行列式因子。定理3.4等价的矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。推论设是秩为

r的阶矩阵，则的行列式因子其中是的不变因子。的首一最大公因式于是定理3.5矩阵的Smith标准形是唯一的。证

由定理3.4和推论可知，的不变因子由行列式因子唯一确定，因此，的Smith标准形唯一。

例3.2将矩阵化为Smith标准形。的解的各阶行列式因子为：的不变因子为：的Smith标准形为定理3.6两个矩阵等价的充分必要条件为它们证

由定理3.4推论，不变因子与行列式因子是相互确定的。必要性即为定理3.4的内容；再由定理3.5，若矩阵与有相同的不变因子，和同一个Smith标准形等价，所以与等价。定理3.7设矩阵为分块对角矩阵，与的初等因子的全体构成初等因子。具有相同的行列式因子，或具有相同的不变因子。则所以则的全体例3.3求的初等因子和不变因子。解法一的不变因子为初等因子为：解法二

因为对角线上各元素的初等因子就是的初等因子，不变因子为：的行列式因子是一个对角矩阵，根据定理3.7，即本节小结0102不变因子与初等因子行列式因子P66：1;2;3预习：3.2节本节作业3.1Jordan标准形1、Jordan标准形的定义定义3.7形如的方阵叫作阶Jordan块。特别的，一阶方阵叫作一阶Jordan块。定义3.8由若干个Jordan块组成的分块对角矩阵其中为阶Jordan块，时，这个矩阵叫作n阶Jordan标准形，记为

J或当定理3.8如果任意若不计

J中的Jordan块的排列顺序，则

J由A唯一确定。Jordan标准形

J相似，则Jordan标准形

J的对角元素就是

A的特征值。对角矩阵也是一个Jordan矩阵，它的每个Jordan块是一阶的。Jordan矩阵特征值恰是对角线元素，对角线上方的次对角线的的元素可能为1或0。在Jordan标准形

J中，不同Jordan块的对角元素Jordan块本身就是一个Jordan矩阵。可能相同也可能不同。因为相似矩阵有相同的特征值，因此，若矩阵

A与一个都与一个Jordan标准形

J相似，（ⅰ）特征向量法2、Jordan标准形的计算Step1求特征值及其代数重数，Step2对每个特征值，确定其对应的Jordan块。是

A的单特征值，则只对应一个一阶Jordan块如果是

A的重特征值，计算的几何重数则共对应个以的Jordan块，这些Jordan块的阶数Step3A的所有特征值对应的所有Jordan块构成的Jordan矩阵设

A的互不相同的特征值为

代数重数指特征值的重数如果之和等于即为

A的Jordan标准形。

几何重数指特征值对应线性无关的特征向量的个数几何重数小于等于代数重数。为对角元素例3.4如果求下列矩阵的Jordan标准形：（1）解

可求得

A特征值为特征值只有一个线性无关的特征向量故

A的Jordan标准形为（2）A的特征值为由可知以为特征值的Jordan块有阶数之和为3。注：当矩阵

A的某一特征值重数较高时，对应的Jordan块的解个，这两个Jordan块中，一个一阶块，一个二阶块，故阶数可能无法确定。例3.4如果求下列矩阵的Jordan标准形：（ⅱ）初等变换法Step1

求出的全部初等因子为Step2对每个初等因子，确定其对应的Jordan块

Step3

A的所有初等因子对应的所有Jordan块构成的Jordan矩阵注：上述Step1中，可能有相同的。且当任意一个

n阶复矩阵

A可以对角化的充分必要条件为的初等因子全是一次的。即为

A的Jordan标准形。时，例3.5求下列矩阵的Jordan标准形：（1）解初等因子为则

A的Jordan标准形为（2）因此的初等因子为所以

A的Jordan标准形解例3.5求下列矩阵的Jordan标准形：（ⅲ）行列式因子法求

A的Jordan标准形。Step1

求的

n个行列式因子Step2

根据定理3.4推论，求的不变因子；Step3

求

A的全部初等因子和Jordan标准形。行列式因子法是利用行列式因子与初等因子的关系例3.6求下列矩阵的Jordan标准形：解选取计算得的一个三阶子式由于，所以从而于是

A的不变因子为即

A的初等因子为故A的Jordan标准形为（1）例3.6求下列矩阵的Jordan标准形：（2）解不变因子为初等因子为故A的Jordan标准形为A的行列式因子为3、相似变换矩阵

A与Jordan标准形

J相似，即存在一个可逆矩阵

P，那么如何求矩阵

P呢？通过求解线性方程组就可以求出

P.Step1

将

P按列分块写成，则有Step2

由于J的对角线元素为

A的特征值，对角线上方平行线可化为如下方程组的形式：即其中或1Step3

依次求解这些方程即可求得使得上元素为0或1，因此例3.7求的Jordan标准形

J，并求出可逆矩阵

P，解可求得

A的Jordan标准形为令，由可得即分别求解三个方程可得，可选取所以，使得例3.8求的Jordan标准形

J，并求出可逆矩阵

P，使得解可求得

A的Jordan标准形为令，由可得即即为特征值的两个线性无关的特征向量，的通解为若令，方程无解。若令，方程依然无解。由于方程组设再代入由可知时方程有解。不妨取，即可求得的解为可取，故所用的相似变换矩阵为注：从例3.7和例3.8可知，相似变换

P不是唯一的。Jordan标准形的幂设其中则计算的关键是计算定理3.9阶Jordan块的

k次幂，其中多项式特别的，当为2阶Jordan块时，设多项式，则当为3阶Jordan块时，由定理3.9，例3.9已知解在例3.4中，已求得

A的Jordan标准形通过求解方程组，可得相似变换矩阵于是求本节小结0102Jordan标准形的定义Jordan标准形的计算P66：4;5预习：3.3节本节作业03相似变换3.3Cayley-Hamilton定理与最小多项式1、Cayley-Hamilton定理设是复数域

C上关于的多项式对称为矩阵

A

的多项式。定理3.10设为一多项式，为对应的特征向量为则为的特征值，对应的特征向量仍为并且，如果，则的任意特征值，定理3.11（Cayley-Hamilton定理），其特征多项式为则证

存在，使得，其中

J是A的Jordan标准形，1或0）（由于是

A的特征值，因此设记为从而例3.10已知，其中，试计算解

因为由Cayley-Hamilton定理，，即因此例3.11已知矩阵，试计算（1）（2）解

可求得（1）令，需计算用除，得由Cayley-Hamilton定理知，于是（2）令，同时假设其中为除以的余式，所以，只需要求出因为可知于是解得故则2、最小多项式Cayley-Hamilton定理说明一定存在多项式，使得所有使得的多项式中，次数最低的就是我们需要的。定义3.9设是多项式，，则称为

A的零化多项式。定义3.10设次数最低的首一多项式称为

A的最小多项式，记作如果有，在

A的零化多项式中，定理3.12设零化多项式，且最小多项式是唯一的。证

设是

A的任一零化多项式，为

A的最小多项式。若不能整除，则有为次数低于的非零多项式。由这说明是

A次数更低的零化多项式，是

A的最小多项式相矛盾。，则

A的最小多项式整除

A的任一可知与下证唯一性。设

A有两个不同的最小多项式和令则是比次数低的非零多项式，与是

A的最小多项式的假设矛盾。且定理3.13相似矩阵有相同的最小多项式。证

设与分别是

A和B的最小多项式，根据定理3.12，知另一方面，从而因为与都是首一多项式，故注：定理3.13的逆命题不成立。则

A与B有相同的最小多项式则例如，设定理3.14n阶矩阵

A的最小多项式等于它的中第

n个不变因子即最小多项式求解方法方法一

定理3.14结论例如在例3.6中，矩阵，则其最小多项式为特征矩阵方法二

试探法设

A的所有互不相同的特征值为A的特征多项式为由于

A的最小多项式是

A的特征多项式的因式，即又因，由定理3.10知，对

A的任意特征值则方法三

Jordan块法来计算。事实上其中是

A的Jordan标准形中含的Jordan块的最高阶数。因此根据定理3.13，可以利用

A对应的Jordan标准形的最小多项式例3.12设，求

A的最小多项式。解则由试探法可知，依次计算因此

A的最小多项式是例3.13设，求

A的最小多项式，并计算解A的Jordan标准形为故由Jordan块法可知令代入到因为因此中即可。本节小结0102Cayley-Hamilton定理最小多项式P66：5;6;7预习：3.4节本节作业3.4酉相似下的标准形和正规矩阵1、酉相似下的标准形定理3.15若是一个

n维的单位向量，为第一个列向量的酉矩阵

Q.定理3.16（Schur）任意方阵可酉相似于一个上三角矩阵

U

，即存在

n阶酉矩阵

Q，使得则存在一个以2、正规矩阵定义3.11设，若

A满足，则称

A为正规矩阵。酉矩阵、正交矩阵、Hermite矩阵（满足实对称矩阵、反Hermite矩阵（满足实反对称矩阵、对角矩阵等都是正规矩阵。定理3.17

设，则

A酉相似于对角矩阵的充分必要条件反Hermite矩阵、实反对称矩阵均可以酉相似于对角矩阵。的矩阵）、的矩阵）、是

A为正规矩阵。该定理表明：酉矩阵、正交矩阵、Hermite矩阵、实对称矩阵、推论1

设

A是

n阶正规矩阵，是