2025-2026学年上海市黄浦区格致中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市黄浦区格致中学高一（下）期末数学试卷考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、填空题（共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分）1．已知集合，2，3，4，，，则．2．不等式的解集为．3．设是复数，满足，则．4．函数的最小正周期为4，则实数的值是．5．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为．6．等差数列的前项和为，若，则．7．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则．8．函数是偶函数，则正数．9．如图，在矩形中，，，△是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），则的最大值为．10．设复数满足，则为虚数单位）的最小值为．11．如图，点，，是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则．12．已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且，对任意正整数，都有，，则的最小值为．二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分）13．下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）A．， B．， C．， D．，14．若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（）A． B． C． D．15．若数列满足：对任意的正整数，总存在正整数使得（其中，则称具有“性质”，对于以下两个结论，说法正确的是（）结论①：若具有“性质”，则中任意一项均可写成中的两项之差；结论②：等比数列不具有“性质”．A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错16．已知函数，有两个不同的零点，，有如下两个命题：①；②，下列说法中正确的是（）A．命题①②都是真命题 B．命题①是真命题，命题②是假命题 C．命题①是假命题，命题②是真命题 D．命题①②都是假命题三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤）17．已知向量，，．（1）若向量与共线，求实数的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．18．已知．（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．19．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设．（1）若，求的长；（2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．20．设函数的定义域为，值域，．若，且满足，则称与构成“函数的线性对”．（1）若，判断与是否构成函数的线性对，并说明理由；（2）若，．若对于任意（常数，都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围；（3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对．求证：对任意，．

参考答案一、填空题（共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分）.1．已知集合，2，3，4，，，则，．解：因为集合，2，3，4，，，所以，．故答案为：，．2．不等式的解集为．解：原不等式化为，转化为或，解得：，则不等式的解集为．故答案为：3．设是复数，满足，则．解：，则，故．故答案为：．4．函数的最小正周期为4，则实数的值是．解：若函数的最小正周期为4，则，解得．故答案为：．5．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为．解：因为，，所以，，所以则在上的投影向量的坐标为．故答案为：．6．等差数列的前项和为，若，则40．解：，，，故答案为：407．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则16．解：设方程的两个虚数根为和，其中，，因为有一个虚数根的模为4，可得．所以．故答案为：16．8．函数是偶函数，则正数4．解：因为函数是偶函数，所以有，因为，所以，因此由，因为，所以．故答案为：4．9．如图，在矩形中，，，△是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），则的最大值为．解：在矩形中，，，△是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），以为原点，以、所在直线分别为轴、轴，建立如图平面直角坐标系，则，，，，，设，则，，根据平面向量数量积的坐标运算可得，所以当在五边形上移动纵坐标最大时，取最大值，易知，当点与点重合时，点纵坐标最大，此时，因此的最大值为．故答案为：．10．设复数满足，则为虚数单位）的最小值为．解：设复数，表示复平面上，点在以为圆心、半径的圆上；表示点到定点的距离，，则为虚数单位）的最小值为．故答案为：．11．如图，点，，是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则．解：令，可得或，．可知，，所以，因为，即，故，因为，即，又在单调递减区间上，可取，则，从而．故答案为：．12．已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且，对任意正整数，都有，，则的最小值为．解：由，得，，且，均为非零整数．对任意正整数，，取，得递推约束，．由基本不等式，可得向量模长下界，因此，．分奇偶项分析的下界：若，奇数项满足，由非零整数约束，得；偶数项满足，结合，取即可满足全部递推约束．因此，．同理可得．代入模长求和不等式，．构造取等序列验证可行性：取，；对，3，4，5，令，．可验证该序列满足、，且此时，，，可取到下界．因此，的最小值为．故答案为：．二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分）13．下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）A．， B．， C．， D．，解：对于，，向量和不共线，它们可以构成平面的一组基底，可以表示向量，故正确；对于，，向量和共线，不能构成基底，不能表示向量，故错误；对于，，向量和共线，不能构成基底，不能表示向量，故错误；对于，是零向量，零向量与任何向量共线，不能构成基底，不能表示向量，故错误．故选：．14．若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（）A． B． C． D．解：设扇形的半径为，由扇形的周长为，圆心角为，可得：，解得；扇形的面积．故选：．15．若数列满足：对任意的正整数，总存在正整数使得（其中，则称具有“性质”，对于以下两个结论，说法正确的是（）结论①：若具有“性质”，则中任意一项均可写成中的两项之差；结论②：等比数列不具有“性质”．A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错解：对于①：若具有“性质”，则对任意的正整数，总存在正整数使得，当时，，因为具有“性质”，则存在正整数，，使得，因此，当时，，由“性质”可得，存在正整数，使得，即，当时，，由“性质”可得，存在正整数，，使得，，则，即存在正整数，使得，，故①正确；对于②：因为，因此，假设它具有“性质”，则对任意的正整数，总存在正整数使得，即，当时，，此时符合题意；当时，，6不是2的整数次幂，即不存在正整数，使得，因此等比数列不具有“性质”，故②正确．故选：．16．已知函数，有两个不同的零点，，有如下两个命题：①；②，下列说法中正确的是（）A．命题①②都是真命题 B．命题①是真命题，命题②是假命题 C．命题①是假命题，命题②是真命题 D．命题①②都是假命题解：令，得，当时，，不符合题意，，等价于，画出，且且与的函数图象，如图所示，，，，命题①是假命题；由，，推出，，，的最小正周期为，由图象知，，之间的距离大于，即，，，，，则，，，又，且在为增函数，，，又，，，命题②是真命题．故选：．三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤）17．已知向量，，．（1）若向量与共线，求实数的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．解：（1）向量，，，，若向量与共线，可得，解得．（2）若向量与的夹角为锐角可得，且与不共线，即可得，解得且，即实数的取值范围为且．18．已知．（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．解：（1）由的图象过点，得，则，解得（负值舍去）．因为在上单调递增，，所以，解得，则不等式的解集为；（2）因为，，成等差数列，所以，即有解，化简得，因为，即，则，且，所以在上有解，因为，当且仅当时取等号，所以，故的范围为．19．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设．（1）若，求的长；（2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．解：（1）因为，在△中，（米，故（米，在△中，则．（2）因为四边形是矩形，可得，所以在△中，，，在△中，，则，于是，则矩形的面积，所，由号，得，则当时，即时，，所以当时，取得最大值，最大值为平方米．20．设函数的定义域为，值域，．若，且满足，则称与构成“函数的线性对”．（1）若，判断与是否构成函数的线性对，并说明理由；（2）若，．若对于任意（常数，都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围；（3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对．求证：对任意，．解：（1）由于，，因此，满足值域，且，即与是构成的线性对；（2）根据题意，，，需满足，代入，整理得：，由于，因此要求，又因