2023-2024学年湖北省武汉市常青联合体高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省武汉市常青联合体高二下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x||x|<3}，B={x|x=2n+1,n∈Z}，则A∩B=(

)A.(−1,1) B.(−3,3) C.{−1,1} D.{−3,−1,1,3}2.在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线x−y=0对称，若z1=1−i，则A.−i B.i C.−1 D.13.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=1，|a+b|=1A.−12b B.−12 4.现将A，B，C，D，E，F六名学生排成一排，要求D，E相邻，且C，F不相邻，则不同的排列方式有(

)A.144种 B.240种 C.120种 D.72种5.已知角θ∈(0,π2)，点(cos2θ,cosA.−3−22 B.−1 C.3−26.已知数列{an}满足a1=0，a2=1.若数列{A.2022 B.2023 C.2024 D.20257.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度H(m)关于时间t(min)的函数关系式为H=65−50cosπ15t(0≤t≤30)A.253m B.50m C.25(8.如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O为线段MN的中点，球O的球面正好经过点M，则下列结论中正确的是(

)

A.AB⊥MN

B.球O的的体积与四面体ABCD外接球的体积之比为1:3

C.直线MN与平面BCD所成角的正弦值为33

D.球O二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.一组数据5，9，7，3，10，12，20，8，18，15，21，23的第25百分位数为7

B.若随机变量X~N(2,σ2),且P(X<4)=0.75,则P(0<X<4)=0.5

C.袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球,从袋中不放回地依次抽取2个球,则第二次取到红球的概率为23​​​​​​​

D.在对高二某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中,抽取男生12人,其平均数为75,方差为893;抽取女生8人,其平均数为70,方差为23,则这10.在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，任意两条互相垂直的切线的交点必在同一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，且半径为A.椭圆E的离心率为12

B.椭圆E的“蒙日圆”的方程为x2+y2=9

C.长方形ABCD的面积的最大值为18

D.若椭圆E的上下顶点分别为M11.已知函数f(x)=cos|x|+ln|A.函数f(x)的一个周期为π

B.函数f(x)在区间(π2,π)上单调递增

C.函数f(x)在区间(0,π2)∪(π三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。12.(x+1)(x−2)5的展开式中，x3的系数为

.(用数字填写答案13.已知直线l1:y=2x和l2:y=−2x，过动点M作两直线的平行线，分别交l1、l2于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限.若平行四边形OAMB(O为坐标原点)的面积为3，记动点M的轨迹为曲线E，若曲线E与直线y=k(x−2)有且仅有两个交点，则四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题12分)

已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g′(x)为g(x)的导函数，且f(x)+g′(x)−1=0，f(x−2)−g′(4−x)−1=0，若g(x)为偶函数，则n=12024f(n)=

15.(本小题12分)已知函数f(x)=12sin(2x+π3)，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b(1)求角B;(2)设D为边AC的中点，且△ABC的面积为543，求16.(本小题12分)

如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1中，下底面ABCD为平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB=2A1B1=2(1)求四棱台ABCD−A1(2)求平面D1DM与平面BC17.(本小题12分)甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得−10分;若两人都答对或都答错，则两人均得0分.根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为12，乙答对的概率为2(1)求在一局比赛中，甲的得分X的分布列与数学期望;(2)设这次比赛共有4局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率．18.(本小题12分)已知圆A:(x+1)2+y2=16和点B(1,0)，点P是圆上任意一点，线段PB的垂直平分线与线段PA相交于点(1)求曲线C的方程;(2)若过原点的两条直线分别交曲线C于点A，C和B，D，且kAC⋅kBD=−34(O为坐标原点).判断四边形ABCD19.(本小题12分)帕德近似是法国数学家亨利⋅帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+amxm1+b1x+⋯+bnxn，且满足：f(0)=R(0)，f′(0)=R′(0)，f，⋯⋯，f(m+n)(1)求R(x)的表达式;(2)记F(x)=x(x+2)R(x)−2f(x)，当x≥0时，证明不等式F(x)−2(3)当n∈N∗，且n≥2时，证明不等式ln[(参考答案1.C

2.C

3.A

4.A

5.C

6.B

7.D

8.C

9.BCD

10.BCD

11.BD

12.−40

13.(−∞,−2)∪(2，+∞)

14.2024

15.解：(1)因为f(x)=12sin(2x+π3)，所以f(B2)=12sin(B+π3)=34．

所以sin(B+π3)=32．

因为0<B<π，所以B+π3=2π3，所以B=π3．

(2)因为sinC(1+cosB)=sinB(32−cosC)，所以sinC+sinCcosB+cosCsinB=3216.解：(1)取AD的中点N，则A1D1//ND，A1D1=ND，

所以，四边形A1D1DN为平行四边形．

因为DD1⊥平面ABCD，所以A1N⊥平面ABCD，即梯形的高为D1D(或A1N)．

在直角三角形A1NA中，求得A1N=A1A2−AN2=(42)2−42=4．

因为DD1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以DD1⊥CD．

因为平面CDD1C1⊥平面D1DM，交线为D1D，

因为CD⊥D1D，CD⊂平面CDD1C1，所以CD⊥平面D1DM．

因为MD⊂平面D1DM，所以CD⊥MD，所以DM=MC2−CD2=23，

在直角三角形CDM中，求得边CM的高DM⋅DCMC=23×24=3，

所以，底面ABCD的面积SABCD=BC×3=817.解：(1)X的取值可能为−10，0，10．

P(X=−10)=(1−12)×23=13，

P(X=0)=X−10010P111所以E(X)=(−10)×13+0×12+10×16=−53．

(2)由(1)知，在一局比赛中，

乙获得10分的概率为23×(1−12)=13，

乙获得0分的概率为12×23+(1−12)×(1−23)=12，

乙获得−10分的概率为12×(1−23)=1618.解：(1)由题意知，圆心为A(−1,0)，半径为4，且|QP|=|QB|，|AB|=2．

因为方|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=|PA|=4>|AB|=2，

所以，点Q的轨迹为以A、B为焦点的椭圆．

设椭圆程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则2a=4，2c=2，解得a=2，c=1，

所以，b2=a2−c2=3.所以，曲线C的方程为x24+y23=1．

(2)四边形ABCD的面积为定值，理由如下：

当直线AB的斜率不存在时，直线AB⊥x轴，此时四边形ABCD为矩形，

且kAC=−kBD.因为kAC⋅kBD=y1y2x1x2=−34，不妨设kAC=32，则kBD=−32．

取A(2,62)，B(2,−62)，则四边形ABCD的面积S=4S△OAB=4×12×6×19.解：(1)由题意，R(x)=a0+a1x1+b1x．

因为f(0)=R(0)，所以a0=0，所以R(x)=a1x1+