高考数学一轮复习单元检测(五)平面向量

单元检测(五)平面向量一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2021·重庆市期末]已知a＝(2，1)，b＝(sinα，cosα)，若a⊥b，则tanα＝()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－22．[2021·北京市期末]已知向量a＝(1，eq\r(3))，向量b＝(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，则向量a与向量b的夹角为()A．60°B．30°C．120°D．150°3．[2021·北京市期末]设非零向量a，b，则“(a－b)·(a＋b)＝0”是“|a|＝|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．[2023·江苏省徐州市高三上学期期中]已知a，b，c均为单位向量，且a＋2b－2c＝0，则b·c＝()A．eq\f(3,8)B．eq\f(5,8)C．eq\f(7,8)D．eq\f(9,8)5．[2023·山西省长治市月考]在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，点O在线段CD上(与点C，D不重合).若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x))eq\o(AC,\s\up6(→))，则x的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，0))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))6．[2023·湖南五校联考]已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值为()A．4B．9D．8D．107．[2023·河南省豫南九校联考]已知圆O的半径为2，AB为圆O的直径，点C在圆O上，若cos∠BOC＝eq\f(\r(6),4)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．－eq\r(6)B．eq\r(6)C．－eq\r(10)D．eq\r(10)8.[2023·沧州模拟]在△ABC中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，D是BE上的点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数x的值为()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(2,3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(1,9)9．[2021·辽宁铁岭市二模]△ABC的外接圆的半径等于3，AB＝4，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的取值范围是()A．[－4，24]B．[－8，20]C．[－8，12]D．[－4，20]10．[2023·四川省成都市树德中学模拟]平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(1，eq\r(3))，C(3，eq\r(3))，下列说法不正确的是()A．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x))eq\o(OB,\s\up6(→))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R))，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OP,\s\up6(→))))的最小值为eq\r(3)B．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x－y))eq\o(OC,\s\up6(→))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y，x＋y∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))))，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OP,\s\up6(→))))的最大值为2eq\r(3)C．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))≤1，则点P表示的平面区域的面积为4eq\r(3)D．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))＋z≤1，z≥0，则点P表示平面区域的面积为8eq\r(3)11．[2023·岐山模拟]已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，4)，t∈R，则|ta－eq\r(5)b|的最小值为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．1012．[2023·辽宁省实验中学高三期中测试]数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若AB＝4，AC＝2，则下列各式不正确的是()A．eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－4＝0B．2eq\o(GO,\s\up6(→))＝－eq\o(GH,\s\up6(→))C．eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋6＝0D．eq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．[2023·宁夏石嘴山市平罗中学高三模拟]已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－1)，c＝(1，λ).若c∥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))，则λ＝________．14．[2023·北京海淀区模拟]已知正方形ABCD的边长为eq\r(3)，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值为________．15．已知向量a＝(1，3)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________．16．[2023·江西省丰城中学考试]已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，其中m、n∈R.则eq\f(2m＋1,2n＋2)的最大值为__________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)[2023·江苏省盐城市检测]已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,4)，(a＋b)·(a－b)＝eq\f(1,2).(1)求|b|的值；(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．18．(本小题满分12分)在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上．(1)若eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up6(→))，设eq\o(EF,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，求λ·μ的值；(2)若AB＝3，BC＝4，当eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝2时，求DF的长．19.(本小题满分12分)[2023·江苏省扬州中学高三考试]已知△ABO中，延长BA到C，使AC＝BA，D是将eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一个分点，DC和OA交于E，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)).(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．20．(本小题满分12分)[2023·安徽省示范高中联考]已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数λ，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－λ))eq\o(AN,\s\up6(→))”．此结论往往称为向量的爪子模型．(1)给出这个结论的证明；(2)在△OAB的边OA、OB上分别取点E、F，使eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))，连结BE、AF交于点G.设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.利用上述结论，求出用a、b表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))的表达式．21.(本小题满分12分)[2023·湖南月考]已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C满足sinBsinC＝(sin2B＋sin2C－sin2A)tanA.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的外接圆的圆心是O，半径是1，求eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))的取值范围．22．(本小题满分12分)[2023·山东济南月考]在平面中，已知向量a，b的夹角为eq\f(π,3)，|a－b|＝6，向量c－a，c－b的夹角为eq\f(2π,3)，|c－a|＝2eq\r(3).(1)求a与c的夹角；(2)求a·c的最大值．单元检测（五）平面向量1．答案：B解析：因为a⊥b，所以a·b＝2sinα＋cosα＝0，即tanα＝－eq\f(1,2).2．答案：A解析：设向量a＝（1，eq\r(3)），向量b＝（－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)）的夹角为θ，则θ∈[0，π]，因为cosθ＝eq\f(a·b,|a|×|b|)＝eq\f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋\r(3)×\f(\r(3),2),\r(1＋3)×\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋（\f(\r(3),2)）2))＝eq\f(1,2)，所以θ＝60°.3．答案：C解析：因为（a－b）·（a＋b）＝0⇔|a|2＝|b|2⇔|a|＝|b|，所以“（a－b）·（a＋b）＝0”是“|a|＝|b|”的充要条件．4．答案：C解析：由题意知：2c－2b＝a，则4c2＋4b2－8b·c＝a2，即8－8b·c＝1，得：b·c＝eq\f(7,8).故选C.5．答案：C解析：设eq\o(CO,\s\up6(→))＝yeq\o(BC,\s\up6(→))，因为3eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，点O在线段CD上（与点C，D不重合），所以y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))＝－yeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋y))eq\o(AC,\s\up6(→)).因为eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x))eq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝－y，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，0)).故选C.6．答案：B解析：依题意，得a·b＝x＋y－1＝0⇒x＋y＝1.eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\f(x＋y,x)＋eq\f(4（x＋y）,y)＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥9，当且仅当x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)时取等号．故选B.7．答案：A解析：由cos∠BOC＝eq\f(\r(6),4)，得cos∠AOC＝－eq\f(\r(6),4)，故eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))))cos∠AOC＝2×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),4)))＝－eq\r(6).故选A.8．答案：D解析：∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AE,\s\up6(→))，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(4,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(8,9)eq\o(AE,\s\up6(→))，∵B，D，E三点共线，∴x＋eq\f(8,9)＝1，∴x＝eq\f(1,9).9．答案：D解析：以O为坐标原点，AB∥x轴，建立坐标系，如图，则A（－2，－eq\r(5)），B（2，－eq\r(5)），设C（3cosθ，3sinθ），eq\o(AB,\s\up6(→))＝（4，0），eq\o(AC,\s\up6(→))＝（3cosθ＋2，3sinθ＋eq\r(5)）则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝12cosθ＋8∈[－4，20].10．答案：D解析：对A，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x))eq\o(OB,\s\up6(→))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R))，则点P在直线AB上，由于△OAB是边长为2的等边三角形，故点O到直线AB的距离为eq\r(3)，故A正确；对B，若x＝0，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝yeq\o(OB,\s\up6(→))＋（1－y）eq\o(OC,\s\up6(→))，点P是线段BC上任意一点；若y＝0，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋（1－x）eq\o(OC,\s\up6(→))，点P是线段AC上任意一点；若x＋y＝1，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，则点P是线段AB上任意一点．若x，y，x＋y∈（0，1），则eq\o(OP,\s\up6(→))＝（x＋y）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋y)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(y,x＋y)\o(OB,\s\up6(→))))＋（1－x－y）eq\o(OC,\s\up6(→)).记eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(x,x＋y)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(y,x＋y)eq\o(OB,\s\up6(→))，则点M是线段AB上任意一点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝（x＋y）eq\o(OM,\s\up6(→))＋（1－x－y）eq\o(OC,\s\up6(→))，点P是线段CM上任意一点．综上，点P是△ABC内部及边界上任意一点，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OP,\s\up6(→))))的最大值为OC＝2eq\r(3)，故B正确；对C，记A′（－2，0），B′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\r(3)))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))≤1，则点P在以AA′和BB′为对角线的平行四边形内部及边界，其面积为S＝4×eq\r(3)＝4eq\r(3)，故C正确；对于D，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))＋z≤1，z≥0，由选项B和C知点P是五边形CAB′A′B内部及边界上一点，其面积为4eq\r(3)＋eq\r(3)＝5eq\r(3)，故D错误．故选D.11．答案：D解析：因为向量a＝（－1，2），b＝（3，4），所以ta－eq\r(5)b＝（－t－3eq\r(5)，2t－4eq\r(5)），因此|ta－eq\r(5)b|＝eq\r(（－t－3\r(5)）2＋（2t－4\r(5)）2)＝eq\r(5t2－10\r(5)t＋125)＝eq\r(5（t－\r(5)）2＋100)≥10，当且仅当t＝eq\r(5)时，取得最小值．12．答案：A解析：G是三角形ABC的重心，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×（\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))）))＝eq\f(1,3)（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))），eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－4＝eq\f(1,3)（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))）·（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）－4＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))2－\o(AB,\s\up6(→))2))－4＝－8，A错误．根据欧拉线的知识可知2eq\o(GO,\s\up6(→))＝－eq\o(GH,\s\up6(→))，B选项正确．eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋6＝（eq\o(AH,\s\up6(→))＋eq\o(HO,\s\up6(→))）·eq\o(BC,\s\up6(→))＋6＝eq\o(AH,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(HO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋6＝eq\o(HO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋6＝eq\f(3,2)eq\o(HG,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋6＝eq\f(3,2)（eq\o(AG,\s\up6(→))－eq\o(AH,\s\up6(→))）·eq\o(BC,\s\up6(→))＋6＝eq\f(3,2)（eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AH,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))）＋6＝eq\f(3,2)eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋6＝eq\f(3,2)×eq\f(1,3)（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))）×（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）＋6＝eq\f(1,2)（22－42）＋6＝0，所以C选项正确．eq\o(OH,\s\up6(→))＝3eq\o(OG,\s\up6(→))＝3（eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))）＝3eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AG,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))＋3×eq\f(1,3)（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))）＝3eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以D选项正确．故选A.13．答案：eq\f(1,4)解析：由a＝（1，2），b＝（3，－1），所以a＋b＝（4，1），又因为c∥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))，c＝（1，λ），所以4λ－1＝0，解得λ＝eq\f(1,4).14．答案：eq\f(9,8)解析：正方形中，BD＝eq\r(6)，∵eq\o(BP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，∴BP＝eq\f(3,4)BD＝eq\f(3\r(6),4)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝（eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))）·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))2－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝（eq\f(3\r(6),4)）2－eq\r(3)×eq\f(3\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(9,8).15．答案：2解析：由a∥b可得，3sinα＝cosα，得tanα＝eq\f(1,3)，而taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(\f(1,3)＋1,1－\f(1,3))＝2.16．答案：eq\f(3＋\r(3),4)解析：以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0）、B（2，0）、Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2))、Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2))、Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m，2n))，即点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m，2n))，因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OP,\s\up6(→))))＝1，则点P在以O为圆心，半径为1的圆上，设点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cosθ，1＋sinθ))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＝1＋cosθ,2n＝1＋sinθ))，则t＝eq\f(2m＋1,2n＋2)＝eq\f(2＋cosθ,3＋sinθ)，整理可得tsinθ－cosθ＝2－3t，所以，eq\r(1＋t2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－φ))＝2－3t，其中cosφ＝eq\f(t,\r(1＋t2))，sinφ＝eq\f(1,\r(1＋t2))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－3t))≤eq\r(t2＋1)，整理可得8t2－12t＋3≤0，解得eq\f(3－\r(3),4)≤t≤eq\f(3＋\r(3),4)，因此，eq\f(2m＋1,2n＋2)的最大值为eq\f(3＋\r(3),4).17．解析：（1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2＝eq\f(1,2)，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝1，∴|b|2＝eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\f(\r(2),2).（2）eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2＋2a·b＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2＝1＋2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝2，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2－2a·b＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2＝1－2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝1，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝1，设向量a＋b与a－b夹角为θ，∴cosθ＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))×\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b)))＝eq\f(\f(1,2),1×\r(2))＝eq\f(\r(2),4).18．解析：（1）∵在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up6(→))，在矩形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴λ＝－eq\f(1,4)，μ＝eq\f(1,2)，∴λ·μ＝－eq\f(1,8).（2）设eq\o(DF,\s\up6(→))＝meq\o(DC,\s\up6(→))（m>0），则eq\o(CF,\s\up6(→))＝（m－1）eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝（m－1）eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝（m－1）eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))）·[（m－1）eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))]＝（m－1）eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))2＝9（m－1）＋8＝2，解得m＝eq\f(1,3).∴DF的长为1.19．解析：（1）由题意知A是BC的中点，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－eq\f(5,3)b.（2）因为eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝2a－b－λa＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－λ))a－b，且eq\o(EC,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\f(2－λ,2)＝eq\f(－1,－\f(5,3))＝eq\f(3,5)，解得λ＝eq\f(4,5).20．解析：（1）先证充分性．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋（1－λ）eq\o(AN,\s\up6(→))，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ（eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))）＋eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))＝λ（eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))），即eq\o(NP,\s\up6(→))＝λeq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))∥eq\o(NM,\s\up6(→))，故M，P，N三点共线．再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数λ，使得eq\o(NP,\s\up6(→))＝λeq\o(NM,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))＝λ（eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))），eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ（eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))）＋eq\o(AN,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋（1－λ）eq\o(AN,\s\up6(→)).综上知，结论成立．（2）利用A，G，F和B，G，E共线的充要条件，存在实数λ，μ使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝λa＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－λ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)b))＝μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－μ))b则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,3)μ,\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－λ))＝1－μ))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,11),μ＝\f(9,11))