高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)2.3直线交点坐标与距离公式(原卷版+解析)

2.3直线交点坐标与距离公式备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：相交直线交点坐标；两点间的距离公式；点到直线的距离公式；两条平行线间的距离公式课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一．平面上两直线的位置关系及判断方法（1）①平行：且（注意验证）②重合：且③相交：特别地，垂直：（2）①平行：且（验证）②重合：且③相交：特别地，垂直：（3）与直线平行的直线可设为：与直线垂直的直线可设为：两点间距离公式平面上两点间的距离公式：，则点到直线的距离公式点到直线的距离公式：平行线间的距离公式两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）五、其他公式（1）线段中点坐标公式：，则中点的坐标为（2）三角形重心坐标公式：，则三角形的重心坐标公式为：（3）点关于点的对称点的求法：点为中点（4）点关于直线的对称点的求法：利用直线与直线垂直以及的中点在直线上，列出方程组，求出点的坐标。考点讲解考点讲解考点1：相交直线交点坐标例1．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．或【方法技巧】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.【变式训练】【变式1】．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（

）A． B． C． D．【变式2】．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是______．【变式3】．直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．【变式4】．已知两直线和的交点为P．求：(1)过点P与的直线方程；(2)过点P且与直线平行的直线方程．考点2：两点间的距离公式例2．已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（

）A．5 B．6 C． D．【方法技巧】1.根据两点之间距离最小结合点关于直线的对称性即可根据两点间距离公式求解.2.平面上两点间的距离公式：，则【变式训练】【变式1】．设复数在复平面内对应的点分别为，则两点之间距离的最大值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【变式2】．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（

）A． B． C． D．【变式3】．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为________．考点3：点到直线的距离公式例3．已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．【方法技巧】利用对称性求出对称点的坐标。画出示意图，数形几何，求出结果【变式训练】【变式1】．点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．【变式2】．若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．【变式3】．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．5 C． D．【变式4】．已知直线过点，O为坐标原点．(1)若与OM垂直，求直线的方程；(2)若O到的距离为2，求直线的方程．考点4两条平行线间的距离公式例4．已知两直线与，则与间的距离为（

）A． B． C． D．【方法技巧】1.两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）2.根据平行线间距离公式即可求解.【变式训练】【变式1】．若直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线的倾斜角的大小为____．【变式2】．两条平行线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是____．【变式3】．已知直线.(1)若，求实数的值；(2)当时，求直线与之间的距离.知识小结知识小结1.两点间距离公式平面上两点间的距离公式：，则2.点到直线的距离公式点到直线的距离公式：3.平行线间的距离公式两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）巩固提升巩固提升一、单选题1．若直线：与：垂直，则实数（

）A． B．C． D．2．直线：与：之间的距离为（

）A． B． C． D．3．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为(

)A． B．C． D．4．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（

）A． B．C． D．5．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（

）A．－3 B．3 C．－1 D．－3或36．点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（

）A．或 B．或C．或 D．或7．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．(多选题)与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（

）A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝010．下列说法错误的是（

）A．点到直线的距离为B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为三、填空题11．直线关于直线对称的直线方程为___________.12．已知的顶点为，则边上的中线长为____．13．设的最小值为_______.14．过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为________．四、解答题15．已知平面直角坐标系内两点A（4，0），B（0，3）.(1)求直线AB的方程；(2)若直线l平行于直线AB，且到直线AB的距离为2，求直线l的方程.16．已知直线和．(1)若两直线垂直，求实数a的值；(2)若两直线平行，求两直线间的距离．2.3直线交点坐标与距离公式备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：相交直线交点坐标；两点间的距离公式；点到直线的距离公式；两条平行线间的距离公式课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一．平面上两直线的位置关系及判断方法（1）①平行：且（注意验证）②重合：且③相交：特别地，垂直：（2）①平行：且（验证）②重合：且③相交：特别地，垂直：（3）与直线平行的直线可设为：与直线垂直的直线可设为：两点间距离公式平面上两点间的距离公式：，则点到直线的距离公式点到直线的距离公式：平行线间的距离公式两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）五、其他公式（1）线段中点坐标公式：，则中点的坐标为（2）三角形重心坐标公式：，则三角形的重心坐标公式为：（3）点关于点的对称点的求法：点为中点（4）点关于直线的对称点的求法：利用直线与直线垂直以及的中点在直线上，列出方程组，求出点的坐标。考点讲解考点讲解考点1：相交直线交点坐标例1．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．或【答案】C【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得．方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误.故选：C．【方法技巧】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.【变式训练】【变式1】．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，求出直线、的方程，联立可求得结果.【详解】因为，所以，直线的方程为，即，设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，此时直线的方程为，联立，解得，因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为.故选：C.【变式2】．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是______．【答案】且【分析】排除，及交于一点的情况，即可得解.【详解】由得，由得，由得，若在上，则．故若能构成一个三角形，则．故答案为：且.【变式3】．直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．【答案】【分析】联立方程求两直线的交点坐标，进而根据第四象限的特征即可列不等式求解.【详解】由题意可得，解得，且，故答案为：【变式4】．已知两直线和的交点为P．求：(1)过点P与的直线方程；(2)过点P且与直线平行的直线方程．分析】（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线.（2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线.（1）设过直线和交点的直线方程为，即．①把点代入方程①，化简得，解得，所以过点P与Q的直线方程为，即．（2）由两直线平行，得，得，所以所求直线的方程为，即．考点2：两点间的距离公式例2．已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（

）A．5 B．6 C． D．【答案】C【详解】表示点到点和点的距离之和．因为点关于直线的对称点为，所以m的最小值为点与点之间的距离，即．此时点为与的交点.故选：C【方法技巧】1.根据两点之间距离最小结合点关于直线的对称性即可根据两点间距离公式求解.2.平面上两点间的距离公式：，则【变式训练】【变式1】．设复数在复平面内对应的点分别为，则两点之间距离的最大值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】，则，再由两点之间的距离公式求解即可【详解】设，因为，所以，因为复数在复平面内对应的点分别为，，所以，所以，故当时，取得最大值，故选：C【变式2】．已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据“切割型直线”的定义，利用点到直线的距离公式逐个计算点到直线的距离，与4比较大小即可得结论【详解】对于A，设点M到直线的距离为d，对于A，，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故A不符合题意；对于B，，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意；对于C，，故直线上存在一点到点M的距离等于4，故C符合题意；对于D，，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，故D不符合题意．故选：BC【变式3】．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为________．【答案】或【分析】由题意得，，根据直线垂直的斜率公式与两点距离公式列式求解.【详解】设，由题意知，，得，可化为，解得或，所以点的坐标为或．故答案为：或考点3：点到直线的距离公式例3．已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．【答案】【分析】作B关于l的对称点，利用对称关系求出其坐标，则由图可得，从而可求得结果【详解】如图，作B关于l的对称点，设，则，解得，所以．因为与B关于l对称，所以，所以，当且仅当P为与l的交点时取等号．所以的最大值为，故答案为：【方法技巧】利用对称性求出对称点的坐标。画出示意图，数形几何，求出结果【变式训练】【变式1】．点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．【答案】【分析】设点(3,4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果.【详解】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为，则，解得，所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为．故答案为：【变式2】．若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．【答案】或【分析】先求出交点坐标.讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线的距离为1，即可求出直线.【详解】方法一：由，得两直线的交点坐标为．当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，则，解得，此时直线m的方程为；当直线m的斜率不存在时，，点到直线m的距离等于1，满足条件．综上，直线m的方程为或．方法二：设直线m的方程为，即，则，解得或，所以直线m的方程为或．故答案为：或【变式3】．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．故选：A．【变式4】．已知直线过点，O为坐标原点．(1)若与OM垂直，求直线的方程；(2)若O到的距离为2，求直线的方程．【分析】（1）由点，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）分直线斜率存在和斜率不存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，即可求解.(1)解：因为点，可得，则直线的斜率，所以直线的方程为，即．(2)解：当直线斜率存在时，设方程为，即，由，解得，直线l方程为；当直线斜率不存在时，的方程为，原点到的距离为2，综上可得，直线的方程为或．考点4两条平行线间的距离公式例4．已知两直线与，则与间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】直线的方程可化为（使用两条平行直线间的距离公式时，x，y的系数要对应相等），显然，所以与间的距离为．故选:D．【方法技巧】1.两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）2.根据平行线间距离公式即可求解.【变式训练】【变式1】．若直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线的倾斜角的大小为____．【答案】【分析】根据两平行线间的距离与的比较可得直线和两平行线的夹角为90°，再根据倾斜角的关系求解即可【详解】由两平行线间的距离为，直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，可得直线和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为，故直线的倾斜角为故答案为：【变式2】．两条平行线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是____．【答案】【分析】借助与的夹角和的距离表示出两平行直线之间的距离，然后根据三角函数的值域可得.【详解】过点P作PR垂直于，垂足为R，．记与的夹角为，则则所以，即之间距离的取值范围是故答案为：【变式3】．已知直线.(1)若，求实数的值；(2)当时，求直线与之间的距离.【答案】(1)(2)【分析】（1）若斜率存在，两直线垂直斜率的乘积为.（2）根据两直线平行，斜率相等解出的值，再利用平行线间的距离公式求解即可.（1）因为直线的斜率存在且不为0，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，直线的斜率为.则，当时有，解得.（2）当时，，解得.即所以和间的距离知识小结知识小结1.两点间距离公式平面上两点间的距离公式：，则2.点到直线的距离公式点到直线的距离公式：3.平行线间的距离公式两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）巩固提升巩固提升一、单选题1．若直线：与：垂直，则实数（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，代入运算求解．【详解】由题意可得：，则故选：D．2．直线：与：之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断与平行，再由平行线间的距离公式求解即可.【详解】由可得，即与平行，故与之间的距离为.故选：B.3．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．【详解】由解得，故两直线交点为(－1，2)，故直线方程是：，即．故选：A．4．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，直线，整理为，原点O到直线距离为，故选：B5．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（

）A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3【答案】D【分析】方法一：根据点到线的距离公式求解即可，方法二：数形结合分析可得直线或AB的中点在直线l上，再分别计算即可.【详解】方法一

由题意得，即，所以或，解得或．方法二

因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3．故选：D6．点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解.【详解】设，直线的方程为，点到直线的距离，，所以，解得：或，所以点的坐标为或.故选：A7．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据光线反射的性质，利用解三角形可得坐标，再由求解即可.【详解】由题意，，则,，，，即，，解得.故选：A8．已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式，联立得到表达式代入求解即可.【详解】解：设，，则，的中点为，，分别在直线和，，，，即.，即，又，，即，所以，即，所以，解得.故选：A.二、多选题9．(多选题)与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（

）A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0【答案】BD【分析】将2x－y－3＝0与A,B,C,D中直线方程联立，解方程组，从而作出判断.【详解】对于A，联立，方程组无解，两直线平行；对于B，联立方程组，解得：，有唯一解，与原直线相交；对于C，联立方程组有无数解，与原直线重合；对于D，联立方程组有唯一解，与原直线相交.故选：BD.10．下列说法错误的是（

）A．点到直线的距离为B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】ACD【分析】对于A，根据点到直线的距离公式计算可判断；对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；对于C，将直线令和令求得，再根据三角形的面积公式计算可判断；对于D，分直线过原点和直线不过原点时，分别设直线的方程，代入已知点求解即可.【详解】对于A，点到直线的距离为，故A错误；对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；对于C，直线，令得，令得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C不正确；对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线，当直线过原点时，设直线