高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）1.1.2 空间向量的数量积运算(附答案)

1.1.2空间向量的数量积运算【考点梳理】考点一空间向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.考点二空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).考点三向量a的投影1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．【题型归纳】题型一：空间向量的数量积的运算1．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（

）．A．6 B． C．3 D．2．如图，在平行六面体中，，，则（

）A．1 B． C．9 D．33．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正确的个数为（

）A． B． C． D．题型二：求空间向量的数量积4．如图，在平行六面体中，，，，则（

）A．12 B．8 C．6 D．45．如图，已知正方体，设，，，则（

）.A． B． C． D．6．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2题型三：空间向量的数量积的应用（夹角和模）7．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（

）A． B． C． D．8．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．9．在平行六面体中，，，，，则（

）A． B． C．0 D．题型四：空间向量的数量积的综合10．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设．(1)求；(2)求．11．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.12．平行六面体，(1)若，，，，，，求长；(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．【双基达标】一、单选题13．四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（

）A． B． C． D．14．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（

）A．1 B． C． D．15．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（

）A． B． C． D．16．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（

）A．5 B． C． D．17．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（

）A． B． C． D．18．如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（

）A． B． C．或 D．3或19．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（

）A． B． C． D．20．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（

）A． B．3 C． D．221．如图，在单位正方体中，设，，，求：(1)；(2)；(3)．22．如图，在三棱锥中，平面，，，．(1)确定在平面上的投影向量，并求；(2)确定在上的投影向量，并求．【高分突破】一：单选题23．平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则的长度为（

）A． B． C． D．24．在平行六面体中，其中，，，则（

）A．25 B．5 C．14 D．25．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（

）A． B． C． D．26．在正方体中，下列结论错误的是（

）A． B．C．向量与的夹角是120° D．正方体的体积为27．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．二、多选题28．已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是(

)A．B．C．D．29．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是()A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为30．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则（

）A．B．C．D．异面直线与所成角的余弦值为31．在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若直线与交于点O，则32．四面体中，各棱长均为，点分别是的中点，则下列向量的数量积等于的是（

）A． B．C． D．33．判断下列结论正确的是（

）A．空间中任意两个非零向量，共面．B．在三个向量的数量积运算中．C．对于非零向量，由数量积，则．D．若，，，是空间任意四点，则有．34．如图，在平行六面体中，，，，，则（

）A． B．C． D．三、填空题35．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.36．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________.37．已知空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，=___________.38．如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________.39．已知O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则最小值为______．四、解答题40．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，设，，．(1)用，，表示，并求；(2)求．41．如图，是平行四边形，，.如图，把平行四边形沿对角线折起，使与成角，求的长.42．三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，.(1)试用，，表示向量；(2)若，，，求的长.43．如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，.(1)试用向量，，表示向量；(2)若，，，求的值.44．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.（1）试用、、表示；（2）求的长度.45．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段A1D的中点，点N在线段C1D1上，且，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1．（1）求满足的实数x、y、z的值．（2）求AC1的长．46．如图所示，点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，为的中点.（1）求满足的实数，，的值；（2）若，，求的长.47．如图，正四面体的高的中点为，的中点为.（1）求证：，，两两垂直；（2）求.【答案详解】1．B【详解】∵，∴∴，即AC1的长为.故选：B2．D【详解】在平行六面体中，有，，由题知，，，，，所以，，与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，所以.所以.故选：D.3．B【详解】对于①，，①正确；对于②，向量不能作比值，即错误，②错误；对于③，设、的夹角为，则，③错误；对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确.故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量数量积的定义与运算性质判断等式的正误，属于基础题.4．B【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】故选：B5．D【解析】【分析】利用求出，再求出，则根据可得答案.【详解】设正方体的棱长为1，因为所以，又，，又，故选：D.6．D【解析】【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，则，因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，，所以.故选：D7．D【解析】【分析】将用基底表示，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，，则.故选：D.8．B【解析】【分析】根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为是平行六面体，所以，所以有：，因此有：，因为，，，，，所以，所以，故选：B9．C【解析】【分析】结合空间向量的数量积的定义及运算律求出和，进而结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为，则，即，,则，即，则故选：C.10．(1)(2)【解析】【分析】（1）先按照空间向量的加减运算表示出，再按照数量积运算求出；（2）先表示出，再按照数量积运算求解.(1)，，，，，即有；(2)．11．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用基底表达，求解，从而求出；（2）计算出，用向量夹角余弦公式求解.(1)，，故，所以的长为；(2)，由（1）知：，设直线与所成角为∴，∴直线与所成角的余弦值为.12．(1)；(2).【解析】【分析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.(1)，，，，∴，；(2)∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，设与所成的角为，则.13．A【解析】【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于：若与垂直，又与垂直，则平面与垂直，则与垂直，与与不一定垂直矛盾，所以与不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为0；对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；对于：根据题意，有平面，则，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0.故选：．14．D【解析】【分析】先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.【详解】由题意得，故.故选：D.15．C【解析】【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果【详解】由题意得，，因为,所以，所以，故选：C16．C【解析】【分析】先求的平方后再求解即可.【详解】，故，故选：C17．C【解析】【分析】利用向量的中点公式表示和，然后利用向量的数量积公式运算即可求解.【详解】因为E，F分别是BC，AD的中点，所以，，又因为正四面体ABCD的棱长都为1，所以，故．故选：C．18．A【解析】【分析】取AC的中点E，可得，然后利用模长公式即得.【详解】取AC的中点E，连接ME、EN，又，分别为和的中点，∴ME∥BC，且，∥AD，且，∵向量与向量的夹角为，∴向量与向量的夹角为，又，∴，∴，即线段长为.故选：A.19．D【解析】【分析】用表示，然后计算数量积．【详解】由已知，因为，，所以，，．故选：D．20．B【解析】【分析】选定为基向量，利用向量数量积的计算法则求解即可.【详解】设，由题意得：，，.故选：B.21．(1)0(2)1(3)3【解析】【分析】由题意，，根据向量的数量积的运算性质可得答案.(1)在单位正方体中，由题意，所以(2)(3)22．(1)在平面上的投影向量为，；(2)在上的投影向量为，.【解析】【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.(1)因为平面，所以在平面上的投影向量为，因为平面，面，可得，所以，因为，所以，所以.(2)由（1）知：，，所以在上的投影向量为：，由数量积的几何意义可得：.23．A【解析】【分析】先求出，，，，，，再计算即可.【详解】解：因为底面是边长为2的正方形，侧棱，且，则，，，，，，则，故选：A.24．B【解析】【分析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.【详解】解：，所以，所以，故选：B.25．B【解析】【分析】设，根据线面垂直的性质得，，，，根据向量数量积的定义逐一计算，比较可得答案.【详解】解：设，因为平面，所以，，，，又底面是正方形，所以，，对于A，；对于B，；对于C，；对于D，，所以数量积最大的是，故选：B.26．D【解析】【分析】根据空间向量的知识对每个选项逐一分析即可.【详解】正方体如图所示，对于A选项，，，故A正确；对于B选项，，在平面内的投影为，又因为，即，故B正确；对于C选项，为等边三角形，，向量与的夹角是，故C正确；对于D选项，，，故D显然错误.故选：D27．B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得，从而得出，再根据向量的数量积运算，即可求出的值.【详解】解：，，，，，，由图可知，，，所以的值为.故选：B.28．ABD【解析】【分析】根据题意在一个长方体内部作出四面体ABCD，从图形上把各个向量对应的有向线段表示出来，对四个选项进行判断即可．【详解】由题可知，可做如图所示的长方体，设.，，故A正确；，故B正确；∵平面，∴，，∴，但无法判断AE和BC是否垂直，故C不一定正确；由图易知，故＝0，故D正确.故选：ABD．29．AB【解析】【分析】根据正方体ABCD﹣A1B1C1D1的特征，利用空间向量的线性运算以及数量积公式即可求解.【详解】由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1如下图所示：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1BD1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，∴，故0，故D错误．故选：AB．30．BD【解析】【分析】取基底，由空间向量数量积及其性质直接计算可得.【详解】设，，，则，，，，，，，，所以．故选：BD.31．AB【解析】【分析】根据空间向量的线性运算、空间向量的数量积和模的运算即可求得答案.【详解】对A，由题意，，A正确；对B，，B正确；对C，，则，C错误；对D，由题意可知，，则，D错误.故选：AB.32．BD【解析】【分析】利用正四面体的结构特征逐项分析计算即可判断作答.【详解】依题意，四面体ABCD是正四面体，对于A，，，A不是；对于B，，，B是；对于C，因是的中点，则，而，，C不是；对于D，因是的中点，则，，D是.故选：BD33．AD【解析】【分析】由向量共面的条件判断A，由数量积的性质判断B，由向量垂直判断C，由向量的加法法则判断D【详解】对于A：空间中任意两个非零向量，可以构成一个平面，故A正确；对于B：向量的数量积不满足结合律，故B错误；对于C：当互相垂直时，C错误；对于D：根据向量的加法法则可知：，故,故D正确；故选：AD34．CD【解析】【分析】对于A：由，可判断；对于B：由空间向量的线性运算得，从而有，，由此可判断；对于C：由空间向量的数量积运算可判断；对于D：根据空间向量的线性运算和数量积运算可判断．【详解】解：对于A：在平行六面体中，有，，故A错误；对于B：，，，，又，∴，故B错误；对于C：，，由题知，，，，，所以，，故C正确；对于D：，，．所以．故D正确，故选：CD．35．##【解析】【分析】如图，在正三棱锥中，以为基底，，，利用向量数量积性质进行计算即可得解.【详解】根据题意为正四面体，两两成角，所以，，所以.故答案为：36．【解析】【分析】由，借助模长公式得出的长.【详解】因为所以即故答案为：37．【解析】【分析】利用空间向量的数量积的运算律及模长公式即求.【详解】∵空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，∴，∴.故答案为：.38．【解析】【分析】由题意，二面角等于，根据，结合向量的运算，即可求解.【详解】由题意，二面角等于，可得向量，，因为，可得,所以.故答案为：39．【解析】【分析】由已知设，，，求出向量，的坐标，代入空间向量的数量积运算公式，再根据二次函数的性质，可得到满足条件的的值，进而得到最小值．【详解】，点在直线上运动，设，，又向量，，，，，，，则易得当时，取得最小值为．故答案为：40．(1)，(2)0【解析】【分析】（1）把，，作为基底，利用空间向量基本定理表示，然后根据已知的数据求，（2）先把用基底表示，然后化简求解(1)因为，，，,所以，因为底面ABCD是边长为1的正方形，，