因式分解-第十讲学生版

第十讲因式分解

一.基础知识

多项式因式分解是中学代数中的变形基础，是代数恒等变形的最有力的杠杆之一.它作为数学工具,

在

代数、几何、三角等的解题与证明中起着重要作用.

概念:把一个多项式分成几个整式乘积的叫做多项式的因式分解,也叫分解因式.

性质：多项式能被它的每一个因式整除.因式分解与整式的乘法是互逆的整式变形.

1.因式分解的常用方法：

1)提取公因式法ma+mb+me=m(a+b+c)

2)运用公式法

a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

a2±lab+b2=(a+b)2

a3±3a2b+3ab^+b3=(a土b)3

a2+b2+c~+lab+2bc+2ac=(a+b+c)2

/+/r+—3abe=(a+)+c)(a~+b~+c~—ab—be—ac)

an-bn={a-。)(屋t+an-2b+a"+……+叱+产)

3)十字相乘法

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

4)分组分解法

常用的分组方法有:按系数分组;按字母分组;按次数分组；按符号分组;重新分组.

2.其它方法

5)拆项,添项法

6)换元法

7)求根法(配方法)

令展'+bx+c=0若A=〃-4-acN0那么有两实根石,々•则«x2+bx+c=”(％-七)(%一々).

8)双十字相乘法

9)待定系数法

10)因式定理和综合除法

3.解题技巧

1)思想是初中数学中常见的一种数学思想,它的应用范围广泛,在因式分解中也常用到转化的思想.

2)整体思想也是常见的一种数学,尤其实在因式分解中,运用整体思想可以使解题思路清晰,步骤简洁.

3)因式分解在中考中也占有一定地位,应该注意以下几点：因式分解的对象是多项式，如果不是多项式,即

使写成乘积的形式也不是因式分解；结果一定是乘积的形式;每个因式必须是整式;分解要彻底.

一般而言,把一个多项式分解因式,可按下列步骤进行：

多项式各项有公因式时,首先提取公因式;各项没有公因式时,看能否用公式法分解;对于二次三项式可考

虑用完全平方公式或者十字相乘法分解;如果都不能分解,再看能否用分组分解法分解.若以上方法均感到

困难,可考虑配方法,换元法,待定系数法等.

二.例题

L选择题

1）（2004.西宁★★）分解因式：2x（〃—2）+3y（2—。）等于()

A.(〃一2)(2x-3y)B.(a-2)(3x-2y)C.(2-a)(2x-3y)D.(2-a)(3x-2y)

2）（2004.宁夏★★★）把多项式l-x2+2xy-y2分解因式的结果是)

A.(l-x-y)(l+x-y)B.(l+x-y)(l-x+y)

C.(1—x—y)(l—%+y)D.(l+%-y)(l+%+y)

3)(2005.盐城★)下列因式分解中,结果正确是()

A.X2-4=(X+2)(X-2)B.l-(x+2)2=(x+l)(x+3)

232222

C.2mn-8n=2«(m-47i)D.x-x+—=x(1-—H----T)

4x4x

4)(2007.创新题★★)已知向T与互S+1)2为相反数,则ax3-by3-a^y+bxy2分解因式的结果为

()

A.(x+y)(x-y)2B.(x-j)(x+y)2C.(x+y)3D.(x-2y)(x-y)2

5)(2006.中考预测★★)要使二次三项式V+m—6能在有理数范围内分解因式,则，〃可取整数为

()

A.±1B.±5C±1,±5D.±1,±6

6)(2006.中考预测十川已知二次三项式2炉+法+。分解因式为2(%—3)(%+1),则仇。的值为(D)

A.b=3,c=-lb=-6,c=2C.b=-6,c=4D.b=-4,c=-6

7)(2004.河南★★★)已知a=Lx+20/='x+19,c=°x+21,那么代数式

202020

/十〃一Qb—bc—ac的值是(B)

**B.3C.2D.1

8)(2007.中考预测★★)将多项式炉—4：/—gz?-12yz分解成因式的积,结果是(D)

A.(x+2y-3z)(x-2y-3z)B.(x-2y-3z)(x-2y+3z)

C.(x+2y+3z)(x+2y-3z)D.(x+2y+3z)(x-2y-3z)

9）（2001.广东竞赛★★）下列各式分解因式后,可表示为一次因式乘积的是(A)

A.X3-9X2+27X-27B.丁——+27x—27

C.x4—%3+27x—27D.丁—+9x—27

10)(2007.中考预测★★★★)已知％+y=1,丁+3/+3%+3y—3y2+y=37,贝频—+1)4+⑶-i)4=

(A)

**B.17C.97D.1

2.（1998.安徽★★★）证明1997x1998x1999x2000+1是一个整数的平方,并求出这个整数.

3.（1999.天津★★★★）k为何值时,多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？

4.（1999.北京★★★★）不等于0的三个数a,dc满足工+▲+」=—i—，求证：a,4c中至少有两个数

abca+b+c

互为相反数.

5.（1984.广州）若。是自然数，则/-3a2+9是质数还是合数?给出证明.

6.（1999.武汉★★★★）已知关于x的一元二次方程好++c=0,（1）若"c,是方程的两个不同的根,求

b,c,的值；⑵设％尸是这个方程的两个根,分解因式：[/+S+l）x+cy+b[V+3+l）x+c]+c.

7.（2007.中考预测★★★）分解因式：（l+x+f+Vy—d.

8.（2001.山东竞赛★★★★）分解因式：（。+。一2ab）（a+0—2）+（l-仍了

9.(1997.全国联赛★★★★)分解因式：6x4+5x3-38x2+5x+6

10.(2003.山西竞赛★★★★)已知x5-5qx+4r能被(x-c)?整除,求证：q，=/.

补充：

例1.（2005年北京市竞赛题）设a,b,c是三角形的三边长，求证:

13+Z?3+/—a(b—c)2—b(c—Q)?—c(a—Z?)2—4-cibc<0

x+xy+y=2+30

例2.（2001年北京市初二数学竞赛题）已知实数无,y满足方程组

12+,2=6

贝(J|x+y+l|=

例3.（2。。°年徐州市竞赛题）⑴化简3+沙凄何⑵化简史/齐

例4解方程2(lOx+13)