高中数学人教A版选择性必修第一册1.4.1空间中点、线、面的向量 表示(第 1课时)基础练习

1.4.1空间中点、线、面的向量表示(第1课时)

基础练习

一、单选题

1.若直线/的一个方向向量为优，平面a的一个法向量为〃，则可能使〃/a的是()

A.机=(1,0,0),«=(-2,0,0)B.，〃=(1,3,5),"=(1,0,1)

C.m=(0,2,1),/i=(—1,0,—1)D.=一1,3),n=(0,3,1)

【答案】D

【分析】根据题意可得分£=0,再逐个选项代入判断即可.

【详解】要使〃/a成立，需使力•方=0,将选项一一代入验证，只有D满足

ZH-n=lx0-lx3+3xl=0.

2.在直三棱柱A8C-A4G中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是()

A.ABB.AGC.BQD.A4,

【答案】D

【分析】作出图像，根据直棱柱侧棱垂直于底面即可求解.

【详解】如图，

•••CG、AA、8片均垂直于平面A8C,故选项D中/14可以作为平面A3C的法向量.

3.下列说法不正确的是().

A.平面a的一个法向量垂直于与平面a共面的所有向量

B.一个平面的所有法向量互相平行

C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直

D.如果〃，力与平面a共面，且"_L°,n],b，那么〃就是平面a的一个法向量

【答案】D

【分析】根据平面法向量的定义和性质逐项判断即可.

【详解】对于A,根据平面法向量的定义可知，平面a的法向量垂直于与平面a共面的所有向

量，故A正确；

对于B,一个平面的所有法向量与平面都垂直，...都互相平行，故B正确；

对于C,如果两个平面的法向量垂直，根据线面垂直的性质定理和判定定理可以判断这两个平

面也垂直，故C正确：

对于D,如果八方与平面。共面且nib.当a、匕共线时，”不定是平面a的一个

法向量，故D错误.

4.（2021•全国•高二课时练习）如图，四棱柱AB8-ABCQ的底面ABC。是正方形，。为

1

底面中心，A。"■平面A8C£>,AB=AA]=>/2.平面。Cg的法向量：=（工,弘2）为（）

A.（0,1,1）B.（1,-1,1）C.（1,0,-1）D.

【答案】C

【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解.

【详解】ABCD是正方形，且AB=及，

AO=OC=l,

0A=1,

.•.A(0,-l,0),B(1,0,0),c(o,i,o),A(0,0,1),

Afi=(1,1,0),OC=(0,1,0),

乂=AB=(l,l,0),

.•.B,(MJ),。4=(1,1,1),

•.•平面0C81的法向量为。=(x,y,z),

[y=0

则｛八，得y=。，x=-z,

[x+y+z=0

结合选项，可得〃=(1,(),-1),

5.过空间三点A(IJO),B(l,0,l),C(0,l,l)的平面的一个法向量是()

A.(1,1,1)B.(1,1-1)C.(1,0,1)D.(-1,0,1)

【答案】A

【分析】设出平面的法向量为a=(x,y,z),利用垂直关系，布列方程组，即可得到结果.

【详解】=AC=(-1,0,1).

设平面的法向量为a=(x,y,z).

由题意知a.AB=0，aAC=0'

y+z=0[x=z

,、，解得，

-x+z=o[y=z

令z=l,得平面的一个法向量是

6.已知直线/过点尸(1,0,-1),平行于向量1=(2,1,1),平面灯经过直线/和点A(l,2,3),则平面

万的一个法向量〃的坐标为()

A.(展-21)B.2)C.(1,0,—2)D.(1,—2,0)

【答案】A

【分析】设法向量"=(x,y,z),利用空间向量的数量积即可求解.

【详解】由题意可得AP=(O,—2,T),

设经过直线I和点A平面的法向量为n=(x,y,z),

r,n-AP=-2y-4z=0

n-s=2x+y+z=0

令x=l,则y=-4,z=2,

所以〃=(l,-4,2),

所以经过直线/和点A平面的法向量为&-4r,2r)(z6/?,?*0).

7.(2022•全国•高二课时练习)有以下命题：

①一个平面的单位法向量是唯一的

②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行

③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交

④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直

其中真命题的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②,

根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.

【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；

当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故②错误;

因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；

若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④

错误.

二、多选题

8.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCQ-ABC2是棱长为1的正方体，给出下列结论中，

正确的是()

A.直线8。的一个方向向量为(-2,2,2)

B.直线8R的一个方向向量为(2,2,2)

C.平面SCR的一个法向量为(1,1,1)

D.平面SCO的一个法向量为(1,1,1)

【答案】AC

【分析】求出8〃=(-1,1,1)即可判断AB的正误，求出平面BCD的法向量判断C的正误，求

出平面8t。的法向量判断D的正误.

【详解】由题意,B(l,0,0),Bt(1,0,1),C(l,1,0),0(0,1,0),Dt(0,1,1),

•••.•.向量(-2,2,2)为直线8。的一个方向向量，故A正确,B不正确；

[n-CB.=0

设平面用CR的法向量为”=(x,y,z),贝ij,

n-CD}=0

由CB、=(0,-1,1),CRHT。」)得，

令x=l得〃=(1,1,1),则C正确；

.,、m-CB.=0

设平面的法向量为”=(a,b,c),则,

mCD=0

/、/{-b+c=0

由磔=(0,-1,1),8=(-1,0,())得_“=0,

令人=1得/«=(0,1,1),则D不正确.

9.已知机、〃是两条不同的直线，a、§、》是三个不同的平面.下列说法中正确的是（）

A.若m"a,mu（3,ac0=n,则B.若〃〃?〃，mHa,则〃〃a

C.若ac0=n,a、。,a_Ly,〃J_y,则D.若帆_La,,ally,则£〃y

【答案】ACD

【分析】对于A,利用线面平行的性质定理判断，对于B,利用线面平行的判定定理判断，对

于C,利用线面垂直的判定定理判断即可，对于D,利用面面平行的判定方法判断.

【详解】由线面平行的性质定理可知，A正确；

若mHa,mlln,则n//a或〃ua,即B错误；

设的法向量分别为a,b,若a0=n，则〃乂a_Ly,〃_L7,则a〃y,bUy,

所以即C正确；

若〃?则a〃?，又。〃y,则夕/y,即D正确.

三、填空题

10.已知平面a的一个法向量为〃=（2,—1,0）,直线/的一个方向向量为m=（f,Tj+l）,且/〃

平面a,贝l」r=.

【答案】-2

【分析】根据方*=0可求出结果.

【详解】因为/〃平面a,所以租」〃，

则，〃•”=2r+4=0,解得r=-2.

11.若，4=（x,1,-2）为平面a的一个法向量，为平面夕的一个法向量，已知a〃夕，

则x+y的值为.

【答案】v

【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解.

UU11

【详解】根据题意，若a〃夕，则勺〃%,

二」-二卜=4

*'•-1y1,解得，1>

2卜1

.）115

..x+V=4——=—.

44

12.已知A（3,4,0）,8（2,5,2）,C（0,3,2）,则平面ABC的一个单位法向量是.

【答案】（冬一冬冬

m

【分析】由题设，求面ABC的一个法向量,"，则其单位法向量是

【详解】由题设,AB=(-1,1,2),AC=(-3,-1,2),

m•AB=-x+y+2z=0

，

{m-AC=-3x-y+2z=Q

令y=-l,则m=(1,-1,1),故面ABC的一个单位法向量是a=(*,-*,*).

\m\333

13.在四棱锥P—ABC£＞中，AB=(4,—2,3),AD=(T,1,O),AP=(-6,2,-8),则这个四棱锥

的高等于.

【答案】2

【分析】先求出平面ABCD的法向量加，然后求HIAP在m方向上的投影的绝对值即可得答案

【详解】设平面ABCO的法向量〃?=(x,y,z),则

m-AB=4x-2y+3z=0.(..4)

f.c'令x=l，则M1m=,

26

3一-2

13

14.已知三点A(2,3,l)、3(4,1,2)、C(6,3,7),则平面48c的法向量可以是.(写出一

个即可)

【答案】(3,2,-2)(答案不唯一)

【分析】设平面的法向量为〃=(x,y,z),则有",/：=?，然后赋值即可得出答案.

n-AC=O

【详解】解：AB=(2,-2,l)MC=(4,0,6),

设平面ABC的法向量为〃=(x,y,z),

则有1,令x=3,则z=-2,y=2,

〃AC=4x+6z=0

所以〃=(3,2,-2),

所以平面ABC的法向量可以是(3,2,—2).

15.已知平面a的一个法向量为v=(1,-2,0),写出一个以(2,1,2)为起点，且平行于平面a的

单位向量的终点坐标为.

【答案】(2,1,0)(答案不唯一)

【分析】设终点坐标为(x,y,z),写出单位向量，由向量垂直和向量的模得方程组，取方程组

的一个解即可(答案不唯一).

【详解】设终点坐标为(X,y,z),则单位向量为(x-2,y-l,z-l),

x-2-2y+2=0

则/八27,，可取x=2,y=l,Z=0,即终点坐标为(2,1,0).

l(x-2)+(y-l)+(z-l)=1

16.以下真命题共有个.

①一个平面的单位法向量是唯一的：

②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；

③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.

【答案】1

【分析】利用单位向量和平面法向量的定义否定命题①；利用直线与平面平行的判定定理否定

命题②；利用两个平面位置关系定义判断命题③.

【详解】①一个平面的单位法向量有无穷多个.判断错误；

②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行或这条直线在这

个平面内.判断错误；

③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.判断正确.

综上，正确命题共有1个

17.两个平面垂直的充要条件是它们的法向量.

【答案】垂直

【分析】已知平面垂直及其法向量，利用面面、线面垂直的性质判断充分性，再根据面面垂直

的判定判断必要性.

【详解】如下图，若〃为a的法向量即"la且口，尸，a/?=/：

作且aX-p,a/?=/,由面面垂直的性质知：kla.

而n±a»贝！I%//〃，

又为夕的法向量即，"_L夕，Zu△，则

综上，mLn,充分性成立.

如下图，若就所在直线用ua艮加，尸：

由〃为a的法向量，则加_1_〃，

而帆则用为夕的法向量，即加，〃，

所以。，力，必要性成立.

综上，两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直.

18.若。、b都是平面a的法向量，则〃和万的关系是.

【答案】a//b

【分析】根据平面的法向量的定义，可得答案.

【详解】由于平面的法向量都垂直于该平面，

故a、。都是平面a的法向量，则”和方的关系是平行关系，即“〃〃，

四、解答题

19.写出经过点B(l,2,3),且与)，轴垂直的平面的方程.

【答案】y=2

【分析】由，"=(0,1,0)是所求平面的一个法向量，令A(x,y,z)是平面上的点，则R4在平面上，

利用空间向量垂直的坐标表示即可求平面的方程.

【详解】由题设，所求平面的一个法向量为5=(0,1,0),

若A(x,y,Z)是所求平面上的点，则8A=(x-1,y-2,z-3),

所以，"•BA=y-2=0,即所求平面方程为y=2.

20.写出经过点42,0,0),且与x轴垂直的平面的方程.

【答案】x=2

【分析1设B(x,y,z)为所求平面上的点,则AB=(x-2,%z)且。4=(2,0,0)为该平面的一个法

向量，利用空间向量的垂直关系即可得该平面的方程.

【详解】由题设，所求平面与OA=(2,0,0)垂直且过42,0,0),

若B(x,y,z)为该平面上的点，则AB=*-2,y,z)在该平面上，

所以2(x-2)=0,可得所求平面的方程为x=2.

21.如图，已知平面a内有A(2,3,1),矶4,1,2),C(6,3,7)三点，求平面a的法向量.

【答案】(一3,2,10)(结果不唯一)

【分析】设出法向量的坐标，根据法向量与AB,AC向量垂直，列出方程组，求解即可.

【详解】不妨设平面a的法向量比=(苍y,z),又初=(2,-2,1),平0=(4,0,6),

,m-AB=0f2x-2y+z=0

故可得，即〈c；八，不妨取尸2,故可得x=-3,z=10,

m-AC=Q[2x+3y=0

故平面a的一个法向量为(一3,2,10).

又平面a的法向量不唯一，只要与向量(-3,2,10)平行且非零的向量均可.

22.分别写出x0y平面，yOz平面，zOr平面的一个法向量的坐标.

【答案】xQy平面，yOz平面，zOx平面的一个法向量坐标分别为(0,0,1)、(1,0,0)、(0,1,0).

【分析】写出各个平面中的两个不平行的向量，设法向量坐标，由空间向量垂直的坐标表示列

方程求出法向量的坐标.

【详解】由xOy平面上存在不平行向量a=(1,0,0)、匕=(0,1,0),

a•m=x=0

若m=(x,y,z)是xQy平面的一个法向量，则｛,

b/n=y=0

易知：加=(0,0,1)是xOx平面的一个法向量.

由yOz平面上存在不平行向量〃二(0,也)、c=(0,0,1)，

0

若〃=a，y,zj是yOz平面的一个法向量，则b^n=乂y.=，

c•〃=Z[=0

易知：”=(1,0,0)是yOz平面的一个法向量.

由zOx平面上存在不平行向量a=(1,0,0)、c=(0,0,1),

a-k=x,=0

若《4毛,%〜)是zOx平面的,一个法向量，则-,

a-k=z2=0

易知：左=(0,1,0)是zQr平面的一个法向量.

23.已知A(l,0,0),3(0,4,0),C(0,0,2),求平面ABC的一个法向量的坐标，并在坐标平面中

作出该向量.

【答案】法向量为(4,1,2),作图见解析.

【分析】由题设求AB、AC的坐标，设，〃=(x,y,z)为所求法向量，利用向量垂直的坐标表示求

法向量坐标，进而画出该向量即可.

【详解】由题设，AB=(-l,4,0),AC=(-1,0,2),若加=(x,y,z)是面ABC的•个法向量，

m-AB=-x+4y=0

所以｛＞令丫=1,则根=(4,1,2).

m-AC=-x+2z=0

24.如图，在棱长为3的正方体48CO-AEGR中，点M在棱GC上，且CM=2MC-以。

为原点，DA,DC，所在直线分别为x轴、＞轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求平面ABMA的一个法向量;

(2)求平面的一个法向量.

【答案】（1）（1,0,0）（答案不唯一）

（2）（2,1,3）（答案不唯一）

【分析】（1）由x轴垂直于平面可得平面的一个法向量；

（2）利用求解平面的法向量的方法进行求解.

⑴因为x轴垂直于平面A5耳A,所以加=（1,0,0）是平面的一个法向量.

（2）因为正方体ABS-ABCQI的棱长为3,CM=2MC,,

所以M,B,0的坐标分别为（0,3,2）,（3,3,0）,（0,0,3）,

因此MB=（3,0,-2）,MD、=（0,-3,1）,

设%=（x,y,z）是平面MBD、的法向量，则

n21MB,巧_LA/。，

%,MB=3x-2z=0

所以，

n2-MD1=-3y+z=0

取z=3,则x=2,y=l.于是%=（2,1,3）是平面MB%的一个法向量.

提升训练

一、单选题

1.（2021•云南•巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）设a,夕是不重合的两个平面,

UUU

a,4的法向量分别为〃/％,/和机是不重合的两条直线，/,机的方向向量分别为耳，%

那么a〃户的一个充分条件是（）

A.Iua,mu（3,且e2±n2

B./ua,mu[J,且q〃e2

C.q〃勺，e2//rty,且G〃e2

D,q_L%,e,_Ln,,且q〃e2

【答案】C

【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断.

【详解】对于A,/ua,且q,勺，e2Vn2,则a与夕相交或平行，故A错误；

对于B,lua，muff,且q〃e2,则a与夕相交或平行，故B错误；

对于C,乌〃勺，e2//n2,且e；〃e；,则a〃夕，故C正确；

对于D,q_L/ve2^n2,且q〃e2,则a与夕相交或平行，故D错误.

2.（2022•安徽・合肥一中高二阶段练习）如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角,

得到四面体ABC。，则下列叙述正确的是（）

①平面8C。的法向量与平面ACD的法向量垂直;

②异面直线BC与所成的角的余弦值为述；

5

③四面体ABCD有外接球且该球的半径等于棱BO长;

④直线0c与平面ABC所成的角为30°.

【答案】C

【分析】对①：由平面88与平面AC。不垂直，即可判断；

对②：过点C作CM和80平行且相等，则四边形及卯C为矩形，ZADM（或其补角）为异

面直线BC4AO所成的角，解三角形?™即可得判断；

对③：设DC中点为。，BC中点为。一则。，。1分别为直角三角形03c和直角三角形BAC

的外接圆的圆心，又。01J.平面ABC,所以。为四面体ABC。外接球球心，从而即可判断；

对④：由平面ABC,可得NDCB为直线DC与平面ABC所成的角，从而即可判断.

【详解】解：对①：由题意，平面3C3与平面ACC不垂直，所以平面BCD的法向量与平面AC£>

的法向量不垂直，故①错误；

对②：设AB=AC=2,则8c=2&,B£>=fiCtan30°=—,过点C作CM和平行且

相等，则由题意可得3DMC为矩形，

.­.ZADM（或其补角）为异面直线8c与所成的角，

由题意，平面5CO_L平面A8C,且交线为BC,又BDLBC,所以BO_L平面A8C,

所以同理CM_LAC,

因为A£）=AM=x/亦+AB?,

3

A

所以在等腰二角形ADA/中，而，

AD10

所以异面宜线BC与AO所成的角的余弦值为画，故②错误；

10

对③：设DC中点为。，8c中点为。一则。，。，分别为直角三角形。5c和直角三角BAC的

外接圆的圆心，又易得。平面ABC,所以。为四面体ABCD外接球球心,半径为OB=；BC.

因为=所以四面体ABC。外接球半径为3。，故③正确；

对④：由B£＞_L平面ABC,可得BC为。。在平面ABC内的射影，

所以ZDCB=30。为直线DC与平面A8C所成的角，故④正确.

3.下列四个命题中，正确命题的个数是（）

①若m,b,C｝是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x,y,z）,

使得p-xa+yb+zc；

②若两条不同直线/,根的方向向量分别是a，b＞则/〃"?=a〃b;

③若｛QA,OB,OC｝是空间的一个基底，且。。=goA+goB+goC,则A,B,C,。四点共面；

④若两个不同平面a,夕的法向量分别是",v,且“=（12-2）,v=（-2,T,4）,则a〃4

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由空间向量基本定理判断；②由方向向量的定义判断；③由空间向量共面定理判断；

④由法向量的定义判断.

【详解】①若伍,6,c｝是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（X,

y,z）＞使得/?=xa+yb+zc,由空间向量基本定理知，正确；

②若两条不同直线/，/"的方向向量分别是a，匕，则/〃%Oa//A，由方向向量的定义知，正

确；

③若｛QA,Q8,OC｝是空间的一个基底，且。。=g04+；08+g0C,则A,B,C,。四点共面，

由空间向量共面定理知，正确；

④若两个不同平面a,夕的法向量分别是刈，目.“=(12-2),v=(-2,^,4),则a〃从由法

向量的定义知，正确.

4.己知空间中三点A(0,1,0),8(2,2,0),C(-l,3,l),则下列说法正确的是()

A.AB与AC是共线向量B.与向量AB方向相同的单位向量是

-冬0)

C”与5C夹角的余弦值是-卑

D.平面A8C的一个法向量是(-L-2,5)

【答案】C

【分析】根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确

答案.

【详解】AS=(2,1,0),AC=(-1,2,1),不存在实数儿，使ABnzlAC，所以AB与AC不共线,

A选项错误.

AB(2出由八

向量4B方向相同的单位向量是闲|=有一，丁，°B选项错误.

ABBC-5

3c=(-3,1,1),所以AB与BC夹角的余弦值是网悭「后xVTTc选项正确.

(2,1,0)-(-1,-2,5)=-4^0,所以(-1,-2,5)不是平面ABC的法向量，D选项错误.

TT

5.在四面体ABCD中，MCD为等边三角形,ZADB=~,二面角3-A£>-C的大小为a,则

«的取值范围是()

A。(°旬%]B.闻(c1t~\C.([八0,万-]jD,[(0c,7-T

【答案】C

【分析】以B为原点建立空间直角坐标系，根据关系写出各个点的坐标，利用平面840和平面

AOC的法向量,表示出二面角a的余弦值，即可求得a的取值范围.

【详解】以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系：

z

因为ABC。为等边三角形，不妨设BC=CD=BD=1,

由于4408=1\所以4（，41,〃）

因为当,=0时4B、C、。四点共面,不能构成空间四边形，所以

则3（0,0,0）,Cyi,oj.D（O,l,O）

（Gi

由空间向量的坐标运算可得8D=（OJO），OA=（m,0，〃），OC=^厂万，。

设平面BAD的法向量为帆=（5,K，Z|）

则Fm-B臂D=:0代入可得F[«=U[+°〃Z|=n0

ni（〃？、

令X1=1,则为=0,Z]=_],所以，〃

设平面AQC的法向量为〃=（々,内*2）

fn-DC=o-^~xi--y-i=o

则〈cc，代入可得〈2-22

n-DA=0八

i[mx2+nz2=0

令W=1，则=6，Z2=所以〃=（1，△-']

nVnJ

二面角B—AD—C的大小为a

则由图可知，:面角a为锐二.面角

M1乂”1+—2—

因为《30

rV

—91

所以2.

即工？cosa1

2

所以ae(0,。

6.如图，在圆锥S。中，A,8是＜。上的动点，BB'是。的直径，M,N是SB的两个三

等分点，ZAOB=0(O＜0＜^,记二面角N-Q4-B,的平面角分别为a,夕，

若。则〃的最大值是()

【答案】B

【解析】设底面圆的半径为jOS=a,以所在直线为x轴，以垂直于9B所在直线为了轴,以

OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.利用法向量求得:面角

N-04-B与M-A夕-3夹角的余弦值.结合aV夕即可求得0的取值范围,即可得。的最大值.

【详解】设底面圆的半径为jOS=a,以9B所在直线为“轴，以垂直于B中所在直线为了轴,以

OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则由NAO8=6»（0＜。＜万）

可得0(0,0,0),fi(r,0,0),S(0,0,a),A(rcos0,rsin8,()),B'(-r,0,0)

M.N是SB的两个三等分点

「Jfr.,o，2a}Ul2r，o,a-

raMTT33

所以。4=(rcos0,rsin。,。),ON=f^,0,-^-

设平面NOA的法向量为机=（N,y,4）

(%,X,4)•(rcos仇rsin0,0)=0

:霜代入可得

则《(X，X，zj[*0』=0

xjcose+yjsin6=0

化简可得’2X|raz,八

I33

COS。2r

令*=1.解得y\=-*i=-----

sin。a

.Jcos62r

所rr以r"二?』：

平面。AB的法向量为〃=（0,0,1）

由图可知，二面角N-Q4-8的平面角。为锐二面角，所以二面角N-OA-8的平面角a满足

m-n

cosa=

cos204,

1+.、八十^-

sin~0a

设二面角用一A8'-B的法向量为k=（刀2,）'2,Z2）

A=(r+rcos0,rsin3,0^,AM=~^~rcosa一厂sin6,

(x2,y2,z2)(r4-rcos^,rsin。,0)=0

:修沁可得

则《

（々，必尼》—~rcos0,-rsin0,—j=0

33)

x2r+x2rcos0+y2rsin0=0

化简可得<

x2r2az2

——x2rcostf-y2rsin(J+-=()

人i-1—cos02r

令xq解得y2==y~，z2

l-,「ii-l-cos02r

所以

平面ABB的法向量为九=（0,0,1）

由图可知，二面角M-Ab-3的平面角夕为锐二面角，所以二面角的平面角B满

由二面角的范围可知。4。4/4]

结合余弦函数的图像与性质可知cosaNCOS夕

化简可得cos。4,且0＜。＜万

所以0＜。4半

所以占的最大值是年

二、多选题

7.（2021•辽宁营口•高二期末）以等腰直角三角形斜边BC上的高A。为折痕，把△A3。和△ACO

折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（）

A.ABLDC

B.与平面3CC的法向量平行

C.ABYAC

D.平面AQC的法向量和平面A8C的法向量互相垂直

【答案】AB

【分析】作图，梳理出图中包含的垂直关系，即4），8C、AD1BD.ADLCD,平面A8ZU

平面ACD,从而推出CD_L平面ABD来判断选项A；可通过平面BCD来判断选项B；

可假设结论成立进行推导条件，通过对比条件，来判定假设成不成立，从而判断选项C；可判

断两平面是否垂直，来判定其法向量是否垂直可判断选项D.

【详解】A

/I\乙1»、、\

BDCB(

如图所示，由已知可得，45C为等腰三角形，且翻折后可得ADLCD,

平面A8D_L平面AC。，

对于选项A,平面ABDL平面AC。，平面AB£)C平面ACD=AD.且ADJ_C£>,所以COL平

面48£),而ABi平面A6£>,故AB_LDC,该选项正确；

对于选项B,ADLBD.ADLCDSLBD(^CD=D,故4)_L平面BCD,所以AO与平面8a)

的法向量平行，该选项正确；

对于选项C,由选项A可知，ABJ_OC,假设AB1AC成立，则AB，平面ACD,此时钻J_AD,

该结论与45_L3£>矛盾，故该选项错误；

对于选项D,因为平面A8£>_L平面AC。，平面ABOc平面=平面ACD1平面

ABC=AC,故平面ACD与平面ABC不垂直，则平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不

互相垂直，故该选项错误.

8.在棱长为1的正方体A88-A4CA中，已知E为线段8。的中点，点尸和点P分别满足

RF=gG,D\P=ND、B,其中2，A6[0,1],则()

A.当时，三棱锥P-EF。的体积为定值

197r

B.当〃=]时，四棱锥P-A8CD的外接球的表面积是彳

C.若直线CP与平面A8C£>所成角的正弦值为白，则〃=:

nj

D.存在唯一的实数对(Z〃)，使得0Pl.平面EFP

【答案】ABC

【分析】根据锥体体积的求法、几何体外接球表面积的求法、线面角、线面垂宜等知识对选项

进行分析，由此确定正确选项.

【详解】对于A,当2=3时，尸是4G的中点，连接8G与交8。于点E,则E为BG的中

点，

:.EF//B&,：.BDJ/面EFD,又点尸在上，.•.点尸到面E/刀的距离为定值，

三棱锥P-EED的体积为定值，故A正确：

对于B,当〃=g时，点P为8%的中点，设四棱锥P-ABCD的外接球的半径为R,

则球心。在户m延长线h,由OP=R得OM=R--,

由0M2+C仞2=。。2得(R-g)2+(¥)2=R2,解得R，

，外接球的表面积为:"，故B正确；

4

对于C,连接BD，过点P作尸河，8。于M，连接CM,

：隹B_L平面ABCD./.平面BDDtBt1平面ABCD,

平面BDD、41平面ABCD=8。，；.PMJL平面ABCD,

NPCM为CP与平面所成角，

♦：D[P=〃D[B,:.BM=向1—/),PM=1-〃,

在△M8C由余弦定理有CM=^2(1-^)2+2^-1,

在RtCPM中由勾股定理有PC=J3(l-〃)z+2〃_i,

—,PM\-u21

-M=k廊解得〃=§'故0正确.

对于D,•.•点尸在£>G匕又E在8G匕P在8。上，.•.平面时即为平面8CQA,

又易证5cL平面BCRA,；.BQ是平面BCRA的法向量，

要使小_L平面EEP,须与。与OP共线，即须以与。户共线，显然不可能，

•••不存在实数对(4〃)使得OP_L平面耳尸，故D错误.

三、填空题

9.如图，直三棱柱ABC-A4G中，侧棱长为2,AC=BC=1,ZACB=90°,。是4片的中

点，尸是8片上的动点，AB”DF交于煎E,要使A&,平面CQF,则线段的长为一.

【分析】构建空间直角坐标系，由已知确定相关点的坐标并设尸(O,1J),进而得到G。、A4、

AB.C.D=O

GF的坐标，根据线面垂直有二」;求参数3即可知线段3尸的长.

ABiClF=O

【详解】以C1为原点，GA为X轴，C4为y轴，GC为z轴，建立空间直角坐标系,

由题意，4(1,0,0),(0,1,0),£)(11,0),C,(0,0,0),A(l,0,2),设厂(0,1,/),0<Z<2,

/.C(D=(1,1,0),AB,=(-l,l,-2),C,F=(0,1,0,

A耳_L平面G。」,

-lxl+lxl+0x(-2)=0

AB.C,D=0

,'J1，即

A/GF=00+l-2r=0

:A-2t=0,解得”;.

.,•线段阴的长为;.

10.放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABC。中,4是底面中心，£>〃_L平面ABC,

写出:

z

(1)直线2c的一个方向向量__________；

(2)点。。的一个方向向量___________；

(3)平面BHD的一个法向量___________；

(4)的重心坐标.

【答案】(-1,6,0)冬半)］迪2⑹

3丁FJ

【分析】先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标.

对于(1)(2)：直接求出方向向量；

对于(3)：根据法向量的定义列方程组，即可求得：

对于(4)：利用重心坐标公式直接求得.

【详解】由题意可得：

OA=OB=\.OC=—x2=y/3.OH=-OC=—.DH=yjDC2-CH2=

233

由图示，可得：o(o,0,0),A(-I,O,O),B(I,0,0),c«),亚())，电,率半

k37I33

(I)直线8C的一个方向向量为8c=(-1,6,0),

(2)点。。的一个方向向量为。。=°，苧，等；

(3)平)，=等,0).设”=(x,y,z)为平面的一个法向量，

n-HD=^-z=0

则«3厂，不妨设x=l,则”=(1,6,0).

n-BH=-xd■—-y=0

3

故平面8”。的一个法向量为(1,0,0).

(4)因为80,0,0),C(0,6,0),H0,芋0,D0,苧号

]_4A/|2屈、

所以△£)8C的重心坐标为3，-9­，-9-

故答案为：⑴(-1,^,0)；(2)0,孚平：⑶I"。)⑷E，殍，堂)

四、解答题

11.(2022.全国•高二专题练习)如图，在直三棱柱A8C-A4G中，A4=AG，尸为4G的

中点，D,E分别是棱BC,CG上的点，且小>，8C.

R

⑴求证：直线AF〃平面ADE;

(2)若是正三角形，E为GC中点，能否在线段8d上找一点N,使得AN〃平面AZ5E?

若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)在直线上存在一点N,且BN=gBB「使得AN〃平面45反

【分析】(1)利用线面平行判定定理去证明直线A尸〃平面ADE；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量的方法保证AN〃平面ADE,进而求得点N的位置.

⑴在直三棱柱ABC-ABC中，

AB=AC,4)_LBC,..O是8c的中点，

又•尸为8©的中点而。尸=明，

.•.四边形。E41A是平行四边形，，弓尸/公。

4尸&平面45E，A£>u平面40E,，4尸〃平面4OE.

⑵在直线8出上找一点N,使得AN〃平面ADE,证明如下：

在直三棱柱A8C—4与£中，DFHAA,.-.DF1AD,DF1DC

又・AD1BC:.DA,DC,O/两两垂直，

以。为原点，0C为X轴，OA为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系,

设44=2,AA,=2t,

QN在线段上，设BN=/lBq,04441,则N(-l,0,24),

则A(0,6,0),。(0,0,0),£(l,0,r),8(-1,0,0),

旦(一1,0,2/),A(0,6,2",则ZM=((),石,0),。£=(1,0")，4'=(—1,-^,2力一力)，

设平面ADE的法向量〃=(Xy,z),

则［〃3=后=°,取z=l,得〃=1,。,1),

n-DE=x+tz=0

AN〃平面ADE,.,.AN・〃=f+0+2/lr—2f=0,解得2=g,

在直线8避上存在一点N,E.BN=；BBi，使得AN〃平面AZ)E.

12.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-AB'C,底面是等腰直角三角形，AB=2,

■JT

ZACB=~,侧棱A4，=2,点。，E分别是CC'和A'B的中点，求点4到平面AEQ的距离.

【答案】垃.

【分析】利用已知的空间直角坐标系，求出平面AEO的法向量，再借助点到平面的距离公式

计算作答.

【详解】直三棱柱AfiC-A'8'C'中，，A8C是等腰直角三角形，ZACB=y,AB=2,在给定

的直角坐标系中，

点A(应,O,O),8(O,6O),A(0,O,2)C(O,O,2),C(O,O,O),则棱CC'中点。(0,0,1),

线段A'3中点El?,*』)，DA=(应,0,-1),DE=吟，冬0),

n•DA=-z=0

设平面AED的一个法向量〃=(x,y,z),则“/2上，令x=l,得九=(1,-1,0),

n•DE=—x-\----y=0

22

而AA，=(0,0,2),所以点A到平面AED的距离d=回回=孥=&.