高中数学：三角函数中含参数的题型详解

【下载后获高清完整版-优质文档】

高中数学必考点：三角函数中含参数的题型详解

【基础知识】

1.函数y=4sin(/x+°)(4>0,口>0)的性质

①奇偶性：9=ATT时，函数p=4sin(0x+9)为奇函数；°

=〃九+5(〃£Z)时，函数j=/lsiii(c"x+9)为偶函数.

②周期性：j=/sin®x+o)存在周期性，其最小正周期为

_2n

T=—co.

③单调性：根据p=sin£和，=sx十°的单调性来研究，

由一^-\-2kn<(ox-\~(pS^-\r2knj得单调递增区间；由

7T37r

y+2ATT<WX+2kn,A£Z得单调递减区间.

④对称性：利用j=sinx的对称中心为(Am0)(〃£Z)求

解，令/X+9=ATT(A£Z),求得x.

7T

利用j=sinx的对称轴为X=ATT+5(A£Z)求解，令a)x-\-

7T

9=也+不(A£Z),求得其对称轴.

注意：⑴函数y=4cos®x+°)的相关性质可根据y=cos

x的性质推导，函数y=

/tan(tt>x+9)的相关性质可根据y=tanx的性质推导.

(2)求函数y=Zsin(tyx+9)的单调区间时，若“<0,应先

利用诱导公式将x的系数转化为正数再求解.

【基本技能】

由三角函数的性质求解参数(范围)的规律

类型前提准备解读典例指引

利用利用三角公式利用函数的对称性得到含有参数的表例1⑴

对称将函数的解析达式，根据参数范围确定整数K的取

性式写成值求解

利用Asin((ox+^)+b利用函数的奇偶性得到含有参数的表例1(2)

奇偶或达式根据参数范围确定整数K的取值

性力co§3x+°)+/>求解

或首先，明确已知的单调区间应为函数例1(3)

利用

Atan(cox+<p)+b的单调区间的子集;其次，要确定已知

单调

的形式函数的单调区间，从而利用它们之间

性

的关系可求解

温馨若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.

提醒

例1(1)如果函数产3cos(2*+9)的图象关于点(竽,0)中心

对称，那么|°|的最小值为()

A曰B.JC5D.y

6432

(2)将函数尸sin(2x+9)3>0)的图象沿x轴向左平移微

个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则(P的最小值为

()

A.至B.警C.JD.^

4848

jr2加］

(3)若/(x)=2sintyx+l(">0)在区间一万，不上是增函

数，则①的取值范围是.

【解析】(l)・・J=3co$(2x+e)的图象关于点(竽,0)对称,

即3cos(2x竽+>)=0,

萼+°4+〃兀,左£Z,

J4O

・•・当k=i时,|矶有最小值也

⑵将函数尸sin(2x+0)3>O)的图象沿x轴向左平移捺个单

位长度后，得到一个偶函数片sin2(冗++

(p=sin(2x+卜+*)的图象，则由*+s=E+^(k£Z),得

9=E4(A£Z),所以(p的最小值为】，故选C.

JTJT

(3)法一由2ATT—不烂2A?r+不，A£Z,

得益)的增区间是［等—/,等+制心Z).

因为y（x）在一］,学;上是增函数,

所以卜去争上［一券粉;

n］、»JT7Te27TJT(31

所以一律一茄且7W?所以/40,2.

法二（整体法）因为x£tt>>0.

con27tqi

所以a）x£~Tf丁丁

又/（x）在区间卜去争:上是增函数,

con

所以-2~,

conn

2~-~2f

又切>0,得

7T

7,

法三因为外）在区间一方等;上是增函数，故原点到

rnT

一方竽的距离不超过;即＜24得即加粤

InT'(0-39

—V-

〔3-4,

3

又to>0,得0<tt><^.

(于

【答案】(1)A(2)C(3)|0,I」

对点训练2已知函数/(x)=2sin«yxcos2竺-工］-sin2Gx(①>0)在

、24)

区间卜等用上是增函数，且在区间［时上恰好取得一次

最大值，则口的取值范围是（）

(31(\\

A•(闻B.131fl2.1D.-,+<»

■」12引(2J

【答案】B

在区间卜等割上

【解析】公)=sinvwc(1+sinvux)-sin2vw=sinvw

是增函数,

%<2万

2兀5〃17171\，，得不等式组｛一五一一了口.二,

5,乃5

又・・・s>0,，o<w二；因函数在x=%+工处取得最大

5w2w

值，可得区工9,

2w

综述可知.告犯

2125'J

【归类分析】

类型一3的取值范围与单调性相关

例已知函数/(x)=sin(0x-g)(<y>0),若函数在区间(万有)

上为单调递减函数，则实数①的取值范围是()

A.[py]B.篇]C.D.[14]

39693436

【答案】B

【解析】

m、1一37r匚厂।XI71713(07171

因为"<不<三,所以口乃一-—9

7T71

CO7T>—

由正弦函数的单调性可得｛3万3/，

-5(-0-7：——71&-5-71

23-2

115

CD——>—(0>—

即｛*3J也即｛「所以储"9应选答案B。

5CD1<35CD<11O9

T-3-2T~~6

点评：解答本题的关键是将函数

/(X)=Sin卜->0)看做正弦函数/(x)=sinr,然后借

助正弦函数的单调性与单调区间的关系，依

据区间端点之间的大小关系建立不等式组

%.I2,最后通过解不等式组使得问题巧

----------£----

23-2

妙获解。

【变式1】若/（x）=cosx-sinx在,2〃j上是减函数，则加的

最大值是（）

【答案】D

【解析】

,/f(x)=cosx-sinx,由辅助角公式可得：〃x)=五cos(x+?)

令2k兀<x+-^-<2kn+乃(％£Z),2k兀-^<x<2k兀+£Z),

7FSTY

则函数人力的单调减区间为1x2k兀----<x<2k兀+——,(keZ)》,

又•••/（X）在-£,2叫j上是减函数，则〃?>0,

当人。时，函数〃x）的单调减区间为卜

,解得：0<m$言,故答案选D。

【变式2】若函数/(冗)=-(cosx+sinx)(cosx-sinx—

4a)+(4a—3)冗在［O,上单调递增，则实数a的取值

范围为()

A.a>|B.1<a<3C.a>1D.l<a<

3

【答案】A

【解析】函数/(冗)=-cos2x—2a(sin冗+cosx)+

(4a—3)尤，

则/(x)=-sin2x-la(cosx-sinx)+4a-3.

•・•函数/(x)在［0,3上单调递增，可得，(x)>0,

7T

令/=cosx-sinx=&cos(x+1)G|-1,1］,贝［jsin2x=

即t2-2at+4a-4之0在［-1,1］恒成立,

・4-t2

•,a>-----竽不等式右边的最大值龙，

-4-2t

••a>—.

~2

故选：A.

71(DX\

【变式3】若函数/(x)=4sin&x.sin?—+一+cos2a>x(co>0)在

42)

《，制上是增函数，则①的取值范围是.

【答案】(闻

【解析】

C71)

1-C0S一+GX

/(x)=4sin<yx--------------------+cos2a>x

=2sin0>x(l+sincox)+(1-2sin2tyx)=2sin<wx+l

结合题意可知函数的最小正周期：

即今《乃，求解不等式可得口的取值范围是(。口.

【变式4］将函数y=sin2x-V^cos2%的图像向左平移

<p(0<<勺个单位长度后得到了㈤的图像.若/(乃在

《为上单调递减，则3的取值范围为•

【答案】冷等

【解析】因为y=sin2x—V3cos2x=2sin(2x—^),向

左平移*个单位得函数/㈤=2sin(2x+2>-勺，当冗6

(%今时，函数为减函数，所以

((，求得九兀十三工

-6+2p>2kn+23+2p<2kn+—26

(P<knEZ,又0<(pW%所以当&=0时，g<

12Lo

伊宾，故填碎，胃

【变式5]已知函数/(x)=Gsin0x+cos@x在0,0上不单调,

在停伞)上单调，则实数0的取值范围为()

IJJ7

1<41

A.(1,2]B.-，2|C.[u]D.-,2|

【答案】D

【分析】先运用辅助角公式将函数解析式化为

个/\_.r•I、1.rx冗i-tL7C7CC07T7C|、[,

/(x)=2sin&>x+—,则当xe0,—时'a)x+—eL当

IoJ\476Vo467

(兀2)q兀(7t(D7t2(04)》口？；上lie

汽牙’铲J时，s+不月+1丁%+%1'依题思只需

71s71兀口（①兀712a）71\（7T.3冗.ARn—r

----+—>不且—+7^^+7=7+.，丁+丘（丘Z）即可.

46

【解析】依题意，函数小fn"高在上不单调,

71CD7C7t口口4

CD>—•

故丁+W即3，

因为XW

712（0%、

+—,-一•1+——U:尹枕尹而卜⑷,

636）~

COTT7t71

----+—>—卜k小ksZ

则《362,解得:\+3k<co<2+3k(kGZ),

2a)4，34,,)

——7C+—<——+攵),攵£Z

362

而0＞：,且卫？彳，:＜。42,故选D.

3（055

【点评】本题考查利用函数尸4sin（w+w）的单调性求参问

题，难度一般.解答时采用整体思想，用勿+＞整体的范围

与原函数单调区间的关系来求解.

类型二3的取值范围与三角函数的最值

例函数/（%）=2sin（3%+：）（3＞0）,当%E[0,1]上

恰好取得5个最大值，则实数3的取值范围为（）

【答案】C

【解析】

设/(%)=2,所以3x+：=]+2k7r,k€Z,解得九=

所以满足0＜x=也兀＜1的比值恰好只有5个,

（―-->4

所以土的取值可能为0,1,2,3,4,由依：=

-------<5

127r8

33

）?…学芳）,故选C。

（3<—n

例已知/（x）=sin[5+0+g1（。〉。）同时满足下列三个条件

①之;②片/（V]是奇函数；③〃0）<启].若在

上没有最小值，则实数，的取值范围是（）

'八5"】rf_5乃】（5兀11%]—「5"117]

，，记||

A.\12JLB.\0—6JLC.^717212JD.\-612lij

【答案】D

【解析】由5，可得于；rn由2,因为吟/■冶是奇

函数，所以Sin'2x+^?--]是奇函数，即*z又因

为/⑼<噌｝即可F<sin(A7r+%)

所以人是奇数，取k=l,此时9号所以函数

、

/(%)=sin2x+—=sin2x--

I37I37

、

因为/(x)在［0")上没有最小值，此时2x-3-p2/-I

37

所以此时2-台亨百］,解得，嗯制.故选D.

3

上的最小值为则Q的

例函数/(力=25出5在fq2

取值范围为()

313

A.B.—,+oo

2

331r

C.S，-2]u-,-H»D.fmU[2")

/」

【答案】C

【分析】由对称性可知，只需讨论函数与V轴最近的对称

轴与后号的关系，分。＞。初＜。两种情况讨论即可.

【解析】由/(x)=2sins关于原点对称可知,只需讨论函数

函数与歹轴最近的对称轴与后£的关系即可.

当口＞0时，/(x)=2sin8在V轴左边最近的对称轴为

7171

COX-------,X=---------

22a)'

此时一恭这7・

当①＜0时，/(x)=2sins在V轴右边边最近的对称轴为

II717C

\eo\x=—,x=—,~।

।।22回，

此时市吁山2,因为。<0故0-2

故0G(7D,-2]U*l*)故选：C

【变式1】若函数"%)=4sinsr•sin2(詈+1+

cos2a)x-1(3>0)在[—3，m内有且仅有一个最大值，

则3的取值范围是()

393

A.匕,5)B.[1,5)C.[1,-)D.(0,-]

【答案】C

【解析】/(x)=4sbi3冗.siM偿+：)+cos2a)x-

1-COS(3%+?)

1=4sin(ji)x-------------4-cos2a)x—1

2

=2sin6)x(l+sina)x)+1—2sin26)x—1=2sina)x,

因为函数/(乃在内有且仅有一个最大值，

(冗-<,—a)n<—57r

所以可得

~~2

即3的取值范围是口4)，故选C.

【变式2］已知函数/(冗)=sin(wx+?(3>0),/(-)=

7(1),且/(无)在区间上有最小值，无最大值,则3的

值为()

27

A11cD

--14一-

*3B.33*3

因为")=sin(&)x+-),K/(-)=/(-),

又了(元)在区间©A)内只有最小值，没有最大值，

63

所以7•(%)在^=E处取得最小值，

所以B3+3=2kn—，所以3=8k—3(々£Z),

4323

当&=2时,3=16-当=”,此时函数，(冗)在区间C谭)

3363

内存在最大值，

故3=故选C.

【变式3］已知函数/'(%)=sin(u)x+彳)+cos3%(3>

0）在［0,7T］上的值域为则实数3的取值范围为

（）

12

B.C..O+8

【答案】A

【解析】/(x)=sin(3%+/)+costox=sintoxcos4-

.nV3..3

costoxsin-4-cos6)x=—smtox4--costux=

622

n［n.7r］

V3sin(a)x+g)当％W［0,a］时,(J)X+—6—,71(JI)+—

3L33J

又f(0)=6sinj=?,V3sin^=V3sin^=V3

由/(%)在［0,兀］上的值域为［|,网<7TO)+^<y

解得：3£［］图

【变式4］已知函数/（x）=2sin0x（0>0）在区间-?,不上是

增函数，其在区间［。，兀］上恰好取得一次最大值2,则外的

取值范围是（）

一

一1315\x35\

A--氏--C--D

*222・42*

477

一

一

【答案】A

（。>。）在区间削上是增函

【解析】函数/（x）=2sins

数,

故得到二2四口红/in。二

u乂日工」434。34

当xe［O,句时，5e［0,0r］,函数在区间［。团上恰好取得一

次最大值，故得到？。万4去二夫。4综上：.故

答案为：A.

【变式5］已知函数/(x)=2sin(^yx+—)+t7coscox(a>0,co>0)对任

o

意的百，/及，都有/a)+/(马)<46,若〃x)在［0,句上的值域

为［3,2疔则实数0的取值范围为()

【答案】A

【解析】

•••/(x)=2sin(OX+-+GCOSGX=#sin5+(l+a)cos。％

k6J

=J3+(1+a)2sin(twx+0),

其中tan(|)=詈，由题意f(x)的最大值为2於，得(1+a)

2=9,a>0,・・・a=2,/(x)=2白sin^x+—\

因为xe［0,句，所以］,

且f(x)在［0,句上的值域为［3,2版,所以

冗,乃，2乃17,1

—＜7,中吟

故选：A.

【变式6］如果图*+8-1）2=/至少覆盖函数

/(x)=2sin2—x+—）-住。伯呜卜＞。）的一个最大值点

<tn12

和一个最小值点，则加的取值范围是（）

er2标］-r2屈「8后1

A.2+00）B.C.”D.

.s）L5）L15）

【答案】D

【解析】化简仆）=25苏巴+割一石8s件X+9）得

〃x）=2s吟+1,所以，函数/⑴靠近圆心（0,1）的最大值

点为U，3）,最小值点为卜

\7\7

|（可+（3一1）2«/

所以只需,解之可得〃也坐.故选D

|卜扑（一）515

类型三三角函数的零点与3的取值范围

'.0).)['.g1、

sin-x,sin6yx,b=sin—x,一0,

例已知I2)I22，其中出＞若函数

小）=展分1在区间（阳四内没有零点，则刃的取值范围是

()

r11(51<i51(\151

A.0,-1B.o,-|C.D.o,-]q-,-|

I8,JI.8JL8b(8J^48U

【答案】D

1-costyx1.1

fr(x)\=s•in2*®—x+1—s♦inazx——1+—sinox——

【解析】''22222

=；(sin0x-costvx)

V2.(n\

-——smcox9

2I4)

函数/(x)在区间(阳况内没有零点，则周期T22",即至22%,

(0

0)<\9xe(乃,2万)时，a)x--eyoTr--,2co7T--J,所以

0)7t-—>k7T

{4，keZ,解得

rr

2a)7r--<^k+\)7v

左+3勿二+2(AeZ),因为OctwWl,当左=0时，-<(o<-y

42848

当上=一1时，o<«<-,所以。e故选D.

点评：本题考查三角函数/(x)=4sin(s+°)的性质，正弦函

数歹=sinx的零点是x=k7r,keZ,因此当XG(l,2])时，

因此要满足题意，则其中一个零

4I44J

点、k兀满足一上,则与它相邻且比它大的那个零点一

4

定满足2次一%(女+1)乃，这样只要解出口的范围

k+^<co<，~+^(左wZ),注意到要满足题意，区间(不，切的

长度要至少不大于函数的半个周期，这样可得0<屋1,让

〃取相应整数可得0范围.

例已知函数/(x)=Gsin0x-cos&x®>0),xe［0,乃］,若/(x)2-1

且函数/(可存在零点，则口的取值范围是()

「141ri1ri41rii

A•［对B.［仙C.D・坟1」

【答案】A

,(兀、

【分析】首先化简/(X)得到/(x)=2sincox啖,

,再根据题意得到。乃，①兀啖，

OL00'Jo66

从而得到口的取值范围.

【解析】依题意，/(x)=V3sinfwx-cos=2sin(ox--,

ko7

jr

因为］6［0,万］,则的-二6

6

因为/(x)存在零点，故32■-奈2。，则口之］；

又/(x"T,故””一3号，解得

oo3

故g的取值范围是[2$].故选：A

例已知函数/（x）=3sin①龙-/卜口〉。）,若/（%）在区间5,2句内

没有零点，则口的取值范围是（）

A.B.晟）

C.稣）D.（唱

【答案】B

【分析】由函数在区间g2"〕内没有零点，可得

CO7C-->k7l

6，提Z,再结合hZ求解即可.

7T

2(071--〈(左+1)万

6

【解析】因为乃＜xW2乃产＞0所以5■-2（on-土

OOO

因为/（X）在区间（乃，2句内没有零点,

(O7l-—>k7V

所以<6,左eZ.解得左+；4<y<:+Z.

、冗，［o212

12697r---<(4+1)4

,1左7

〃+一〈一+——

62

因为《人7%,所以因为此Z.所以女=7或攵=0,

,—+—＞0

[212

当％=一1时0<A；

当％=0时，黄6y<5，故选：B.

O12

例已知函数/(x)=siiwx-,若集合

{xe(O,兀)|/(x)=-1}含有4个元素，则实数力的取值范围是

()

A13石)e136〕…[725}r(7251

A•卜力B.弓，司C.D.匕力」

【答案】D

【分析】利用辅助角公式将/(X)化为/(x)=2sin(ox-守,

t=cox-^,问题转化为y=2sinf与y=-l在te(-^,a)7r-9有4

个不同交点，数形结合即可得到答案.

【解析】由已知,/(x)=sin<yx-V3cos<yx=2sin(«yx-y),因为

xe(0,乃)，所以(-《⑷]-§,令•t=sx-%,则问题转

化为y=2sinf与y=-1在te(-y,wzr-各有4个不同交点，如图

CO7T--式>-1-9万

只需《:工,解得白陵?故选：D

,3冗--71</-2-37r2o

I36

y

【点评】本题主要考查已知方程根的个数求参数的取值

范围，涉及到辅助角公式、正弦型函数的图象，考查学

生等价转化思想、数形结合思想，是一道中档题.

【变式1]已知函数/(x)=2sin3x+0)(O<(y<6,|o|<§)的图象

经过点吟，2)和弓，-2).若函数g(x)=.〃x)f在区间局⑼上有

唯一零点，则实数机的取值范围是()

A.(T1]B.

C.D.{-2)U(-i,i]

【答案】D

【解析】由题意得自然N,得人品,故

jb\Zy2/c+1

3=^=4k+2,因为0cty<6,kwN,所以刃=2.由

2sin]q+0=2,得(+0=2左左+5,因为|同<三，故。=奈，

所以/(x)=2sin]2x+—],从而当xe时，2x+*W*,

O72J666

令心+》则由题意得2smi=0在闾上有唯一解

故由正弦函数图象可得色-1或4档〈，解得

*{-2}O（T』.故选D

【变式2］定义在［。，兀］上的函数V=sin（ox-芯）侬＞0）有零点，

且值域wn-g,+8）,则/的取值范围是（）

144141

［—,2］2］

A.［彳2，卓3B.3C.忆o卓3D.［、o，

【答案】c

【解析】由0一《乃，有-3办-又因为在［。团上

OOO

的函数尸sin［x-g］（0＞O）有零点，即0WG乃-？值域

1

Mc-亍+oo即(D7T-—<7V+—所D10<CD7T-—<7T+—.

Z/6八66'

从而上口4.故选c.

o5

【变式3】已知向量值=（sinox,cos/=,函数/（X）=5・B,

且。＞IxeR,若/（x）的任何一条对称轴与大轴交点的横坐

标都不属于区间（3肛4句，则。的取值范围是（）

715][13191口「71匕「1115]

(17111911111115l

c.

212运刷216I?而

【答案】B

【解析】/(x)=sirkyx-cosGx,/(x)=Qsin|«izx-工，由①＞L得

2

T=史~＜4兀，—＞7T,由对称轴

①22

5一7='+人4"=（（1%+"，丘z,假设对称轴在区间（3%,4%）

内，可知二+七一）+士当Ql,2,3时，

16443

工＜。＜工!＜。＜11,”＜。＜2,现不属于区间（3跖4句，所以

16121612164''

上面的并集在全集中做补集，得联

2

「7I*ll151、*口

—,—qr—,—I,选B.

L1216」口1216J

（Q

【变式4】函数/（%）=sincox*在区间I。？句上至少存在5个

不同的零点，则正整数0的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】函数/（x）=sin（（ox-y）在区间［0,2兀］上至

少存在5个不同的零点，

8-枭卜a2%-9,根据题意得到只需要

2万2；.最小整数为3.

3。

故选：B.

【变式5］已知函数f(x)=sin(Gx+(p),其中^>0,Q<(P<71,

，(x)g7恒成立，且小)在区间0，1上恰有两个零点，则

。的取值范围是()

A.（6,10）B.（6,8）C.（8,10）D.（6,12）

【答案】A

【解析】函数/(x)=sin(s+0),其中①>0,0<中〈兀

J

恒成立，说明函数在？处取得最大值，又因为/(力在区间

吟］上恰有两个零点，当xe［吟］时，&X+9GL@在

这个范围内/(f)=siMf=如+。有两个零点，故这两个零点应

该是乃,2万

结合条件：当时取得最大值，故根据三角函数的

图像的性质得到。+牙=1，

。=|■乃-今乐(0,万)，解得说(6,10).故答案为：A.

【变式6】已知奇函数/(x)=sin@x+e)-8cos@%+0),(其中

G>0,*R)在xT-1,1］有7个零点，则实数险的取值范围

是()

A.(3,4]B.(3乃,4乃]

C.[3,4)D.[34,4万)

【答案】D

【解析】••'/(x)=2sinCt)X+(p——,且为奇函数，壮,

VJJ

k&Z,/(x)=±2sin(6yx),

令〃x)=0,得》=竺,由题意红引-川恰有7整数人满足.

69CD

则满足条件的整数攵为-3,・2,・1,0,1,2,3,故喘，

—>1

[60

即3兀Qo<4%故选D.

【变式7】将函数y=sinx的图像向左平移器个单位长度,

再将图象上每个点的横坐标变为原来的，®>。)倍(纵坐

CD

标不变)，得到函数吟小)的图象，若函数尸/(X)在区间0,9

上有且仅有一个零点，则①的取值范围为()

一33、(5111(35}

A.-B.C.(i，2]D.

113/133」I?J/

【答案】B

【解析】将函数ksinx的图象向左平移器个单位长度，可

(、

得产sinx+-的图象；

I6；

再将图象上每个点的横坐标变为原来的;®>0)倍(纵坐

CD

标不变)，

得到函数尸/(x)=sin［@x+］］的图象,

因为函数，=/(x)在区间上有且仅有一个零点，

©,0+奈=*；。/+2€(］，2乃］,:•①三|j,故选B.

【变式8］已知函数/(x)=2sin(@x-J〕sin,x+f］(①>。)，若函

I6/13)

数g(x)=/3+坐在,耳上只有三个零点，则0的取值范围

2L,」

为()

:11、G(11、八「710、0(710、

A.2,—B.2，—C.T，—D.

【答案】A

【解析】

(71\.(71=2sm[ax-->711\

/(x)=2sincox--sincox+—cos----cox----

6)3I6J23)

cox-^cos7C、

因为=2sincox----

66

\

.(c冗

sin2a)x----

3J

\

所以g(x)=/(x)+等=sin2…71+在,

3c72

,c71

令sin2cox-sm2a)x----,

I37-T

所以2<yx-g=-?+24左或2°x-g=一与•+2后万Z),

即=〃%或⑦x=一三+左不(左eZ),贝”=红或工=_£+红(丘Z),

6cob(t)CO

则非负根中较小的有：。言。詈；

因为函数g(x)=/(x)+孝在陷上只有三个零点,

所以三吟</",解得24■.故选A

CO2b3J

sin<ox-l

【变式9】函数/'(%)=+COS?等，且3>|,xER,

2

若/(九)的图像在XE(3九，4九)内与％轴无交点，则3的取

值范同是

111115

【答案】忌，U

16.1216

【解析】

•・・/(%)的图像在元€(3九，4元)内与冗轴无交点

,.、sinwx-1,2MXV2.

•/W=—;—+COSZ—=—sin（f3X+-）

•'•―V3Vl

2

由对称中心可知we+-=kn

4

**•X=—(&7T--),kSZ

o)4

♦.,假设在区间(3九，4九)内存在交点，可知g—

k_J_

312

，当人=2,3,4时,1V3VBmV3VV3V：

16121612164

・••以上并集在全集gv3Vl中做补集，得36日剑

【变式10］若函数〃x)=cos(2xJ卜卜卜田］恰有三个

不同的零点玉，孙玉，则国+々+%3的取值范围是()

▲「5兀111、c「9乃7乃、

A.［彳，=)B.［―，T)

C/5乃1Un9乃7万

C.(彳，丁］D.(彳，y］

【答案】A由题意得方程cos(2冶卜,xw［o,劄有三个不

同的实数根,

令y=cos(2x-?),x&0,—,

(兀、

画出函数N=cos2x-j的大致图象，如图所示.

由图象得，当日@<1时，方程可2%号卜恰好有三个根.

令2x-^=k7rZ,x=*+Z,

当k=0时，x=^.当左=1时，x=^.

oo

不妨设由题意得点a,o),a，o)关于直线x=(对称

o

所以芭+々=，

又结合图象可得屋.<等，

O

所以94七+》2+七<等,

即西+电+七的取值范围为弓,手).故选A.

Qo

【变式11］已知函数〃x)=2sin卜答”4｝若占丑

且/(%)=/(%),则当石％<0时,忖-引的取值范围是

【答案】D

【解析】函数｛)=2sin2x-1的图象如图所示

\4人3o7

作48//X轴，且设点4aM，点川马，必)，

当再=0,》2=-?时，\^B\m.n=\xi-x2\=^.

当再=率，*2=-今时,1阴g=|演-司=不，故选：D

OO

类型4三角函数的极点与口的范围

【典例4]若函数〃x)=sin2x在区间但小)内恰有两个极值

点，且/&)+/(%)="则归-目的取值范围为()

(71-|c(715%]一(3%]一(3/5%]

'匕叼B.匕才」C.匕qD.匕不

【答案】D

【解析】作出函数/(耳=向21图像如图所示,

因为/(西)+/(工2)=1,所以/(%)"，因为之0,

由图得当石是A的横坐标，迎是B的横坐标时，函数满

足/(%)+仆2)=1,在勺，疳之间只有一个极值点，但是只

要x的范围向左右扩展一点，则有两个极值点，所以

X1>1)一?1=,.

当芯是O的横坐标，％2是C的横坐标时，函数满足

/(再)+/优)=1,在勺苧之间有两个极值点，所以

IX1-X2区呼-华羊.所以¥<区-士区学•故选：D

【变式1】若关于X的方程(sinx+cosxr+c082r=加在区间[0/)

上有两个根玉，占，且人-百之？，则实数股的取值范围是

()

A.[0,2)B.[0,2]C.[1，立+1]D.[1,右+1)

【答案】B

【解析】关于x的方程(sin¥+cosx)2+cos2x=〃z在区间［0,兀)

上有两个根Xl,X2,

sin2x+cos2x=m-\,sin2x+—

方程即即I4F'

sin(2x+()=号•在区间［0,7t)上有两个根Xi,X2,且由如

>—

4

3万5万]「7乃9兀)\p2m-\V2

Vx^[0,71),.2x+(e

T5TljuU?Tr-T--vr-T

求得0〈相K2,故选：B.

【变式2］已知函数/(x)=sins(3>0)在区间啧等)上至少

有2个不同的极小值点，则①的取值范围是—.

【答案】4,3)U(*+8)

【解析】设仁5,由0>O,x呜苧可得生(小等),

作出"Sin/的图像如下：

52

结合图像，当函数/(x)=sin5(G〉0)在区间卷)上有个不

同的极小值点时,

等〈当且等〉会解得夫/<3；当有2个以上不同的极小

值点时，等〉手，解得0>?.综上可