高中数学大题训练（小试牛刀）附答案

高中数学大题训练(小试牛刀)

【题1】已知直线，：J=-2x+I与抛物线°：胃=2再3＞。)交于4,B两点，点

ILDIU111

———

F为抛物线c的焦点且—4.

(1)求「的值；

(2)过点89)作不垂直于y轴的直线r与抛物线C交于M,N两点,问：在x

轴上是否存在一点。，使得x轴总是平分NM9M?若存在，求出点Q的坐标；

若不存在，请说

明理由.

【题2】随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜

题软件走红.有教育工作者认为：用搜题软件搜索答案可以起到拓展思路的作用，

但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解搜题

软件在学生中的使用情况，某校对200名本校的高二学生在一周内用搜题软件搜

题的次数进行了问卷调查，调查结果如下表：

一周内用搜

题软件搜题[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

的次数区间

人数203644504010

将一周内用搜题软件搜题的次数在13°，7°)的学生评价为“有搜题软件依赖症工

在［7。,绚)的学生评价为“有搜题软件过度依赖症”.

(1)若在这200名高二学生中男生有90人，且男生中有30人”有搜题软件过

度依赖症”，请根据上述表格中的统计数据填写下面的2x2列联表，并通过计算，

判断是否有97.5%的把握认为该校高二学生是否“有搜题软件过度依赖症”与性

别有关;

有搜题软件依赖

有搜题软件过度依赖症合计

症

男3090

女

合

计

（2）在（1）中“有搜题软件过度依赖症”的学生中，按男女学生比例用分层抽

样方法抽出5人，进行手机软件搜题问题交流，再从这5人中随机选出3人作重

点发言，求选出的这3人中至少有1名女生的概率.

-n{ad-bcf

参考公式：（a+6）（c+d）g+c）g+d）其中尸a+b+c+d.

参考数据：

尸依哈％）0.100.050.0250.010.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【题3】如图所示，在直角坐标系中，曲线C由中心在原点，焦点在x轴上

的半椭圆和以原点为圆心，半径为2的半圆构成，以坐标原点。为极点，》轴正

半轴为极轴建立极坐标系.

（1）写出曲线C的极坐标方程；

（2）已知射线伊=彳（°”°）与曲线C交于点M,点N为曲线C上的动点，求

面积的最大值.

【题4】已知函数〃X）=W+3XSE©

（1）若函数/a）在L」上单调递减，求实数口的取值范围；

（2）当。=T时，/为函数，（x）在&乃上的零点，求证:

7C_1

2^^（sinXj-COAX,）

参考答案

【题1——答案［（1）P=2；（2）存在；J^、）•

【解析】

（1）联立，：＞=-2x+l和。二步=2严储＞。）设/（不巧），先），根据韦

miun11

登热FAFB=-^-

达定理得到两根之和与两根之积，表示出以用，代入4可解.

（2）先讨论直线r斜率不存在的情况，此时显然存在这样的点；直线r斜率存

在时，设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理表示M,N两点的坐标，

再由*轴总是平分NM3M,得到牝《+%=°,表示出凝心&N代入上式即可

求解.

停。）

解：（1）根据条件可得点尸的坐标为12）.

1

［y=2pxt

由L=-2x+l可得4x、（4+2p）x+l=。

设双七仍），则a十三=?，书T

根据点看,B在抛物线上可得//2=-或玛-2%=-p

则悬黑=（丫扣）［一齐犯+巧）+?+）仍=:春=4,

.•.P=2

（2）由（1）可知抛物线C的方程为）2=4x.

当直线r的斜率不存在时，X轴上的除外的任一点均满足使*轴平分

当斜率存在时，由题可设直线r的方程为^=*6-2）（RWO）,M（5』），

N&斗）

<y=k（x-2],

联立卜=4号消去y得炉炉-伟】+枷+4/=0

善2+4

产+9=1—¥,=4（・）

假设在％轴上存在一点°3°）,使得x轴平分乙题列，则为«+如=°,

Ja।-0/，-。）+川七-。）_0

••.》一a勺一。，.•.&-々）&一可

2V4-（。+2）（-+始+4。_0

又力=上（。-2））.=HX「2）.^-^（xj+xJ+a2~

把（*）式代入上式化简得4a=-8,，a=-2,

.•.占0々。）

综上可知，在X轴上存在一点2（-2°）,使得X轴总是平分NM9M.

9

【题2一—答案[（1）填表见解析；有；（2）10.

【解析】

（1）根据题中所给的数据，分别计算有搜题软件依赖症和过度依赖症的人，依

次计算2x2列联表中的数据，并计算X2和5.024比较大小；

（2）先计算抽取5人中，男生和女生分别是多少人，再用编号列举的方法，计

算古典概型的概率.

（1）列联表如下：

有搜题软件过度依赖

有搜题软件依赖症合计

症

男603090

女9020110

合

15050200

计

产%X制『耆―

.•.有97.5%的把握认为该校高二学生是否“有搜题软件过度依赖症”与性别有关.

(2)由(1)可知，在“有搜题软件过度依赖症”的50名学牛中，男、女生人

数比为3:2,

u3r<2八

5x-=35x—=2

.•.用分层抽样的方法抽出5人，男生有5人，女生有5人.

将3名男生记为G,6,。，2名女生记为，，B,从中随机选出3人作重点发

言，一共有(<Uc),(SM),(*4)(a,c,J)(b,c,A)

(瓦")，(c，43)io种不同的选法,

选出的这3人中至少有1名女生的不同选法有(34,(S4),(%,⑷乂4。用),

(b,c,A)(b,c,3)(a,A,3)。，4町，种不同的选法，

二所求的概率为

亚

R不＜夕＜%，

【题3—答案】(1)(2)~1~

【解析】

(1)分别写出曲线C的上、下两半部分的直角坐标方程，结合极坐标与直角坐

标的互化公式，即可求解；

8—

(2)把射线彳代入曲线C的极坐标方程，求得点M的极经，然后写

出△MQM的面积，求得其最大值即可.

„—+>2=1(>^0)

(1)由题设可知，曲线c上半部分的直角坐标方程为4

cp1=----r-T—（0W£4祐）

所以，曲线0上半部分的极坐标方程为3an2^+l

曲线C下半部分的直角坐标方程为三+9=＜°）,

所以，曲线C下半部分的极坐标方程为夕=2（”＜伊＜加），

P='V3sin20+1

故曲线c的极坐标方程为匕开＜夕＜加，0“《所

0=—（p^Q）Pu=\OM\=

（2）由题设，将4''代入曲线C的极坐标方程可得：115,

又点N为曲线C上的动点，所以（.皿加加工产，

1H』=杷版||叫施/的4PMp昨噌

由面积公式得：225,

当且仅当而"2M=1,PM=2时等号成立，

2而

故面积的最大值为亍.

＞近£

a三。*

【题4——答案[（1）-2；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先对函数求导，得到/'6）=-3"-由1X,根据题意，得到aNVainx,

设g（x）=r'疝ix,“＜一万，°）,对其求导，用导数的方法求出最大值，即可得

出结果；

（2）先当"2"）时，小）=7+6＜0,得到看‘&）,对

葭丹、r雷雷1

/\-x.xw。,一xe一,一

/r[x）=r+cosx求导，研究其在I2）上的单调性，得到142人

8*\=不将7化为

（sinXj-cos^）^y-Xjj-cosxe<0ft（x）=（sinx-ca!x）^-xj-cosx

142）,对其求导，研究其单调性，求得12）,即可证明结论成

立.

⑴/rW=-a«-x-siiix

当函数/（X）在（一万'°）上单调递减，

则/'G）M。在

上恒成立，即。3寸8迅工.

设g(x)=-Jsinx才+5，°)

gr(x)=(sinx+cosx)=-41^sinx+—

则<4,

.产恻

，所以444.

...当3,3时，，（x）>°,函数以X）单调递增;

当"久时，，（x）<。，函数4（x）单调递减.

g(x)

、，MI

故2

（2）因为《=T时，/W=-^+c<»x

当,丁）时，/（X）=-—+c0sx故/伞5

当”69时，可知r（x）=--向x,

xe0C,K-

令@(x)=/(x)=J_xiiix[2.,所以/(x)=-@T_cosx<0

.•.伊（x）在I'少上单调递减.即，（x）在I'力上单调递减.

乂/'（0）=1>0/册；■哈。

..・存在唯一的“£（°'彳），使得/（%）=°,

.•./（X）在（。不）单调递增，在单调递减,

/>/佟)=7彳+也>0/f-l=-3<0

又〃0)=0/⑷2,J⑴,

(咒笈*]

函数/(x)=-J+3X在