2025高考备考数学知识点第1讲　平面向量的概念及线性运算

第六章平面向量、复数第1讲平面向量的概念及线性运算课标要求命题点五年考情命题分析预测1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.平面向量的有关概念2022新高考卷ⅠT3本讲命题热点为平面向量的线性运算、共线向量定理的应用，一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大.预计2025年高考命题稳定，备考时注意对向量的几何意义的理解和应用.平面向量的线性运算2022新高考卷ⅠT3；2020全国卷ⅠT14；2020新高考卷ⅡT3共线向量定理的应用学生用书P1121.平面向量的有关概念名称定义备注向量既有①大小又有②方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或③模）.平面向量是自由向量.零向量长度为0的向量.零向量记作0，其方向是④任意的.单位向量长度等于1个单位长度的向量.与非零向量a共线的单位向量为⑤a｜a｜和⑥－平行向量（共线向量）方向⑦相同或相反的非零向量.0与任意向量平行（共线）.相等向量长度⑧相等且方向⑨相同的向量.相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量.相反向量长度相等且方向相反的两个向量.若a，b互为相反向量，则a＝－b.0的相反向量为0.注意（1）0是一个向量，0是一个实数，｜0｜＝0.（2）两个向量不能比较大小，只能判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.2.平面向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算.三角形法则 平行四边形法则（1）a＋b＝b＋a.（2）（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差.三角形法则a－b＝a＋（－b）.数乘求实数λ与向量a的积的运算.（1）｜λa｜＝｜λ｜｜a｜.（2）当λ＞0时，λa与a的方向⑩相同；当λ＜0时，λa与a的方向⑪相反；当λ＝0时，λa＝0.（1）λ（μa）＝λμa＝μ（λa）.（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa.（3）λ（a＋b）＝λa＋λb.注意利用三角形法则时，两向量要首尾相连；利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点.常用结论向量运算的常用结论（1）若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝12（OA＋OB）（2）对于任意两个向量a，b，都有：①｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜；②｜a＋b｜2＋｜a－b｜2＝2（｜a｜2＋｜b｜2）.注意当a，b不共线时：①式的几何意义是三角形中两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边；②式的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系.3.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件：存在唯一一个实数λ，使⑫b＝λa.注意（1）只有非零向量才能表示与之共线的其他向量.（2）两向量共线包含同向共线和反向共线两种情况.1.下列说法正确的是（D）A.零向量是唯一没有方向的向量B.单位向量都相等C.a与b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a＞bD.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件2.[新高考卷Ⅱ]若D为△ABC的边AB的中点，则CB＝（A）A.2CD－CA B.2CA－CDC.2CD＋CA D.2CA＋CD解析解法一因为D是AB的中点，所以AB＝2AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋2AD＝CA＋2（CD－CA）＝2CD－CA，故选A.解法二因为D是AB的中点，所以CD＝12（CA＋CB），即2CD＝CA＋CB，所以CB＝2CD－CA，故选3.已知向量a，b，若｜a｜＝2，｜b｜＝4，则｜a－b｜的取值范围是[2，6].解析由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜，得2≤｜a－b｜≤6.4.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共线，则λ＝－13解析由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－（b－3a）]，所以λ＝－k学生用书P113命题点1平面向量的有关概念例1（1）下列说法正确的是（B）A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形C.a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥bD.已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线解析A错误，两个向量是否相等只与模及方向有关，与位置无关；B正确，因为AB＝DC，所以｜AB｜＝｜DC｜且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且｜a｜＝｜b｜时还可能是a＝－b，所以“｜a｜＝｜b｜且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线.故选B.（2）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a｜a｜＝b｜bA.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜解析因为向量a｜a｜的方向与向量a的方向相同，向量b｜b｜的方向与向量b的方向相同，且a｜a｜＝b｜b｜，所以向量a与向量b的方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a｜a｜方法技巧向量有关概念的关注点（1）向量定义的关键是方向和长度.（2）非零向量的平行具有传递性.（3）平行向量即共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.（5）向量a｜a｜是与向量训练1下列说法正确的是（B）A.相反向量就是方向相反的向量B.a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则a∥cC.若a与b共线，则a＝b或a＝－bD.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝｜a｜a0解析对于A，相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，故A错误；对于C，若向量a与b共线，则a与b的方向相同或相反，但长度不一定相等，故C错误；对于D，a与｜a｜a0的模相等，但方向不一定相同，故D错误；易知B正确.故选B.命题点2平面向量的线性运算角度1向量加、减法的几何意义例2（1）[多选]P是△ABC所在平面内一点，且满足｜PB－PC｜－｜PB＋PC－2PA｜＝0，则△ABC不可能是（AD）A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解析设D为边BC的中点，则PB＋PC＝2PD，由已知有｜CB｜＝｜2PD－2PA｜＝2｜AD｜，所以△ABC为直角三角形，故选AD.（2）[全国卷Ⅰ]设a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，则｜a－b｜＝3.解析解法一如图，四边形OACB为平行四边形，设OA＝a，OB＝b，利用平行四边形法则得OC＝a＋b，∵｜a｜＝｜b｜＝｜a＋b｜＝1，∴△OAC为正三角形，∴｜BA｜＝｜a－b｜＝2×32×｜a｜＝3.解法二∵a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，∴（a＋b）2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－12，∴｜a－b｜2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×（－12）＝3，∴｜a－b｜＝方法技巧利用向量加、减法的几何意义解决问题的思路（1）根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解；（2）平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可考虑利用向量知识来求解.角度2向量的线性运算例3[2022新高考卷Ⅰ]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝（B）A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n解析因为BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3（CD－CA）＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故选B.方法技巧向量的线性运算问题的求解策略（1）利用三角形法则或平行四边形法则求解；（2）利用相等向量、相反向量、共线向量以及三角形中位线等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.角度3根据向量线性运算求参数例4在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝2DC，点O在线段CD上（与点C，D不重合）.若AO＝xAB＋（1－x）AC，则x的取值范围是（C）A.（0，1） B.（23，1） C.（0，13） D.（13解析设BO＝λBC，λ∈（23，1），则AO＝AB＋BO＝AB＋λBC＝（1－λ）AB＋λAC＝xAB＋（1－x）AC，则x＝1－λ∈（0，13）.方法技巧求参数问题可以通过向量的线性运算将向量表示出来，进行比较，构造方程（组）求解.训练2（1）[多选]在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是（ABD）A.AC－AD＝12AB B.｜OA＋2OC｜C.OA＝23CD＋13CB D.AB＋BC＋CD解析对于A，AC－AD＝DC＝12AB，故A正确.对于B，由题知COAO＝CDAB＝12，所以OA＋2OC＝0，故｜OA＋2OC｜＝0，故B正确.对于C，OA＝23CA＝23（CB－AB）＝23（CB＋2CD）＝23CB＋43CD，故C错误.对于D，AB＋BC＋CD＋（2）在△ABC中，AB＝2，BC＝33，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高.若AD＝λAB＋μAC，则λ－μ＝13解析如图，∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∵AB＝2，∠ABC＝30°，∴BD＝3＝13BC，∴AD＝AB＋BD＝AB＋13BC＝AB＋13（AC－AB）＝2又AD＝λAB＋μAC，∴λ＝23，μ＝13，故λ－μ＝命题点3共线向量定理的应用例5（1）已知O为△ABC内一点，且AO＝12（OB＋OC），AD＝tAC，若B，O，D三点共线，则t＝（BA.14 B.13 C.12 解析设E是BC边的中点，则12（OB＋OC）＝OE，由题意得AO＝OE，所以AO＝114（AB＋AC）＝14AB＋14tAD，又因为B，O，D三点共线，所以14＋14t＝1（2）[全国卷Ⅱ]设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝12解析因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ（a＋2b），即（λ－μ）a＋（1－2μ）b＝0.因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12方法技巧利用共线向量定理解题的策略（1）利用a∥b⇔a＝λb（b≠0）求解.（2）当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线.（3）若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.（4）OA＝λOB＋μOC（λ，μ为实数），若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.注意OA＝λOB＋μOC中的三个向量的起点相同时，才有A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.训练3（1）已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，OA＝3e1＋2e2，OB＝4e1＋ke2，OC＝5e1－4e2，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（A）A.－1 B.0 C.1 D.2解析解法一因为OA＝3e1＋2e2，OB＝4e1＋ke2，OC＝5e1－4e2，所以AB＝OB－OA＝（4e1＋ke2）－（3e1＋2e2）＝e1＋（k－2）e2，AC＝OC－OA＝（5e1－4e2）－（3e1＋2e2）＝2e1－6e2，又A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，使得AB＝λAC，即e1＋（k－2）e2＝λ（2e1－6e2），所以2λ=1，－6λ＝k－解法二根据题意，设OA＝xOB＋（1－x）OC，则3e1＋2e2＝[4x＋5（1－x）]e1＋[kx－4（1－x）]e2，因为e1，e2是平面内两个不共线的向量，所以4x+5（1－x（2）[2023湖北天门中学、仙桃中学等校5月联考]如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，G为△ABC的重心，M，N分别为线段AB，AC上的动点，且M，N，G三点共线，若AM＝λAB（λ≠0），AN＝μAC（μ≠0），则λ＋4μ的最小值为（B）A.32 B.3 C.2 D.解析由题意得AG＝23AD＝23×12（AB＋AC）＝13（AB＋AC）＝13（1λAM＋1μAN），由于M，N，G三点共线，故13λ＋13μ＝1.故λ＋4μ＝（λ＋4μ）（13λ＋13μ）＝53＋4μ3λ＋λ3μ≥53＋24μ3λ·λ3μ＝学生用书P115等和线的应用例6[全国卷Ⅲ]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为（A）A.3 B.22 C.5 D.2解析解法一如图，过点C作CE∥BD交直线AB于点E，因为AP＝λAB＋μAD，则由等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，λ＋μ最大，设此时l与直线AB交于点F，则易知AB＝BE＝EF，此时λ＋μ＝AFAB＝AB＋BE＋EF解法二以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2）.可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离d＝222＋12＝25，所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝45.因为点P在圆255cosθ，2＋255sinθ）.易知AB＝（1，0），AD＝（0，2），AP＝λAB＋μAD＝（λ，2μ），所以1+255cosθ＝λ，2+255sinθ=2μ，所以λ＋μ＝2＋255cosθ＋55sinθ＝2＋方法技巧等和线定理：如图，对于平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，OP＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），若点P在直线AB上或在平行于AB的直线A1B1上，则λ＋μ＝k（定值）且｜k｜＝OPOF＝OB1OB＝OA1OA（F为OP与AB的交点），反之也成立.我们把直线AB以及与直线AB平行的直线推导：由三点共线结论推导等和线定理，由三点共线结论可知，若OF＝xOA＋yOB（x，y∈R），则x＋y＝1，由△OAB与△OA1B1相似，必存在一个常数k（k∈R），使得OP＝kOF，则OP＝kOF＝kxOA＋kyOB，又OP＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），所以λ＋μ＝k（x＋y）＝k.反之也成立.训练4在扇形AOB中，C为弧AB上的一个动点，∠AOB＝60°.若OC＝xOA＋yOB，则x＋3y的取值范围是[1，3].解析解法一如图1，在OB上取一点D，使OB＝3OD，连接AD，与OC交于点E，过C作CF∥AD，交OB于点F，则OC＝xOA＋yOB＝xOA＋3yOD，所以x＋3y＝OCOE＝OFOD.当C，A重合时，OFOD最小，为1；当C，B重合时，OFOD最大，为3，所以x＋3y的取值范围是[1 图1 图2解法二（坐标法）设扇形AOB的半径为1，以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则B（1，0），A（12，32），设∠BOC＝θ，0≤θ≤π3，则C（cosθ，OC＝（cosθ，sinθ）＝x（12，32）＋y（1，即cosθ＝x所以x＋3y＝23sinθ3＋3cosθ－3sinθ＝3cosθ－令g（θ）＝3cosθ－33sinθ（0≤θ≤π3），易知g（θ）在[0，g（π3）＝1≤g（θ）≤g（0）＝3所以x＋3y的取值范围是[1，3].解法三（构造函数法）设扇形AOB的半径为r，因为OC＝xOA＋yOB，所以OC2＝（xOA＋yOB）2＝x2OA2＋2xy｜OA｜｜OB｜·cos60°＋y2OB2，即r2＝x2xyr2＋y2r2，整理得关于y的方程y2＋xy＋x2－1＝0.易知x，y∈[0，1]，Δ＝4－3x2＞0，所以y＝－x所以x＋3y＝x＋－3x+34－3x令f（x）＝－12x＋34－3x22（x∈[0，1]），易知f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（1）＝1≤f（x）≤所以x＋3y的取值范围是[1，3].1.[命题点1]设a，b为非零向量，则“a∥b”是“a与b方向相同”的（B）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析因为a，b为非零向量，所以当a∥b时，a与b方向相同或相反，因此“a∥b”是“a与b方向相同”的必要不充分条件.2.[命题点3]在△ABC中，点P满足BP＝2PC，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若AM＝mAB，AN＝nAC（m＞0，n＞0），则m＋2n的最小值为（A）A.3 B.4 C.83 D.解析如图，连接AP，易知AP＝AB＋BP＝AB＋23（AC－AB）＝13AB＋23AC＝13mAM＋23nAN.因为M，P，N三点共线，所以13m＋23n＝1，因为m＞0，n＞0，所以m＋2n＝（m＋2n3m＋2m3n≥53＋22n3m·2m3n＝3，当且仅当2n3m＝2m3.[命题点3/2023河南省重点中学测试]已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且满足AD＝13AB，AE＝23AC.F为直线DE与直线BC的交点.若AF＝λAB＋μAC（λ，μ为实数），则μ－λ的值为（A.1 B.－53 C.53 解析由题意，得AF＝AD＋DF＝13AB＋DF.因为D，E，F三点共线，所以DF＝kk（DA＋AE）＝k（23AC－13AB），k为实数，所以AF＝13AB＋k（13－13k）AB＋23kAC.因为B，C，F三点共线，所以（13－13k）＋23k＝1，即k＝2，所以AF＝－13AB＋43AC.又AF＝λAB＋μAC，所以λ＝－13学生用书·练习帮P3161.[2024云南文山州月考]已知平面向量a，b不共线，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，CD＝a＋3b，则（D）A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线解析BD＝BC＋CD＝6b，得不出AB＝λBD，∴AB，BD不共线，∴A，B，D三点不共线，A错误；由已知得不出AB＝λBC，∴AB，BC不共线，∴A，B，C三点不共线，B错误；由已知得不出BC＝λCD，∴BC，CD不共线，∴B，C，D三点不共线，C错误；AC＝AB＋BC＝3a＋9b＝3CD，∴AC，CD共线，∴A，C，D三点共线，D正确.故选D.2.[2024河南济源市第六中学月考]设a，b是两个非零向量，则下列说法正确的是（C）A.若｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜，则a⊥bB.若a⊥b，则｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜C.若｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜，则存在实数λ，使得a＝λbD.若存在实数λ，使得a＝λb，则｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜解析｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜成立的充要条件是向量a，b方向相反，且｜a｜＞｜b｜，易知C正确.3.如图，P是线段OB，AB的延长线所围成的阴影区域（含边界）内任意一点，且OP＝xOA＋yOB，则（C）A.x＋y≤1 B.x＋y＜1C.x＋y≥1 D.x＋y＞1解析设OP与线段AB的延长线交于点E，则OE＝λOA＋（1－λ）OB，设OP＝mOE，根据题意易知m≥1，当且仅当P，E重合时m＝1.所以OP＝mλOA＋m（1－λ）OB＝xOA＋yOB，所以x＝mλ，y＝m（1－λ），x＋y＝m≥1.故选C.4.已知平面向量a，b满足｜b｜＝2，｜2a－b｜＝1，则｜a｜的取值范围为（C）A.[32，52] B.（1，3） C.[12，32] D.（解析因为｜2a－b｜＝1，所以｜b｜－｜2a－b｜≤2｜a｜≤｜b｜＋｜2a－b｜，所以1≤2｜a｜≤3，可得｜a｜∈[12，325.[2023武汉市调研]在正六边形ABCDEF中，用AC和AE表示CD，则CD＝（B）A.－23AC＋13AE B.C.－23AC＋23AE D.解析解法一如图，记正六边形的中心为O，连接BE，交AC于点G，则点O在BE上，G为AC的中点，且G为OB的中点，所以AG＝12AC，CD＝23GE＝23（AE－AG）＝23（AE－12AC解法二如图，以A为坐标原点，AB，AE所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，不妨设正六边形ABCDEF的边长为2，则A（0，0），C（3，3），D（2，23），E（0，23），所以AC＝（3，3），AE＝（0，23），CD＝（－1，3）.设CD＝xAC＋yAE，则（－1，3）＝x（3，3）＋y（0，23）＝（3x，3x＋23y），得3x＝－1，3x+23y＝3，解得6.[2024四川资阳模拟]在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是线段DE上的点，且FC＝78AB＋14AD，则（A.FD＝2EF B.EF＝2FDC.FD＝3EF D.EF＝3FD解析解法一由四边形ABCD是平行四边形可知AB＝DC，因为E为AB的中点，所以AB＝2AE，FD＝FC＋CD＝78AB＋14AD＋CD＝14AD－18AB＝14AD－14解法二设FD＝λED，λ∈[0，1]，因为ED＝AD－AE＝AD－12AB，所以FC＝FD＋DC＝λED＋AB＝λ（AD－12AB）＋AB＝（1－12λ）AB＋λAD，又FC＝78AB＋14AD，所以λ＝14，所以FD7.[2024河南信阳部分学校联考]已知向量a＝（6，2），则与a方向相反的单位向量b的坐标为（－31010，－1010解析解法一b＝－a｜a｜＝（－31010解法二设b＝λa＝（6λ，2λ），λ＜0，则（6λ）2＋（2λ）2＝1，得λ＝－1020，故b（－31010，－108.[2024天津四中月考]在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，若AP＝4AB｜AB｜＋AC｜AC｜，则解析AP＝4AB｜A