2025高考备考数学知识点突破　三角函数中有关ω问题的求解

突破三角函数中有关ω问题的求解学生用书P088命题点1利用三角函数对称性求ω例1将函数y＝4sin（ωx＋π2）（ω＞0）的图象分别向左、向右平移π6个单位长度后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（AA.3 B.2 C.4 D.6解析将函数y＝4sin（ωx＋π2）（ω＞0）的图象分别向左、向右平移π6个单位长度后，得到y1＝4sin[ω（x＋π6）＋π2]，y2＝4sin[ω（x－π6）[ω（x＋π6）＋π2]－[ω（x－π6）＋π2]＝ω3π＝kπ（k∈Z），所以ω＝3k（k∈Z）.又ω＞方法技巧已知三角函数的对称性求ω的思路：根据三角函数的对称性与周期的关系，对称轴与最值的关系，对称中心与零点的关系求ω.训练1[2023四川省名校联考]已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0），若∃x0∈[－π4，π3]，使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，则ω的最小值是（AA.34 B.1 C.32 解析f（x）＝2sin（ωx＋π4）.f（x）的图象在[－π4，π3f（x）的图象在[－π4，π3]上存在对称轴，所以－π4ω＋π4≤－π2或π3ω＋π4≥π2，解得所以ω的最小值为34，故选命题点2利用三角函数单调性求ω例2[全国卷Ⅰ]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤π2），x＝－π4为f（x）的零点，x＝π4为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（π18，5π36）上单调，则A.11 B.9 C.7 D.5解析依题意，有ω·（－π4）＋φ＝mπ，ω解得ω=2（n－m）+1，φ＝2（m＋n）+14π.又｜φ｜由f（x）在（π18，5π36）上单调，得πω≥5π36－π当m＋n＝0时，ω＝4n＋1，φ＝π4取n＝2，得ω＝9，f（x）＝sin（9x＋π4），此时，当x∈（π18，5π36）时，9x＋π4∈（3π4，当m＋n＝－1时，φ＝－π4，ω＝4n＋3取n＝2，得ω＝11，f（x）＝sin（11x－π4），此时，当x∈（π18，5π36）时，11x－π4∈（13π36，23π18），方法技巧已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在[x1，x2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围的步骤：（1）根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期T的一半，即x2－x1≤12T＝πω，求得0＜ω≤（2）以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z，解得（3）结合（1）中求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω的取值范围.训练2（1）[2023贵州省适应性测试]将函数f（x）＝cosωx（ω＞0）的图象向左平移π2个单位长度后得到函数g（x）的图象.若g（x）的图象关于点（π4，0）对称，且g（x）在[π3，5π6]上单调递减，则ωA.13 B.23 C.1 解析由题意可得g（x）＝cos（ωx＋π2ω），因为g（x）的图象关于点（π4，0）对称，所以3πω4＝π2＋kπ，k∈Z，即ω＝23＋43k，k∈Z.令2k1π≤ωx＋π2ω≤π＋2k1π，k1∈Z，得g（x）的单调递减区间为[2k1πω－π2，π+2k1πω－π2]，k1∈Z，因为g（x）在[π3，5π6]上单调递减，所以π3≥2k1πω－π2，5π6≤π+2k1πω－π2，5π6－π3≤12·2πω（2）[2023四川省遂宁市三诊]已知函数f（x）＝sin（ωx＋π6）＋cosωx（ω＞0），f（x1）＝0，f（x2）＝3，且｜x1－x2｜的最小值为π，则ω的最小值为12解析f（x）＝sin（ωx＋π6）＋cosωx＝32sinωx＋12cosωx＋cosωx＝32sinωx＋32cosωx＝3sin（ωx＋π3），因为f（x1）＝0，f（x2）＝3，且｜x1－f（x）的最小正周期T的最大值为4π，ω的最小值为12命题点3利用三角函数最值求ω例3将函数f（x）＝sin（2ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的部分图象如图所示，且g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为－1），则ω的取值范围是（C）A.（712，1312] B.[712，1312） C.[1112，1712） 解析由已知得函数g（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜2π），由g（x）的图象经过点（0，32）以及点在图象上的位置，得sinφ＝32，φ＝2π3，∵0≤x≤2π，∴2π3≤ωx＋2π3≤2πω＋2π3，由g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴5π2≤2πω方法技巧若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于ω的不等式（组），进而求出ω的取值范围.训练3[2023乌鲁木齐市质监]已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象过点（0，1），且在区间（π，2π）内不存在最值，则ω的取值范围是（DA.（0，16] B.[14，C.（0，16]∪[14，712] D.（0，16]∪[解析因为f（x）＝2sin（ωx＋φ）的图象过点（0，1），所以f（0）＝2sinφ＝1，即sinφ＝12又0＜φ＜π2，所以φ＝π6，于是f（x）＝2sin（ωx＋π因为f（x）在区间（π，2π）内不存在最值，所以π≤T2＝πω（T为f（x）的最小正周期），得ω当x∈（π，2π）时，ωx＋π6∈（πω＋π6，2πω＋π6），其中π6＜πω＋所以有两种情况：①π6＜πω＋π6②π2≤πω＋π6≤7命题点4利用三角函数零点、极值点求ω例4[2023新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）＝cosωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是[2，3）.解析函数f（x）＝cosωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）.方法技巧三角函数图象上两个相邻零点间和两个相邻极值点间的距离均为T2（T为最小正周期），根据三角函数的零点个数或极值点个数，可确定区间长度范围，进而研究ω的取值训练4（1）[2022全国卷甲]设函数f（x）＝sin（ωx＋π3）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（CA.[53，136） B.[53，196） C.（136，83] 解析结合4个选项可设ω＞0.由x∈（0，π），得ωx＋π3∈（π3，πω＋π3f（x）在区间（0，π）恰有三个极值点和两个零点，知5π2＜πω＋π3≤3π，得136＜ω≤83，即ω的取值范围为13（2）[2022全国卷乙]记函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T.若f（T）＝32，x＝π9为f（x）的零点，则ω的最小值为3解析因为T＝2πω，f（2πω）＝32，所以cos（2π＋φ）＝32，即cosφ＝32.又0＜φ＜π，所以φ＝π6.因为x＝π9为f（x）的零点，所以π9ω＋π6＝π2＋kπ（k∈Z），解得ω＝9k＋3（k∈Z）.1.[命题点2/2023绵阳市一诊]若存在实数φ∈（－π2，0），使得函数y＝sin（ωx＋π6）（ω＞0）的图象的一个对称中心为（φ，0），则ω的取值范围为（CA.[13，＋∞） B.（13，C.（13，＋∞） D.[1，4解析由题意可知，y＝sin（ωx＋π6）的图象在（－π2，0）内有一个零点.由y＝sin（ωx＋π6）＝sin[ω（x＋π6ω）]，得y＝sin（ωx＋π6）的图象是由y象向左平移π6ω个单位长度得到的，所以π6ω＜π2，所以ω＞13，即ω∈（12.[命题点4/2023广西南宁高三摸底]已知函数f（x）＝cosωx－3sinωx（ω＞0），若f（x）在区间[0，2π）上有且仅有4个零点和1个极大值点，则ω的取值范围是（D）A.[53，2312] B.[1912，136） C.[53，136） 解析f（x）＝cosωx－3sinωx＝2cos（ωx＋π3当x∈[0，2π）时，因为ω＞0，所以ωx＋π3∈[π3，2πω＋π因为函数f（x）在区间[0，2π）上有且仅有4个零点和1个极大值点，所以7π2≤2πω＋π3≤4π，解得ω∈[19123.[多选/2023湖南长沙模拟]已知函数f（x）＝cosωπx（ω＞0），将f（x）的图象向右平移13ω个单位长度后得到函数g（x）的图象，点A，B，C是f（x）与g（x）图象的连续的三个交点，若△ABC是锐角三角形，则ω的值可能为（ADA.23 B.14 C.33 解析f（x）＝cosωπx（ω＞0）的图象向右平移13ω个单位长度后得到函数g（x）＝cos[ωπ（x－13ω）]＝cos（ωπx－π3设f（x）的最小正周期为T，如图所示，AC＝T＝2πωπ＝2ω，令cosωπx＝cos（ωπx－π3）＝12cosωπx＋32sinωπx，得cosωπx＝3sinωπx，则所以yA＝yC＝32，yB＝－32，取AC的中点D，连接BD，则BD＝2｜yB｜＝3，因为△ABC是锐角三角形，所以∠ABC＜90°，即∠DBC＜45°，∠DCB＞所以tan∠DCB＝BDDC＝3ω1＞1，则ω＞学生用书·练习帮P3001.函数f（x）＝2cos2ωx－sin2ωx＋2（ω＞0）的最小正周期为π，则ω＝（C）A.32 B.2 C.1 D.解析∵f（x）＝2cos2ωx－sin2ωx＋2＝32cos2ωx＋52（ω＞0），∴f（x）的最小正周期T＝2π2ω＝π，2.[2024福州市一检]若定义在R上的函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0）的图象在区间[0，π]上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为（A）A.[174，214） B.（174C.[174，254） D.[334解析由已知得，f（x）＝2sin（ωx＋π4），令ωx＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝（4k+1）π4ω，k∈Z，依题意知，满足0≤（4k+1）π4ω≤π，即0≤4k＋1≤4ω的整数k有5个，所以k＝0，1，2，3，4，则4×4＋1≤4ω＜4×5＋3.[2024山东菏泽一中模拟]已知函数f（x）＝sin（ωx＋π3）（ω＞0）的周期为T，且满足T＞2π，若函数f（x）在区间（π6，π4）不单调，则ω的取值范围是（A.（34，1） B.（12，C.（23，1） D.（45，解析已知f（x）＝sin（ωx＋π3）（ω＞0），令ωx＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），解得x＝kπ＋π6ω（k∈Z），则函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝kπ＋π6ω（π6，π4）不单调，∴令π6＜kπ＋π6ω＜π4（k∈Z），解得4k＋23＜ω＜6k＋1，k∈Z，又由T＞2π，且ω＞0，得0＜ω＜1，故仅当k＝0时，4.[2024安徽合肥一中模拟]已知函数f（x）＝cos（ωx－φ）的图象关于原点对称，其中ω＞0，φ∈（－π，0），而且在区间[－π4，π3]上有且只有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（BA.32≤ω＜92 B.2≤ωC.32≤ω≤92 D.2≤ω解析因为函数f（x）＝cos（ωx－φ）的图象关于原点对称，且x∈R，φ∈（－π，0），所以函数f（x）为奇函数，所以f（0）＝0⇒cos（－φ）＝0⇒φ＝－π2，故f（x）cos（ωx＋π2）＝－sinωx，当x∈[－π4，π3]时，ωx∈[－π4ω，π3ω]，此时f（x）有且只有一个最大值和一个最小值，由正弦函数的图象与性质可得－3π2＜－π5.[2024广东珠海第二中学模拟]已知函数f（x）＝3cos（ωx＋φ）（ω＞0），若f（－π4）＝3，f（π2）＝0，在区间（－π3，－π6）上没有零点，则ω的取值共有（A.4个 B.5个 C.6个 D.7个解析由题知f（x）＝3cos（ωx＋φ）（ω＞0），f（－π4）＝3，f（π2）＝所以3cos（－所以－π4ω＋φ=2k1π，两式相减得3π4ω＝（k2－2k1）π＋π2，所以ω＝43（k2－2k1）＋23，即ω＝4n3＋因为x∈（－π3，－π6），ω＞0，所以ωx＋φ∈（－π3ω＋φ，－π6ω＋φ），令ωx＋φ＝t，t∈（－π3ω＋φ，－π6ω＋φ），由题意知y＝3cost在（－π3ω＋φ故（－π3ω＋φ，－π6ω＋φ）⊆（－π2＋kπ，π2＋kπ），所以－π3两式相加得－π6ω≥－π，所以0＜ω≤6，又ω＝4n3＋23，所以，当n＝0时，ω＝23；当n＝1时，ω＝2；当n＝2时，ω＝103；当n＝3时，ω＝143；当n＝4时，ω＝6.所以ω6.[2023河南部分重点中学联考]已知函数f（x）＝sin（ωx＋π6）＋3sin（ωx－π3）（ω＞0）在区间[π6，π3]上单调，且当x1－x2＝π2时，｜f（x1）－f（x2）｜≥4，则ωA.2 B.4 C.6 D.8解析f（x）＝sin（ωx＋π6）＋3sin（ωx－π3）＝sin（ωx＋π6）－3cos（ωx＋2sin（ωx＋π6－π3）＝2sin（ωx－π6），所以f（x）max＝2，f（x）min＝－2，所以｜f（xf（x2）｜≤4.记f（x）的最小正周期为T，因为｜f（x1）－f（x2）｜≥4，所以｜f（x1）－f（x2）｜＝4，x1－x2＝12T＋kT＝π2（k∈Z），则T＝π2k+1（k∈Z），则ω＝4k＋2（k∈Z）.当x∈[π6，π3]时，ωx－π6∈[ωπ6－π6，ωπ3－π6]，因为f（x）在[π6，π3]上单调，所以ωπ6－π6≥k1π－π2，ωπ3－π6≤k1π＋π2，k1∈Z，解得6k1－2≤ω≤3k1＋2（k1∈Z），则6k1－2≤3k1+2，3k1+2>0，k1∈Z，得－7.[2023绵阳南山中学模拟]设函数f（x）＝sinωx＋sin（ωx＋π3）（ω＞0），已知f（x）在[0，π]上有且仅有2023个极值点，则ω的取值范围是[60673解析f（x）＝sinωx＋sin（ωx＋π3）＝32sinωx＋32cosωx＝3（32sinωx＋12cosωx）＝3sin（ωx＋π6），当x∈[0，π]时，ωx＋π6∈[π6，ωπ＋π6]，因为函数f（x）在[0，π]上有且仅有2023个极值点，所以2022π＋π2≤ωπ＋π68.[2024浙江丽水统考]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），f（x）满足f（x＋π3）＝f（π3－x），f（－π3）＝0，且在区间（π18，π6）上有且仅有一个x0使f（x0）＝1，则ω解析因为f（x）满足f（x＋π3）＝f（π3－x），f（－π3）＝0，所以x＝π3为f（x）图象的一条对称轴，－π3ω＋φ＝k1π，且π3ω＋φ＝k2π＋π2，k1，k2∈Z，则ω＝3（2k+1）4，φ＝k'π2＋π4，其中k＝k2－k1，k'＝k2＋k1＝k＋2k1，且k，k'同为奇数或偶数.又f（x）在区间（π18，