高中数学-《曲线与方程的概念》教学设计学情分析教材分析课后反思

《圆的标准方程》教学设计

【课标解读】

本小节介绍了曲线与方程、坐标法、轨迹方程的概念，理解曲线的方程和方

程的曲线的意义，了解曲线与方程的对应关系。

【教材分析】

1、教材的地位和作用：

《曲线与方程的概念》是人教B版选修2-1《圆锥曲线与方程》的第一节，

是在必修2第二章学习了直线方程与圆的方程的概念基础上来进一步研究的，在

讨论曲线的方程和方程的曲线的概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及

解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线

的性质。曲线的方程和方程的曲线，是解析几何的重要概念。《标准》强调在教

学中要重视曲线上的点集与方程的解集之间的对应关系，培养学生数形结合的思

想方法。是在了解直线方程和圆方程的基础上，进一步研究圆锥曲线方程，因此

它具有承上启下的重要地位。

2、教材处理：

结合中学生的认知结构和本校学生的实际情况，《曲线与方程的概念》的新

课教学我安排一个课时，让学生理解曲线与方程的概念，理解坐标法的思想，能

根据已知条件列方程组求两曲线的交点坐标。

3、教学重难点：

根据课程标准和大纲的要求，通过对教材的分析，结合本班学生的实际情

况确定教学重点：是曲线的方程和方程的曲线的概念，教学难点是了解曲线与方

程的对应关系。

【学情分析】

《曲线与方程的概念》是学生在高一学习了直线方程的概念后，又掌握了圆

方程的求法，初步了解了坐标法研究几何问题的基本思想.但由于学生学习解析

几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，对概念的理

解还有欠缺，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交

流的意识等方面有待加强.

【教学目标】

(1)知识目标：①理解曲线与方程的概念；

②了解坐标法思想，会求两曲线的交点；

(2)能力目标：①培养学生的转化能力和全面分析问题的能力；

②加深对数形结合思想的理解；

(3)情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；

②培养学生求真务实、思维严密的学习习惯.

【评价设计】

本节课我以百岁山广告引入，讲了解析几何的创始人笛卡尔，从数学史的

角度让同学们了解数学的发展，利用数学家的切身事例对学生进行励志教育，点

燃本节课的学习热情。然后引导学生复习直线方程、方程的直线的概念。整节课

以“问题串”的形式，循序渐进，从直线到曲线，螺旋上升，使学生在问题情景

中学习，通过问题探究激发潜能，通过合作交流深化理解，通过自主学习体验成

功。符合新课程改革的理念，符合数学的学科特点和学生的认知水平。

【教学过程】

1：课前讲述百岁山广告的故事，以故事为背景说明数学与现实生活密切相关，另

外普及了一下数学史的部分，让同学们去学习数学家那种科学认真的治学精神！

另外也对钟爱数学学习的同学起到励志作用。

2：复习引入，复习必修2中直线的方程、方程的直线的概念。从实例入手，设

置问题串，让学生认识到直线的方程与方程的直线的对应关系。写出圆的标准方

程，认识圆与方程的对应关系，从而将直线与方程的概念问题延伸到曲线与方程

的对应问题，形成本节课的概念。

3：概念形成，给出曲线的方程、方程的曲线的概念，对概念进行三条说明，从

集合的角度去总结曲线上的点集与方程的解集的对应关系，从而形成了对曲线方

程的纯粹性和方程曲线的完备性的认识。

4：例1设置了几种曲线，从曲线去判断方程，看方程是不是所给曲线的方程。

不是的话原因是什么？不满足哪一条？例2给出了几个方程，从方程去判断曲线

的形状。有问题发动学生积极交流，比起老师一味说教效果更好。可以让优秀的

小组进行典型发言。发现不同做法，体会差异，产生智慧的火花。做得好的小组

要给予掌声鼓励。

5：本节课的另一个知识点是求两条曲线的交点。首先认识到两条曲线的交点坐

标需要满足两条曲线对应方程所组成的方程组，因此求两曲线的交点问题就转化

为去解两曲线方程所组成的方程组问题。知识形成之后，通过例3对方法进行

小试牛刀，例4是证明圆系方程问题，分两步，先要理解给出的方程一定过两圆

的交点，另外要去证明给出的方程是一个圆的方程，方法是把方程整理成圆的标

准方程的形式。

6：对本节课进行总结，知识和思想方法两个方面。接着进行课堂检测。

6：分层布置作业，一句哲理性的话语结束本节课，给每位同学一个美好的祝福：

【板书设计】

板书设计如图所示，层次分明，重点突出。

§2.1.1曲线与方程的概念

三、例4

一、直线的方程

二、曲线与方程

【巩固练习】

1、判断下列命题是否正确

(D到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=l；

(2)到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是y=x；

2、如图，MA和MB分别是动点M(x,y)与两定点A(-1,0),B(1,0)的连线，求NAMB

为直角的动点M的轨迹方程。

附《问学案》

1.2.1曲线与方程的概念

课型：新授课课时：第一课时

【课标要求】

了解曲线与方程、坐标法、轨迹方程的概念，理解曲线的方程和方程的曲线

的意义，了解曲线与方程的对应关系

【考纲要求】

了解曲线的方程方程的曲线的概念，体会点与坐标、曲线与方程的对应关系

【学习目标】

了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方

程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理

情境导入

画出平分第一、三象限的直线，写出直线方程

问题1：为什么这条直线的方程是X-产0?

问题2:能否用V-y2=o表示？为什么？

能否用yJx-^ly-O表示？能否用|x|-y=O表示？

问题3：写出以(a,6)为圆心，以r为半径的圆方程，为什么这个方程是所求的圆的方程？

问题4：将曲线记为C,方程尸况力=0,曲线C与方程尸况力=0满足什么关系时可认为

厂应力=0是C的方程？

自学

内容

给定曲线C与二元方程下应力力，若满足

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点

那么这个方程F(x,y)=0叫做这条曲线C的方程，这条曲线C叫做这个方程的曲线

说明：

1.曲线的方程一一反映的是图形所满足的数量关系(代数形式)

方程的曲线一一反映的是数量关系所表示的图形(几何形式)

2.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,

也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.(点不比解多)

“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫

无遗漏.(解不比点多)

3.两者间的关系：

点在曲线上0点的坐标适合于此曲线的方程，曲线上的点与方程的解一一对应。

要求

理解概念

互学'展学

内容

完成例1,例2

要求

例1.判断下列结论的正误，并说明理由.

(1)过点火3,0)且垂直于x轴的直线的方程为年3;

(2)到x轴距离为2的点的直线方程为尸-2

(3)到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为x尸1;

(4)ZU8C的顶点4(0,-3)、8(1,0)、C(-1,0),〃为况1中点，则中线AD的方程为x=0

变式训练：写出下列半圆的方程

例2.下列方程表示的曲线分别是什么？

⑴无一2=();

(2)(2x+3y-5)(7X-3-1)=0;

⑶|x|-l=1尸

展学、点学

内容

怎样求两条曲线的交点？

由两条曲线的方程，可求出这两条曲线的交点坐标。比如：已知两条曲线C1和C2的方

程分别为

C]:F(,x,y)=0C2:G(x,y)=0

交点坐标必须同时满足上面的两个方程。所以求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组

,("=0的解

G(x,y)=Q

要求

例3.求直线/：x+4y+7=0与曲线c：4x-V=o的交点坐标

222

例4.已知两圆G：x+y+6x-16=»,C2：X+/-4X-5=O,求证：对任一不等于

-1的实数A,方程x2+/+6x-16+2(x2+y2-4x—5)=。是通过两圆交点的圆的方程。

思考与讨论:：当入=-1时，方程还是圆吗？如果不是，应表示什么图形？与两个已知圆有

什么关系？

课堂小结

1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义；

2、曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题.体现“以数论形”

的思想.

当堂检测

1、判断下列命题是否正确

(1)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=l：

(2)到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是y=x；

2、如图，MA和MB分别是动点M(x,y)与两定点A(-1,0),B(1,0)的连线，求NAMB

为直角的动点M的轨迹方程。

1.A层次完成课本35页A组1-4题,

2.B层次完成课本35页A组1-4题,课本36页B组1-3题

学后反思

收获

不足

改进措施

学情分析

《曲线与方程概念》是学生在高一学习了直线方程的概念和圆的方程后，对

直线的方程、方程的直线有一定认识的基础上进行研究的.但由于学生学习解

析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习

过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有

待加强.

由于采取的是先学后教的“143”教学模式，应该留给学生充分的时间做问

学案。学案前一天自习结束上交，要当天批改，摸清学生底细，以便教学中做到

有的放矢。切实掌握好学情。

效果分析

本节课是《曲线与方程的概念》，课前对教材、课标和大纲进行

了细致的研究，并对学生的知识结构、思维水平进行了重点考查，确

定了本节的重点是曲线方程的概念.教学难点是了解曲线与方程的对

应关系。

本节课采取了先学后教的“143教学模式”，学生课前先做问学

案，学生通过自学，互学，展学获取知识，实在不会的才通过老师的

点学来进行指导。这正是我们平阴一中所倡导的自主学习。授之以鱼

不如授之以渔。

数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题及创造能

力的载体。问题是思维的起点，是学生主动探索的动力.新课程倡导：

强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，把“数学

发现的权利”还给学生。本节课重视学生的亲身体验，鼓励学生主体

参与,让学生主动地学习，真正成为学习的主人。通过设计“问题串”，

让学生在问题情景中学习，通过问题探究激发潜能，通过合作交流深

化理解，通过自主学习体验成功。从复习直线方程的概念到利用具体

例子总结出曲线方程满足的条件，从而形成了曲线的方程、方程的曲

线的概念。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥,

极大的激励了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题、解决问题的

能力，培养了他们的创新意识，这正是新课程所倡导的教学理念。

正所谓“教无定法，贵在得法。”轻松愉快的课堂是学生思维

发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。

新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！

教材分析

1、教材的地位和作用：

《曲线与方程的概念》是人教B版选修2T第二章《圆锥曲线与方程》中的

第一节，是在高一所学《平面解析几何初步》的基础上，进一步研究曲线与方程

的关系，是对坐标法研究几何的进一步学习，是解析几何思想的进一步应用。通

过对数学2《平面解析几何初步》一章的学习，我们初步掌握了在直角坐标系中

确定直线和圆的方程，并用方程研究直线和圆的几何性质的方法。现在，我们以

此为基础，进一步明确曲线与方程的概念。

2、教材处理：

结合中学生的认知结构和本校学生的实际情况，《曲线与方程的概念》的新

课教学我安排一个课时，让学生了解曲线和方程、坐标法、轨迹方程的概念，理

解曲线的方程和方程的曲线的意义，了解曲线与方程的对应关系。

3、教学重难点：

根据课程标准和大纲的要求，通过对教材的分析，结合本班学生的实际情

况确定教学重点：曲线的方程、方程的曲线概念，教学难点是了解曲线与方程的

对应关系。

《曲线与方程的概念》评测试题

1.如果曲线。上的点满足方程产（x,力=0,则以下说法正确的是（）

A.曲线。的方程是尸（x,y）=0B.方程/（x,y）=0的曲线是。

C.坐标满足方程F（x,力=0的点在曲线。上

D.坐标不满足方程F（x,力=0的点不在曲线。上

2.方程/+砂=》表示的曲线是（）

A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线

3.以（5,0）和（0,5）为端点的线段的方程是（）

A.x+y=5B.%+y=5（x>0）C.x+y=5（yNO）D.x+y=5（O«xK5）

4.直线y=x+2与曲线到=3的交点坐标为

5、点根（3,-4）,加2（-2遍,2）是否在方程/+：/=25表示的圆上？

6、已知方程/+y2=&的圆过点加3（77,加），求m的值.

思考题：7.曲线y=-石二区与曲线y+kW=0（awR）的交点个数一定是（）

A.2个B.4个C.0个D.与。的值有关

8.若曲线/一芍+2x+Z=0过点(。,一〃)(〃eR)求〃的取值范围

《曲线与方程的概念》教学反思

这节课主要内容是曲线与方程的概念。概念课是抽象枯燥的，为

了增强学生的思修延续性，首先复习了高一所学的直线方程、方程直

线的概念，又从具体的例子出发，让学生的思考有着入点，遵循一一

般到特殊的认知规律。如果学生掌握得好，后面的学习“圆锥曲线与

方程”会轻松许多。

概念形成之后，对概念进行了思维辩析。从三个方面进行了说

明，首先是曲线上点的坐标都是方程的解，一个不多。其次是以方程

的解为坐标的点都在曲线上，毫无遗漏。最后说明曲线上点的坐标与

方程的解是一一对应的。又从集合的角度加深理解。

例题教学的设计，主要加深对曲线方程的理解及一些简单的应

用。例题安排不多，由浅入深，比较符合学生的认知规律，这样学生

接受起来比较容易。课堂检测，是对本节课目标落实情况的检测，让

学生明确本节课应该到达什么样的目标。下面从四个方面反思本节课

的教学。

1、采取先学后教的“143教学模式”，大大提高教学效率。

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