2024年四川省雅安市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年四川省雅安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的.1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）计算（1﹣3）0的结果是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．43．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a+3b＝4ab B．（a2）3＝a5 C．a3•a2＝a6 D．a5÷a＝a45．（3分）如图，直线AB，CD交于点O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．55° B．45° C．35° D．30°6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．7．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后1关于x轴的对称点坐标是（）A．（1，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣1）8．（3分）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（）A．4 B． C．6 D．9．（3分）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，83，92，下列说法中正确的是（）A．众数是92 B．中位数是84.5 C．平均数是84 D．方差是1310．（3分）已知+＝1（a+b≠0）．则＝（）A． B．1 C．2 D．311．（3分）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°（人的身高忽略不计）（）A．25米 B．25米 C．25米 D．50米12．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两实根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，则下列结论中正确的有（）①2a+b＝0；②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，）；③a＜0；④若m（am+b）＜4a+2b，则0＜m＜1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上。13．（3分）使式子有意义的x的取值范围是．14．（3分）将﹣2，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张．15．（3分）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母）．①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．16．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD∥BC时．17．（3分）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，若AB＝6，BC＝8．三、解答题（本大题共7个小题、共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.18．（12分）（1）计算：﹣（）﹣1+（﹣5）×|﹣|；（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2．19．（8分）某中学对八年级学生进行了教育质量监测，随机抽取了参加15米折返跑的部分学生成绩（成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级），并绘制了不完整的统计图（如图所示）（1）请把条形统计图补充完整；（2）若该校八年级学生有300人，试估计该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数；（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C、D、E中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法20．（8分）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，F．（1）求证：△ODE≌△OBF；（2）当EF⊥BD时，DE＝15cm，分别连接BE21．（9分）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y＝（，4），N（n，1）两点．（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）求△OMN的面积；（3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若sin∠B＝，求证：AC＝AP；（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝624．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求二次函数的表达式；（2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求点Q的坐标；（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标，请说明理由．

2024年四川省雅安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的.1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的相反数是﹣2024，故选：B．2．（3分）计算（1﹣3）0的结果是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．4【解答】解：原式＝（﹣2）0＝6．故选：C．3．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形；B、圆柱的主视图是矩形；C、三棱柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意；D、正方体的主视图为正方形；故选：A．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a+3b＝4ab B．（a2）3＝a5 C．a3•a2＝a6 D．a5÷a＝a4【解答】解：A．a与3b不是同类项，因此选项A不符合题意；B．（a2）7＝a6，因此选项B不符合题意；C．a3•a5＝a5，因此选项C不符合题意；D．a5÷a＝a3，因此选项D符合题意；故选：D．5．（3分）如图，直线AB，CD交于点O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．55° B．45° C．35° D．30°【解答】解：∵OE⊥AB，∠1＝35°，∴∠AOC＝55°，∴∠2＝∠AOC＝55°，故选：A．6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【解答】解：解不等式3x﹣2≥5，得：x≥2，解不等式2x＜x+7，得：x＜6，则不等式组的解集为2≤x＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选：C．7．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后1关于x轴的对称点坐标是（）A．（1，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣1）【解答】解：∵将点P（1，﹣1）向右平移8个单位后，∴平移后的坐标为（3，﹣1），∴得到的点P8关于x轴的对称点坐标是（3，1）．故选：B．8．（3分）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（）A．4 B． C．6 D．【解答】解：设半径为r，由题意得，解得r＝4，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∴弦AB所对应的弦心距为OA＝2，∴S△AOB＝×4×2．故选：B．9．（3分）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，83，92，下列说法中正确的是（）A．众数是92 B．中位数是84.5 C．平均数是84 D．方差是13【解答】解：排列得：81，82，83，86，92，出现次数最多是82，即众数为82；最中间的两个数为83和85，平均数为84；（81+82+82+83+85+86+89+92）÷8＝85，即平均数为85；×[（81﹣85）2+2（82﹣85）4+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（86﹣85）4+（89﹣85）2+（92﹣85）2]＝×（16+18+4+5+16+49）＝13，即方差为13．故选：D．10．（3分）已知+＝1（a+b≠0）．则＝（）A． B．1 C．2 D．3【解答】解：∵+＝7（a+b≠0），∴＝5，∴a+2b＝ab，∴＝＝＝2，故选：C．11．（3分）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°（人的身高忽略不计）（）A．25米 B．25米 C．25米 D．50米【解答】解：设DC＝x米，在Rt△ACD中，∠A＝30°，tanA＝，即tan30°＝＝，整理得：AC＝x米，在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，tan∠DBC＝，即tan60°＝＝，整理得：BC＝x米，∵AB＝50米，∴AC﹣BC＝50，即x﹣，解得：x＝25，则这栋楼的高度为25米．故选：A．12．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两实根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，则下列结论中正确的有（）①2a+b＝0；②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，）；③a＜0；④若m（am+b）＜4a+2b，则0＜m＜1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由题意，∵ax2+bx+c＝0有两实根x2＝﹣1，x2＝3，∴．∴②﹣①得，8a+4b＝0．∴2a+b＝3，故①正确．∴b＝﹣2a．∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣＝﹣．∴抛物线y＝ax8+bx+c的顶点为（1，a+b+c）．又b＝﹣2a，a﹣b+c＝2，∴3a+c＝0，即a＝﹣．∴b＝﹣2a＝c．∴a+b+c＝c．∴顶点坐标为（8，c）．∵7a+c＝0，∴c＝﹣3a．又b＝﹣7a，abc＞0，∴abc＝a•（﹣2a）•（﹣7a）＝6a3＞7．∴a＞0，故③错误．∵m（am+b）＜4a+8b，∴am2+bm+c＜4a+6b+c．∴对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝m时的函数值小于当x＝2时的函数值．∵a＞4，抛物线的对称轴是直线x＝1，又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，∴|m﹣1|＜3﹣1．∴﹣1＜m﹣4＜1．∴0＜m＜8，故④错误．综上，正确的有①②共2个．故选：B．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上。13．（3分）使式子有意义的x的取值范围是x≥1．【解答】解：∵式子有意义，∴x﹣1≥4，解得x≥1．故答案为：x≥1．14．（3分）将﹣2，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张．【解答】解：在﹣2，，π，0，，5.14这6个数中，有理数为：﹣2，，0，8.14，则P（卡片上的数为有理数）＝＝．故答案为：．15．（3分）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母）h+an．①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．【解答】解：如图可知，纸杯叠放在一起后的总高度H＝杯子底部到杯沿底边的高h+杯子数量n×杯沿高a，∴H＝h+an，故答案为：h+an．16．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD∥BC时30°或150°．【解答】解：当点D在点A的左侧时，如图1所示．∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝70°．∵AD∥BC，∴∠BAD＝∠ABC＝70°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝70°﹣40°＝30°．当点D在点A的右侧时，如图2所示．∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝70°，∴∠BAE＝∠BAC+∠DAC+∠DAE＝40°+70°+40°＝150°．∴当AD∥BC时，∠BAE的度数为30°或150°．故答案为：30°或150°．17．（3分）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，若AB＝6，BC＝8．【解答】解：∵折叠，∴∠DBC＝∠DBF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠DBF＝∠ADB，∴BF＝DF，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣BF，在Rt△ABF中，AB2+AF4＝BF2，∴67+（8﹣BF）2＝BF4，解得BF＝，∴cos∠ABF＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共7个小题、共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.18．（12分）（1）计算：﹣（）﹣1+（﹣5）×|﹣|；（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+（﹣6）×＝4﹣2﹣1＝3；（2）原式＝•＝•＝，当a＝2时，原式＝＝．19．（8分）某中学对八年级学生进行了教育质量监测，随机抽取了参加15米折返跑的部分学生成绩（成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级），并绘制了不完整的统计图（如图所示）（1）请把条形统计图补充完整；（2）若该校八年级学生有300人，试估计该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数；（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C、D、E中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法【解答】解：（1）根据题意得：12÷40%＝30（人），∴不合格的为：30﹣（5+12+10）＝3（人），补全条形统计图，如图所示：（2）根据题意得：300×＝30（人），则该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数约为30人；（3）列表如下：ABCDEA﹣﹣﹣（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）B（B，A）﹣﹣﹣（B，C）（B，D）（B，E）C（C，A）（C，B）﹣﹣﹣（C，D）（C，E）D（D，A）（D，B）（D，C）﹣﹣﹣（D，E）E（E，A）（E，B）（E，C）（E，D）﹣﹣﹣所有等可能的情况有20种，其中恰好抽到A，则P（恰好抽到A、B两位同学）＝＝．20．（8分）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，F．（1）求证：△ODE≌△OBF；（2）当EF⊥BD时，DE＝15cm，分别连接BE【解答】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∵AD∥CB，∴∠OED＝∠OFB，∵点O是▱ABCD对角线的交点，∴OD＝OB，在△ODE和△OBF中，，∴△ODE≌△OBF（AAS）．（2）解：连接BE，DF，由（1）得△ODE≌△OBF，∴DE＝BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形，∴DF＝BF＝BE＝DE＝15cm，∴DF+BF+BE+DE＝4DE＝4×15＝60（cm），∴四边形BEDF的周长为60cm．21．（9分）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元【解答】解：（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道（1+25%）x＝1.25x米，根据题意得：+15＝，解得：x＝40，经检验x＝40是分式方程的解，且符合题意，∴1.25x＝50，则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；（2）设该公司原计划应安排y名工人施工，3000÷40＝75（天），根据题意得：300×75y≤180000，解得：y≤8，∴不等式的最大整数解为7，则该公司原计划最多应安排8名工人施工．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y＝（，4），N（n，1）两点．（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）求△OMN的面积；（3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时【解答】解：（1）由题意，∵M（上，∴k＝×4＝2．∴反比例函数表达式为y＝．又N（n，1）在反比例函数y＝上，∴n＝2．∴N（2，2）．设一次函数表达式为y＝ax+b，∴．∴a＝﹣2，b＝5．∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+5．（2）由题意，如图，交y轴于点B，又直线l为y＝﹣2x+5，∴A（，0），3）．∴OA＝，OB＝5．∴S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOM＝×AO×BO﹣N﹣×BO×xM＝××5﹣××8×＝．（3）由题意，如图，连接M'N交y轴于点P．∵M（，5）与M'关于y轴对称，∴M'为（﹣，8）．又N（2，1），∴直线M′N为y＝﹣x+．令x＝7，则y＝，∴P（0，）．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若sin∠B＝，求证：AC＝AP；（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCO+∠OCA＝90°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，∵∠PCA＝∠B，∴∠PCA＝∠BCO，∴∠PCA+∠OCA＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：∵sin∠B＝，∴∠B＝30°，∴∠PCA＝∠B＝30°，由（1）知∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°，∴∠PCA＝∠P，∴AC＝AP；（3）设AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，∴CD7＝AD×BD＝6x，∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，∴△PAC∽△PCB，∴，∴PC2＝PA•PB＝7（6+4+x）＝8（10+x），在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，即（4+x）2+5x＝4（10+x），整理得x2+10x﹣24＝2，解得x1＝2，x4＝﹣12（舍去），故AD＝2．24．