新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题三数列第二讲数列的通项与求和-大题备考微专题3数列与不等式问题

微专题3数列与不等式问题1.[2024·吉林延边二模]已知等差数列{an}中，公差d>0，S11＝77，且a2，a6－1，a11成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Tn为数列的前n项和，且存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．2．[2024·安徽定远中学一模]等差数列{an}中，a3＋a8＝4，a2＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝，Tn是数列{cn}的前n项和，求证：Tn<.3.[2024·河北石家庄三模]已知各项均为正数的等比数列{an}满意a1＝3，a2＋a3＝36，数列{bn}的前n项和Sn，满意3Sn＋n2＝3nbn＋n，b1＝.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若存在正整数n，使得－8Man≥0成立，求实数M的取值范围．(≈1.4，ln3≈1.1)．技法领悟解决数列与不等式问题时，一般先解决数列的通项或求和，再利用作差比较法、放缩法等不等式的方法解决．[巩固训练3]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＋a12＝16，S7＝28.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满意bn＝，且{bn}的前n项和为Tn，求满意不等式an·|Tn－3|>1的n的值．微专题3数列与不等式问题保分题1．(1)解析：设等差数列{an}首项为a1，由题意可得即又因为d>0，所以故an＝n＋1.(2)解析：∵＝＝，∴Tn＝＋…＋＝＝.因为存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立．即存在n∈N*，使得－λ(n＋2)≥0成立．即存在n∈N*，使得λ≤成立．＝(当且仅当n＝2时取等号)．故λ≤，即实数λ的取值范围是(－∞，].2．(1)解析：设等差数列{an}首项为a1，公差为d，由题意得，解得，所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝.(2)解析：证明：由(1)知，an＝，则an＋1＝，∵cn＝＝)，∴Tn＝[(1－)＋()＋…＋()]＝(1－)＝，∵n∈N*，>0，∴<，∴Tn<.提分题[例3](1)解析：设数列{an}公比为q，由已知得3q＋3q2＝36，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍)，所以an＝3·3n－1＝3n.因为3Sn＋n2＝3nbn＋n，所以，当n≥2时，3Sn－1＋(n－1)2＝3(n－1)bn－1＋n－1，两式作差得(3n－3)bn＝3(n－1)bn－1＋2n－2，因为n≥2，所以bn－bn－1＝，即数列{bn}是首项为，公差为的等差数列，所以bn＝＋(n－1)＝n.－8Man≥0⇔M≤，设cn＝，则M小于等于数列{cn}的最大项．设n＝k时，cn最大，因为c1＝，c2＝>c1，所以k>1，由，即，即，即，解得，即2.5≤k≤3.5(k∈Z)，所以k＝3，故数列{cn}的最大项是c3＝＝1，所以M≤1，即实数M的取值范围是(－∞，1].[巩固训练3](1)解析：设等差数列{an}的公差为d，则，解得a1＝d＝1，故an＝n.(2)解析：依题意，bn＝，故Tn＝4·(＋…＋)，则Tn＝4·(＋…＋)，两式相减可得：Tn＝4·(＋…＋)＝4·＝2－，解得Tn＝3－.故an·|Tn－3|>1可转化