上海市上海外国语大学附属外国语学校东校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

上外附中2023学年第二学期高一年级数学期中2024.04一、填空题（3′*12）1．函数的最小正周期是______.2．若，，成等比数列，则______.3．已知数列中，，，则通项______.4．等差数列中，，，若，则______.5．已知等比数列的前项和，则______.6．方程的实数解的个数为______个7．将函数的图像向左平行移动个单位长度得到的函数图像的解析式是______.8．若等差数列满足，，则当______时，的前项和最大9．如图，是一块半径为1的半圆形板纸，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得图形，然后依次剪去更小的半圆（其直径为前一被剪掉半圆的半径）得图形，，，，，记纸板的面积为，则______．10．已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为______.11．数列满足，，则______.12．将正整数分解成两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，其中即为20的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为______.二、选择题（3′*4）13．若数列的通项公式为，则这个数列是一个（）A．以2为首项，以3为公比的等比数列B．以2为首项，以为公比的等比数列C．以为首项，以3为公比的等比数列D．以为首项，以为公比的等比数列14．下面关于等差、等比数列的说法正确的是：（）A．前项和的数列是等差数列B．证明数列是等比数列时，只需证明C．若是等差数列，则，，也一定成等差数列D．15．已知等差数列与等比数列的首项均为1，且公比，若集合，则集合元素最多有（）个A．2 B．3 C．4 D．516．设数列为：1，，，，，，，，，，，，，，，，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来8项均为，，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数，使得；②数列是严格减数列．下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题三、解答题（8′+8′+10′+12′+14′）17．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列（1）求的通项公式；（2）计算18．已知函数（1）求的单调递增区间（2）若，求的值域19．已知函数（1）当的最小正周期为时，求的值（2）当时，设三角形的内角，，对应的边分别为，，，已知，且，，求的面积．20．设是数列的前项和，且是和2的等差中项（1）求数列的通项公式（2）记①求数列的前项和②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．21．对于无穷数列的某一项，若存在，有成立，则称具有性质．（1）设，若对任意的，都具有性质，求的最小值；（2）设等差数列的首项，公差为，前项和为，若对任意的，数列中的项都具有性质，求实数的取值范围；（3）设数列的首项，当时，存在满足，且此数列中恰有一项不具有性质，求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的的值．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．数列满足，，则______.【答案】【解析】数列满足,,.,即.

设其前项和为,则故答案为:12．将正整数分解成两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，其中即为20的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为______.【答案】【解析】故数列的前2023项和为二、选择题13.D14.C15.A16.D16．设数列为：1，，，，，，，，，，，，，，，，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来8项均为，，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数，使得；②数列是严格减数列．下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】对于数列为:,,

首先判断命题:①存在正整数,使得;

命题①的否定为:对正整数,都有恒成立,通过验证,为真命题,当时,恒成立,故命题的否定为真命题;故命题①为假命题;

对于②数列满足,,,,

,前8项都符合递减关系，从第9项起，以后的数列都为单调递减数列,故②为真命题.

故选:.

三．解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）(2)20．设是数列的前项和，且是和2的等差中项（1）求数列的通项公式（2）记①求数列的前项和②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）①②【解析】(1)是和2的等差中项,①当当②①-②得数列是首项为2,公比为2的等比数列,

(2)①

②21．对于无穷数列的某一项，若存在，有成立，则称具有性质．（1）设，若对任意的，都具有性质，求的最小值；（2）设等差数列的首项，公差为，前项和为，若对任意的，数列中的项都具有性质，求实数的取值范围；（3）设数列的首项，当时，存在满足，且此数列中恰有一项不具有性质，求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的的值．【答案】（1）5（2）（3）或时,此数列的前100项和最小,最小值为.【解析】(1)由题意知,,此时此时当此时

综上知,,即对任意的都具有性质时的最小值为5;

(2)由题意可知,等差数列的前项和为

若对任意的,数列中的项都具有性质,则对任意的恒成立,即，解得;

又因为,所以实数的取值范围是;(3)对于,

因为都具有性质,所以,

当时,存在,满足,

所以依次为:,;

由已知不具有性质,