高中数学《组合与组合数》复习小结与训练

§6.2.1组合与组合数

（第1课时组合及组合数的定义）

【学习目标】

1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.

2.会用组合知识解决一些简单的组合问题.

【知识梳理】

知识点一组合及组合数的定义

1.组合

一般地，从n个不同元素中取出m（mWn）个元素作为一组,叫做从n个不同元

素中取出m个元素的一个组合.

2.组合数

从n个不同元素中取出m（mWn）个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不

同元素中取出m个元素的组合数，用符号蜃表示.

知识点二排列与组合的关系

相同点两者都是从n个不同元素中取出m（mWn）个元素

不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序

组合数C；与排列数A：间存在的关系

关系

A：=gA!

【判断正误】

1.从a”a2,a：,三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题.（V）

2.“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合.（X）

3.组合数霖=费.（V）

4.两个组合相同，则其对应的元素一定相同.（V）

【题型探究】

一、组合概念的理解

例1判断下列问题是组合问题还是排列问题：

（Da,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？

(2)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？

(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少

种不同的选法？

(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？

解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.

⑵冠、亚军是有顺序的，是排列问题.

(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.

(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.

反思感悟排列、组合辨析切入点

⑴组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(mWn)个不

同的元素即可.

(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组

入口・

(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与

顺序无关的是组合问题.

跟踪训练1判断下列问题是组合问题还是排列问题：

(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？

(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；

⑶从7本不同的书中取出5本给某个学生.

解(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲f乙和乙一甲的车票是不

同的，所以它是排列问题.

(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题.

(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考

虑书的顺序，故它是组合问题.

二、组合的个数问题

例2在A,B,C,D四位候选人中.

(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；

⑵如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；

(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数A：与组合数C：间的等量关

系吗？

解(1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有A：=12(种)选

法，所有可能的选举结果：AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,

DC.

⑵从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有C：=6(种)选法，所

有可能的选举结果：AB,AC,AD,BC,BD,CD.

⑶由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应由个排列，即&=C*.类比可

知，从n个不同元素选出m个元素的排列数A：与组合数C：间的等量关系为A：=

rmAra

反思感悟组合个数的求解策略

(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例

中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举

完毕.

Am

(2)公式法：利用排列数A：与组合数C：之间的关系(:=消求解.

Am

跟踪训练2从5个不同元素a,b,c,d,e中取出2个，共有多少种不同的

组合？请写出所有组合.

解先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出

来，如图所示：

abcdebcdecdede

由此可得所有的组合：ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,共有10

种.

三、简单的组合问题

例3有10名教师，其中6名男教师，4名女教师.

⑴现要从中选2名去参加会议，有种不同的选法；

(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有种不同的选法；

(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有种不同的选法.

答案⑴45(2)21(3)90

解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素

中取出2个元素的组合数,

即。4=用=45.

/12ZZN1

（2）可把问题分两类情况：

第1类，选出的2名是男教师有心种方法；

第2类，选出的2名是女教师有仁种方法.

根据分类加法计数原理，共有晨+瑶=3+工=岩+m=15+6=21（种）不

凡2人2Z/X1Z/X1

同的选法.

（3）从6名男教师中选2名的选法有《种，从4名女教师中选2名的选法有C；

种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法仁义a=t*[=*><拶=

ri2八2ZAiZA1

90（种）.

反思感悟利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方

法，借助排列数求组合数.

跟踪训练3一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.

⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解（1）从口袋内的8个球中取出3个球，

取法种数是森='==56.

八3晨OA晨ZA:i

⑵从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取

x2A?7X6

法种数无C=X1=2XT=2L

（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法

A,7X6X5

种数是C?=另—3X2X1=35.

【跟踪训练】

1.（多选）下面四组元素，是相同组合的是（）

A.a,b,c—b,c,aB.a,b,c—a,c,b

C.a,c,d-d,a,cD.a,b,c-a,b,d

答案ABC

2.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是（）

A.10B.5C.4D.1

答案B

解析组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方

法.

3.在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一（即13张牌）

组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为（）

A.4X13手B.13"手

C.您手D.僚手

答案D

解析本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得

到黑手不同的牌.

4.下列问题中，组合问题有,排列问题有.（填序号）

①从1,3,5,9中任取两个数相加,所得不同的和；

②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；

③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动.

答案①②③

解析①②为组合问题，③为排列问题.

5.已知a,b,c,d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为

答案ab,ac,ad,be,bd,cd

解析可按a-b-c-d顺序写出，即

abedbedcd

所以所有组合为ab,ac,ad,be,bd,cd.

【课堂小结】

1.知识清单：

⑴组合与组合数的定义.

⑵排列与组合的区别与联系.

（3）用列举法写组合.

2.方法归纳：枚举法.

3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.

【同步练习】

土基础巩固

1.（多选）给出下面几个问题，其中是组合问题的有（）

A.由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数

B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数

C.由1,2,3组成两位数的不同方法数

D.由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数

答案AB

2.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有（）

A.A；。种B.C：。种

C.种D.30种

答案B

解析三张票没区别，从10人中选3人，即

3.已知平面内A,B,C,D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶

点的所有三角形的个数为（）

A.3B.4C.12D.24

答案B

解析由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：AABC,AABD,AACD,

△BCD.

4.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在

一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为

（）

A.4B.8C.28D.64

答案c

A*28X7

解析由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建森=媪=笠7=

八2ZA.1

28（条）公路.

5.某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动

会，种子选手都必须在内，则不同的选法有（）

A.瑶种B.展种C.螃种D.C；种

答案C

解析只需再从其他7名队员中选3人，即值种选法.

6.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有种不同选法.

答案84

A3QXSX7

解析只需从9名学生中选出3名即可，从而有只=1=3X2X1=84（种）选

法.

7.若已知集合P={1,2,3,4},则集合P的子集中含有2个元素的子集数为

答案6

解析由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序

A24X3

无关，是组合问题，共有需=3=F=6（个）・

八2ZA1

8.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是

.（用数字作答）

答案10

A3X4X3

解析由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有心=消=沿。=

A3oAZA1

■（种）不同方法.

9.判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.

（1）10个人相互写一封信，一共写了多少封信？

（2）10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？

（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少

场？

（4）从10个人中选3人去开会，有多少种选法？

⑸从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？

解（1）是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为鼠=90.

（2）是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序

区别，组合数为斌=45.

出

⑶是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为。="

=45.

A3

⑷是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为。=色

=120.

⑸是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为鼠=

720.

10.平面内有10个点，其中任意3个点不共线.

⑴以其中任意2个点为端点的线段有多少条？

⑵以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？

（3）以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？

解（1）所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合数，共有Co

2

=攀A=与10£X=945（条），即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条.

⑵所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列数，共有睡

=10X9=90（条），即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条.

⑶所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C；°=

Aio10X9X8,人、

于1^77=120（个）.

g综合运用

11.（多选）下列问题是组合问题的有（）

A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次

B.平面上有2021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构

成多少条线段

C.集合｛a,a2,a3,…，aj中含有三个元素的子集有多少个

D.从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞

节目，有多少种选法

答案ABC

解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学

生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独

舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.

12.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有（）

A.60种B.36种C.10种D.6种

答案D

解析甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有琮=电=

6（种）不同的选法.

13.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比

例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）

A.224B.112C.56D.28

答案B

解析由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所

A2A'

以抽取2名女生和1名男生的方法数为配=禧•水=112.

14.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个

不同的数相除，有n个不同的商，则m：n=.

答案1：2

解析Vm=Con=A：,.*.m:n=l：2.

拓广探究

15.某区有7条南北向街道，5条东西向街道.（如图）

（1）图中有个矩形；

⑵从A点走向B点最短的走法有种.

答案（1）210（2）210

解析（1）在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4

A2A2

条线可组成一个矩形，故可组成矩形C”C上温­港=210（个）.

（2）每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最

短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向

也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的（剩下4

段即是走南北方向的），共有•C：岑•第210（种）走法.

16.某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行.

（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜

球数取前两名；

（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉

淘汰赛（每两队主客场各赛一场）决出胜者；

⑶决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.

问：全部赛程共需比赛多少场？

解（1）小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比

赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组

及

赛共要比赛2C；=2X/=3O（场）.

⑵半决赛中甲组第一名与乙组第二名（乙组第一名与甲组第二名）主客场各赛一

次，所以半决赛共要比赛2义2=4（场）.

⑶决赛只需比赛1场，即可决出胜负.

所以全部赛程共需比赛30+4+1=35（场）.

§6.2.1组合与组合数

（第2课时组合数公式）

【学习目标】

1.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式.

2.能运用组合数公式进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.

【知识梳理】

知识点一组合数公式

pn—1n—2…n—m+1

5-।，

乘积形式m!

组合数

其中m,n^N*,并且mWn

公式

n!

阶乘形式r_

"m!n—m!

规定：Cn=_l-

知识点二组合数的性质

性质1：c:=cr.

性质2：c:+1=c:+cr'.

【自我检测】

1「2019—

1.5020—•

答案2020

2.C；+C；=.

答案3

3.若C；=21,C：=15,则C='=.

答案6

4.方程Cg=C；,则乂=.

答案2或3

【题型探究】

一、组合数公式的应用

命题角度1化简与求值

例1—1求值：

⑴3点一2《；

Lnp3n

lt/21+n.

行,、38X7X65X4

解（1）3《一2窃2=3*寸穴77-2义？^7=148.

OAZA1ZA1

38—n^3n,

••・9・5Wn<10.5.

3n<21+n,

•/nd/.n=10,

•p38—n|p3n「28|030p2|plA/?/?

・3nIV21+n—1/30It/31—U30I—400.

命题角度2与组合数有关的证明

例1-2证明：mC：=nC：Z：.

n•n-1!

m—1!n—m

命题角度3与组合数有关的方程或不等式

例1-3(1)(多选)若C：＞C：,则n的可能取值有()

A.6B.7C.8D.9

答案ABCD

解析由C：>C：得

n!____________n!

4!n—4!>6!n—6!n2-9n-10<0,

n26

n»6

-l<n<10,

〜又neN*,则n=6,7,8,9.

n^6,

...该不等式的解集为{6,7,8,9}.

117

(2)已知•求Cs+crm.

C™C厂IOC；'

解.•正一百=武,

.m!5—m!m!6—m!IX7—m!m!

5!6!10X7!

,m!5—m!m!6—m5—m!

即nr一----------------西---------

7Xm!7-m6—m5—m!

10X7X6X5!，

.6-m7—m6—m

-6=60'

即m"—23m+42=0,

解得m=2或m=21.

•.•0WmW5,m£N*,/.m=2,

.•.a+C『=C什以=C；=84.

反思感悟(1)组合数公式---------j------般用于计

m!

nI

算，而组合数公式琮=1——：——j-一般用于含字母的式子的化简与证明.

⑵要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数(:的隐含条件为

mWn,且m,nW.

(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：

①C：=C「m；②C：+i=C；+C7)

跟踪训练1⑴计算：端+嚼;

⑵证明：除占3.

100X99

⑴解c需+C黑=C，+C；w=—厂一+200

=4950+200=5150.

⑵证明甘:一尸nn—1!

n—mm!n-1—m

___________n_!_________________z>m

m!In-m।!

二、有限制条件的组合问题

例2课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一

名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)至少有一名队长当选；

（2）至多有两名女生当选；

⑶既要有队长，又要有女生当选.

解⑴爆一%=825（种）.

⑵至多有2名女生当选含有三类：

有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，

所以共有C修+C；有+瑶=966（种）选法.

⑶分两类：

第一类女队长当选，有C%=495（种）选法，

第二类女队长没当选，有C；C；+C：C；+C；C；+C；=295（种）选法，

所以共有495+295=790（种）选法.

反思感悟有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类

（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不

含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.

（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要

注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.

跟踪训练2某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可

以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；（2）任选

一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有（）

A.210种B.420种C.56种D.22种

答案A

解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天

不同午餐的搭配方法共有C七+Ct=210（种）.

三、分组、分配问题

命题角度1平均分组

例3—1（1）6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？

（2）6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？

解（1）先从6本书中选2本给甲，有废种方法；再从其余的4本中选2本给

乙，有第种方法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种方法，所以分给

甲、乙、丙三人，每人2本，共有CQC；=90（种）方法.

⑵分给甲、乙、丙三人，每人两本，有CHC；种方法，这个过程可以分两步完

成：第一步，分为三份，每份两本，设有X种方法；第二步，再将这三份分给

甲、乙、丙三名同学，有用种方法.根据分步乘法计数原理，可得C；C：C；=

555

xAt所以=15.因此分为三份，每份两本，一共有15种方法.

命题角度2不平均分组

例3—2（1）6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多

少种方法？

（2）6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有

多少种不同的方法？

解（1）这是“不平均分组”问题，一共有C&C；=60（种）方法.

（2）在（1）的基础上再进行全排列，所以一共有C；GC波=360（种）方法.

命题角度3分配问题

例3—36本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同

的方法？

解可以分为三类情况:①“2,2,2型”，有点C冠=90（种）方法；②“1,2,3

型”，有C&C掳=360（种）方法；③“1,1,4型”，有C氏=90（种）方法，所

以一共有90+360+90=540（种）方法.

反思感悟“分组”与“分配”问题的解法

⑴分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：

①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n!；

②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n!；

③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.

⑵分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后

再分配.

跟踪训练3将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3.4的盒子

（1）有多少种放法？

⑵每盒至多1个球，有多少种放法?

（3）恰好有1个空盒，有多少种放法?

（4）每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种

放法？

（5）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？

解（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒

子，共有4X4X4X4=4'=256（种）放法.

（2）这是全排列问题，共有川=24（种）放法.

⑶方法一先将4个小球分为3组，有太种方法，再将3组小球投入4个

盒子中的3个盒子，有A；种投放方法，故共有埠」•A：=144（种）放法.

方法二先取4个球中的2个“捆”在一起，有C：种选法，把它与其他2个球

共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A：种投放方法，所以共有CA：

=144（种）放法.

（4）1个球的编号与盒子编号相同的选法有C；种，当1个球与1个盒子的编号相

同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有2=8（种）

放法.

（5）先从4个盒子中选出3个盒子，再从3个盒子中选出1个盒子放入2个球，

余下2个盒子各放1个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故

共有C：C；=12（种）放法.

核心素养之数学抽象与数学运算---------------

与几何有关的组合应用题

典例如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A,B的六个点C“Cz，…,

Cf）,线段AB上有异于A,B的四个点D”九，D：“

（1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含G点的有多少

个？

⑵以图中的12个点（包括A,B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？

解（1）方法一可作出三角形C；+C；•《+《•（1；=116（个）.

其中以G为顶点的三角形有a+C；•C；+C：=36（个）.

方法二可作三角形C；。一《=116（个），

其中以G为顶点的三角形有d+C|•C；+C：=36（个）.

（2）可作出四边形C：+C；・C；+C：•《=360（个）.

［素养提升］（1）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、

异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法.

（2）把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及

数学运算的核心素养.

【跟踪训练】

1.己+容的值为（）

A.72B.36C.30D.42

答案B

解析以+森=C；+C；

6X57X6

2X1+2X115+21=36.

2.若C：=28,则n的值为（）

A.9B.8C.7D.6

答案B

解析因为C：=28,所以gn（n—1）=28,又n£N*,所以n=8.

3.若吊=6C：,则m等于（）

A.9B.8C.7D.6

答案C

解析由已知得m（m—1）血-2）=6*3^—『~~曰一，解得m=

7,故选C.

4.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修

3门，则不同的选修方案的种数为.

答案96

解析从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共

有比・《・容=96（种）.

5.有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医

疗小组，则不同的选法共有种.

答案18

解析从4名男医生中选2人，有C：种选法，从3名女医生中选1人，有C；种

选法，由分步乘法计数原理知，所求选法种数为C：C；=18.

【课堂小结】

1.知识清单：

⑴涉及具体数字的可以直接用公式F

Amm!

计算.

n1

⑵涉及字母的可以用阶乘式c：=j——:——「计算.

m!n-m!

⑶计算时应注意利用组合数的性质c;=c「m简化运算.

⑷分组分配问题.

2.方法归纳：分类讨论、正难则反、方程思想.

3.常见误区：分组分配中是否为“平均分组”.

【同步练习】

g基础巩固

I.计算:c；+c；+c；等于（）

A.120B.240C.60D.480

答案A

.皿,.3.27X8,6X7X8,8X9

解析c：+d+d=TG7+7-.+^-7=120.

ZA1oQAVZAviZA1

2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天

两人，则不同的选派方法共有（）

A.60种B.48种C.30种D.10种

答案C

解析从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有猿种方法，再从剩

下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有《种方法，由分步乘法计数原

理可得不同的选派方法共有CM窃=30（种），故选C.

3.（多选）下列等式正确的有（）

A./5-iin_—______；_______________B.C：=C「

m!n-m

r,„m+1+1「m___pm+1

c.Ln口|]Ln+1D・5—Vn+1

答案ABC

解析A是组合数公式；B是组合数性质；由陪€黑；=陪

n+1।

X—TV—1——：——1=C：得C正确；D错误.

m+1!n-m!

4.200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有

（）

A.端•《种B.C跣7+C%种

C.C200—C：97种D.Coo—C；C：97种

答案B

解析至少2件次品包含两类：（1）2件次品，3件正品，共CC：97种抽法，（2）3

件次品，2件正品，共窃。7种抽法，由分类加法计数原理得，抽法共有C；C：9?+

C：%种.

5.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无

四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（）

A.205B.110C.204D.200

答案A

解析方法一可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，

则得到所有的取法总数为CE+C%+Cg+C.黑=205.

方法二从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点

的情况，得到所有构成四面体的个数为C；0-O205.

6.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方

案有种.

答案36

解析把4名学生分成3组有C；种方法，再把3组学生分配到3所学校有A；种

方法，故共有C混=36（种）保送方案.

7.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台

阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是.（用数字作答）

答案336

解析当每个台阶上各站1人时有C渥种站法；当两个人站在同一个台阶上时

有C窕;C；种站法.因此不同的站法种数为C?Aa+C3C7C6=210+126=336.

8.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中

甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有—

种.

答案600

解析可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C；・A；=240（种）选法；

②甲、丙同不去，有屋=360（种）选法，所以共有600种不同的选派方案.

9.已知C：,C：,C：成等差数列，求的值.

解由已知得2C：=C：+C：,

cn!n!,n!

所以2X5~!―一~=Tl――F+61―一厂，

整理得n2—21n+98=0,

解得n=7或n=14,

要求C『的值，故n212,所以n=14,

十口72%14X13…

于走CM=CM=g-=91.

ZAi

10.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译

工作（其中有1名青年两项工作都能胜任）.现在要从中挑选5名青年承担一项

任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同

的选法？

解可以分三类：

第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C港种选法；

第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有种选法；

第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有Ce种选法.

根据分类加法计数原理，一共有（X+C：C；+（X=42（种）不同的选法.

g综合运用

11.若C3—C：=C：,则n等于（）

A.12B.13C.14D.15

答案C

解析因为c3—C：=C：,即析+产C：+C：=OH，所以n+l=7+8,即n