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文档简介

向量的有关知识：两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉两向量夹角公式：cos〈a,b〉=直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量空间“夹角”问题1.异面直线所成角lmlm若两直线所成的角为,

则例1解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：

所以：所以与所成角的余弦值为练习：在长方体中，二面角的平面角①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为其中ABDCLBA注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角L

将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量，则二面角的大小＝〈〉

若二面角的大小为,

则②法向量法二面角的平面角例2正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。CADBC1B1A1

解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则C(0,0,0)故则可设=1，，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，则〈〉即为二面角的大小在中，即E分有向线段的比为由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FE解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz

在坐标平面yoz中

设面的一个法向量为同法一，可求B(0,1,0)∴可取＝(1,0,0)为面的法向量

∴yxzCADBC1B1A1由得解得

所以，可取

二面角的大小等于〈〉

∴∴cos〈〉=

即二面角的余弦值为

方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角ABn2.线面角设n为平面的法向量，直线AB与平面所成的角为，向量与n所成的角为，则n而利用可求，从而再求出2.线面角l设直线l的方向向量为，平面的法向量为，且直线与平面所成的角为(),则总结归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为

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