2023-2024学年天津市和平区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年天津市和平区七年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.3−8的相反数是A.−2 B.2 C.±2 D.−2.下列实数中，比3大的有理数是(

)A.|−3| B.π C.10 D.3.下列调查中，调查方式选择合理的是(

)A.为了解市民对“天津时调”的喜爱程度，小强在某校随机采访了8名七年级学

B.为了解天津市青少年儿童的睡眠时间，采用普查的方式

C.为了解神舟十八号飞船的设备零件的质量情况，采用抽样调查的方式

D.了解海河水质，采用抽样调查的方式4.下列式子正确的是(

)A.3−7=−37 B.±495.若点P(a−1,a+2)在x轴上，则点Q(a−3,a+1)所在象限是(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.如图，现有一把直尺和一块自制三角形纸片ABC，其中∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点A对应直尺的刻度为7.将该三角形纸片沿着直尺边缘平移，使得三角形ABC移动到三角形A′B′C′的位置，点A′对应直尺的刻度为1，连接CC′，则四边形BCC′B′的面积是(

)A.12 B.18 C.24 D.367.下列命题是真命题的是(

)A.两直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直

B.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离

C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

D.在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直8.有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是(

)A.−5a<−3a B.a+c<b+c C.ac2>b9.一种苹果的进价是每千克1.9元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，为了避免亏本，商家所定售价至少为每千克(

)A.3019元 B.1.805元 C.2元 D.2.110.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图中的(1)(2).图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图(1)所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是3x+2y=19x+4y=23在图(2)所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图(2)所表示的方程组中x的值为5，则被墨水所覆盖的图形是(

)A. B. C. D.11.如图，同学们将平行于凸透镜主光轴(图中虚线表示主光轴)的红光AB和紫光CD射入同一个凸透镜，折射光线BM，DN交于点O，与主光轴分别交于点F1，F2，由此发现凸透镜的焦点略有偏差.若∠ABM=160°，∠CDN=155°，则∠F1OA.155° B.150° C.145° D.135°12.已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=−a+1x−3y=4a+6(a是常数)，若不论a取什么实数，代数式kx−y(k是常数)的值始终不变，则k的值为(

)A.−1 B.−2 C.1 D.2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13.若1<a<2，则整数a的值可以是______.(写出一个值即可14.为了解2024届本科生的就业状况，今年3月，某网站对2024届本科生的签约状况进行了网络调查.截止4月底，参与网络调查的8500人中，只有3000人已与用人单位签约.在这项网络调查中，样本容量是______．15.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，OE⊥OF，若∠BOD+∠AOF=121°，则∠BOE=______(度)．

16.在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=−2；当x=−1时，y=20；当x=2时，y=5，则a=______，b=______，c=17.已知关于x的不等式组x≥−4x<m．

(Ⅰ)若m=2，则该不等式组的最大整数解为______；

(Ⅱ)若该不等式组的所有整数解的和为−9，则m的取值范围是______．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，∠ABC=45°，AC与DE相交于点F．

(Ⅰ)请用无刻度的直尺，过点C画一条与DE平行的线段CP(点P在格点上)，不写画法；

(Ⅱ)请用无刻度的直尺，在线段AB上找一点M，使∠AMF=45°，并简要说明点M的位置是如何找到的(不要求证明)______．

三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题7分)

解方程组3(x−y)2+20.(本小题8分)

解不等式组x−3(x−2)≤4①4x−1≤x+8②．

请结合题意填空，完成本题的解答．

(Ⅰ)解不等式①，得______；

(Ⅱ)解不等式②，得______；

(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(Ⅳ)原不等式组的解集为______．21.(本小题7分)

6月2日，2024年天津市六五环境日主场宣传活动隆重举行.某校为了培养学生的环保意识，组织全校1000名学生进行了“世界环境日知识竞赛”.教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩(满分100分，每名学生的成绩记为x分)分成A，B，C，D四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图.根据图中信息，解答下列问题：分组频数A：60≤x≤70aB：70≤x<8018C：80≤x<9024D：90≤x≤100b

(Ⅰ)n的值为______，a的值为______，b的值为______；

(Ⅱ)请补全频数分布直方图，写出扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为______(度)；

(Ⅲ)若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生有多少名？22.(本小题8分)

(Ⅰ)已知：如图1，点C，D在直线AB上，∠ACE+∠BDF=180°.求证：CE/​/DF；

(Ⅱ)如图2，EF/​/AB，在(Ⅰ)的条件下，∠DFE的角平分线FG交AB于点G，过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点M．

①若∠CMF=57°，求∠CDF的度数．

②若∠CMF=α，则∠CDF=______(用α表示)．23.(本小题8分)

某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式，常规方式：不购买会员证，每次游泳付费n元；针对学生推出购买会员证的优惠方式：先购买会员证，每张会员证m元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费在n元的基础上打七折.小明购买了会员证，他游泳10次时，共花了190元；小明的三个好朋友也购买了会员证，三个人共游泳15次时，共花了465元．

(Ⅰ)求m，n的值；

(Ⅱ)这个暑假，小明计划游泳不少于25次，他选择哪种付费方式更合算？写出计算过程；

(Ⅲ)小强班里有一部分同学以购买会员证的方式来这家游泳馆游泳.一周后，小强统计，这些同学购买会员证和凭证游泳共花了2400元，请你算一算：这些同学可能有多少名？24.(本小题10分)

已知关于x，y的方程组x+y=2+ax−y=3a−6．

(Ⅰ)当x，y互为相反数时，a=______；

(Ⅱ)已知5<x+3y<8，求a的取值范围；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若a为整数，求使x，y为自然数的a的值．25.(本小题10分)

如图1，点M(0,m)，N(n,0)，且满足(n−m+5)2+2−m=0．

(Ⅰ)直接写出点M，点N的坐标：M______，N______；

(Ⅱ)点P以每秒2个单位长度的速度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒．

①如图1，当t=1.5时，直线NP，MQ交于第四象限的点D，已知点D的横坐标是3，求点D的纵坐标；

②如图2，当∠QMN+∠PNM=180°时，在线段MQ上任取一点E，连接EO.点G为∠OEQ的角平分线上一点，且满足∠GNP=12∠ONG.请将图补全，直接写出∠NOE答案解析1.【答案】B

【解析】解：3−8=−2，−2的相反数是2，即3−8的相反数是2，

故选：B．

2.【答案】D

【解析】解：π，10是无限不循环小数，那么它们不是有理数，则B，C不符合题意；

|−3|=3，它是有理数但不大于3，则A不符合题意；

113>3，它是有理数且比3大，则D符合题意；

故选：D．

3.【答案】D

【解析】解：A、为了解市民对“天津时调”的喜爱程度，调查的样本不具有代表性，本选项不符合题意；

B、为了解天津市青少年儿童的睡眠时间，应采用抽样调查的方式，本选项不符合题意；

C、为了解神舟十八号飞船的设备零件的质量情况，应采取全面调查的方式，本选项不符合题意；

D、了解海河水质，采用抽样调查的方式，本选项符合题意；

故选：D．

全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度，由此逐项判断即可解答．

本题考查了全面调查与抽样调查的区别：全面调查收集全面、广泛、可靠的资料，但调查费用较高，时间延续较长；抽样调查所需成本和时间较少，比较经济，掌握全面调查与抽样调查的区别是解题的关键．4.【答案】A

【解析】解：A、3−7=−37，故A正确；

B、±49=±7，故B错误；

C、25=5，故C错误；

D、(−3)5.【答案】C

【解析】解：∵点P(a−1,a+2)在x轴上，

∴a+2=0，

∴a=−2，

∴a−3=−5，a+1=−1，

∴点Q(a−3,a+1)所在象限是第三象限．

故选：C．

根据点P(a−1,a+2)在x轴上，得出a+2=0，进而得出a的值，即可得出答案．

本题主要考查点的坐标，解题的关键是求出a的值．6.【答案】C

【解析】解：∵点A对应直尺的刻度为7，点A′对应直尺的刻度为1，

∴AA′=6，

∴BB′=6，

由平移的性质可知：BC/​/B′C′，BC=B′C′，

∴四边形BCC′B′为平行四边形，

∵∠ABC=90°，

∴平行四边形BCC′B′为矩形，

∴四边形BCC′B′的面积为：4×6=24，

故选：C．

先根据题意求出AA′，进而求出BB′，再根据平移的性质得到四边形BCC′B′为矩形，根据矩形的面积公式计算即可．

本题主要考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．7.【答案】A

【解析】解：A、两直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直，是真命题，符合题意；

B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意；

C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；

D、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项命题是假命题，不符合题意；

故选：A．

根据对顶角、垂直的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质判断．

本题主要考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8.【答案】B

【解析】解：由图可知，a<c<0<b，

A、∵−5<−3，a<0，

∴−5a>−3a，

故本选项不符合题意；

B、∵a<b，

∴a+c<b+c，

故本项符合题意；

C、∵a<b，c2>0，

∴ac2<bc2，

故本项不符合题意；

D、∵c<0，

∴−c>0，

∴b−c>b，

故本项不符合题意．

故选：B．

根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后根据不等式的性质解答．

9.【答案】C

【解析】解：设商家所定售价为x元/千克，共购进a千克该种苹果，

根据题意得：(1−5%)ax−1.9a≥0，

解得：x≥2，

∴x的最小值为2，

∴商家所定售价至少为2元/千克．

故选：C．

设商家所定售价为x元/千克，共购进a千克该种苹果，利用利润=销售单价×销售数量−进货单价×购进数量，结合不亏本，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．10.【答案】D

【解析】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，

2x+y=124x+ay=28，

把x=5代入，得10+y=1220+ay=28，

解得a=4y=2，

∴a=4．

故选：D．

设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x=5代入，求得a11.【答案】D

【解析】解：如图，连接BD，

∵AB/​/CD，

∴∠ABD+∠CDB=180°，

∵∠ABM=160°，∠CDN=155°，

∴∠ABD+∠OBD+∠CDB+∠ODB=∠ABM+∠CDN=315°，

∴∠OBD+∠ODB=315°−180°=135°，

∴∠F1OF2=∠OBD+∠ODB=135°，

故选：D．

根据“两直线平行，同旁内角互补”求出∠ABD+∠CDB=180°12.【答案】A

【解析】解：关于x，y的二元一次方程组x+2y=−a+1①x−3y=4a+6②，

①×4+②可得5x+5y=10，

即−x−y=−1，

故k的值为−1，

故选：A．

将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论．

13.【答案】3(答案不唯一)

【解析】解：∵1<3<2，

∴整数a的值可以是3，

故答案为：3(答案不唯一)．

14.【答案】8500

【解析】解：为了解2024届本科生的就业状况，今年3月，某网站对2024届本科生的签约状况进行了网络调查．截止4月底，参与网络调查的8500人中，只有3000人已与用人单位签约．在这项网络调查中，样本容量是8500，

故答案为：8500．

根据总体、个体、样本、样本容量的意义，即可解答．

本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．15.【答案】149

【解析】解：∵OE平分∠AOC，∠AOC=∠BOD，

∴∠AOE=12∠BOD，

∵OE⊥OF，

∴∠AOE+∠AOF=90°，即90°−∠AOF=12∠BOD，

∵∠BOD+∠AOF=121°，

∴∠AOF=59°，∠BOD=62°，

∴∠AOE=31°，

∴∠BOE=180°−∠AOE=149°，

故答案为：149．

因为OE平分∠AOC，∠AOC=∠BOD，可得∠AOE=12∠BOD，因为OE⊥OF，可得90°−∠AOF=12∠BOD，已知∠BOD+∠AOF=121°，可得16.【答案】8

−11

1

【解析】解：由题意得：a+b+c=−2①a−b+c=20②4a+2b+c=5③，

①−②得：2b=−22，

解得：b=−11，

③−②得：3a+3b=−15，

即a+b=−3，

a−11=−3，

解得：a=8，

把a=8，b=−11代入①得：8−11+c=−2，

解得：c=1，

∴原方程组的解为：a=8b=−11c=1，

故答案为：8；−11；1．

根据题意可得：17.【答案】1

−4<m≤1

【解析】解：(Ⅰ)m=2时，不等式组的解集为−4≤m<2，

∴最大整数解为1．

故答案为：1．

(Ⅱ)∵该不等式组的所有整数解的和为−9，

∴这些整数为−4，−3，−2或−4，−3，−2，−1，0，1，

∴m的取值范围是−4<m≤1．

故答案为：−4<m≤1．

(Ⅰ)求出不等式组的解集，求出最大整数解即可；

(Ⅱ)根据题意构建不等式组即可．

本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】取格点T，连接ET交AB于点M，由△AEM∽△BTM，推出AM：MB=AE：BM=2：3，由△DCF∽△AEF，推出AF：FC=AE：DC=2：3，推出AF：FC=AM：MB，推出FM/​/BC，可得结论

【解析】解：(Ⅰ)如图，线段CP即为所求；

(Ⅱ)如图，点M即为所求．

方法：取格点T，连接ET交AB于点M，由△AEM∽△BTM，推出AM：MB=AE：BM=2：3，由△DCF∽△AEF，推出AF：FC=AE：DC=2：3，推出AF：FC=AM：MB，推出FM/​/BC，可得结论．

故答案为：取格点T，连接ET交AB于点M，由△AEM∽△BTM，推出AM：MB=AE：BM=2：3，由△DCF∽△AEF，推出AF：FC=AE：DC=2：3，推出AF：FC=AM：MB，推出FM/​/BC，可得结论．

(Ⅰ)根据平行线的判定作出图形；

(Ⅱ)取格点T，连接ET交AB于点M，点M即为所求．

本题考查作图−复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19.【答案】解：3(x−y)2+y4=1①2(x+2y)=5(x+y)+5②，

由①，可得6x−5y=4③，

由②，可得3x+y=−5④，

①+②×5，可得21x=−21，

解得x=−1，

把x=−1代入③，可得：6×(−1)−5y=4，

解得y=−2，【解析】应用加减消元法，求出方程组的解即可．

此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．20.【答案】x≥1

x≤3

1≤x≤3

【解析】解：(Ⅰ)解不等式①：去括号得x−3x+6≤4，

移项、合并同类项得−2x≤−2，

解得x≥1．

故答案为：x≥1．

(Ⅱ)解不等式②：移项得4x−x≤8+1，

合并同类项得3x≤9，

解得x≤3．

故答案为：x≤3．

(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示．

(Ⅳ)原不等式组的解集为1≤x≤3．

故答案为：1≤x≤3．

(Ⅰ)根据不等式的解法计算即可．

(Ⅱ)根据不等式的解法计算即可．

(Ⅲ)根据不等式①和②的解集直接在数轴上表示即可．

(Ⅳ)根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】60

6

12

144

【解析】解：(Ⅰ)由题意得，n=18÷30%=60，

a=60×10%=6，

b=60−6−18−24=12．

故答案为：60；6；12．

(Ⅱ)补全频数分布直方图如图所示．

扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为360°×2460=144°．

故答案为：144．

(Ⅲ)1000×24+1260=600(名)．

∴估算全校竞赛成绩达到优秀的学生约有600名．

(Ⅰ)用表格中B：70≤x<80的频数除以扇形统计图中B的百分比可得n的值，用n的值乘以扇形统计图中A的百分比可得a的值，用n的值分别减去A，B，C组的频数可得b的值．

(Ⅱ)根据(1)所求数据补全频数分布直方图即可；用360°乘以C组的频数所占的百分比，即可得出答案．

(Ⅲ)根据用样本估计总体，用1000乘以样本中C，D组的频数所占的百分比，即可得出答案．

本题考查频数(率)22.【答案】2α

【解析】(Ⅰ)证明：∵∠ACE+∠BDF=180°，∠ACE+∠BCE=180°，

∴∠BCE=∠BDF，

∴CE/​/DF；

(Ⅱ)解：①∵CE//DF，

∴∠CMF+∠DFM=180°，

∵∠CMF=57°，

∴∠DFM=123°，

∵FM⊥FG，

∴∠GFM=90°，

∴∠DFG=∠DFM−∠GFM=123°−90°=33°，

∵FG是∠DFE的角平分线，

∴∠DFE=2∠DFG=66°，

∵EF//AB，

∴∠CDF+∠DFE=180°，

∴∠CDF=114°；

②：∵CE/​/DF，

∴∠CMF+∠DFM=180°，

∵∠CMF=α，

∴∠DFM=180°−α，

∵FM⊥FG，

∴∠GFM=90°，

∴∠DFG=∠DFM−∠GFM=180°−α−90°=90°−α，

∵FG是∠DFE的角平分线，

∴∠DFE=2∠DFG=180°−2α，

∵EF//AB，

∴∠CDF+∠DFE=180°，

∴∠CDF=180°−(180°−2α)=2α，

故答案为：2α；

(Ⅰ)结合邻补角定义求出∠BCE=∠BDF，根据“同位角相等，两直线平行”即可得证；

(Ⅱ)①根据两直线平行，同旁内角互补得到∠DFM=123°，进而得到∠DFG=33°，再根据角平分线的定义，得到∠DFE=2∠DFG=66°，最后利用平行线的性质，即可求出∠CDF的度数；

②同①求解即可．

本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．23.【答案】解：(Ⅰ)根据题意可得：m+0.7n×10=1903m+0.7n×15=465，

解得：m=120，n=10．

(Ⅱ)解：设游泳x次．

不购买会员卡：10x元．

购买会员卡：120+10×0.7x=120+7x(元)．

当两种付费方式价格相等时：10x=120+7x．

解得：x=40．

答：当游泳40次的时候，两种付费方式价格相等．

当购买会员卡的总价格大于不购买会员卡时的总价格时：

120+7x>10x

解得：x<40

当购买会员卡的总价格小于不购买会员卡时的总价格时：

120+7x<10x，

解得：x>40．

由此可知：当25次≤游泳次数<40次时，选择不办会员卡的付费方式更合算；

当游泳次数=40次时，选择两种付费方式都合算；

当游泳次数>40次时，选择办会员卡的付费方式更合算．

(Ⅲ)解：设这些同学有y名，他们一周一共游泳了z次．

120y+0.7×10z=2400；

即120y+7z=2400；

y=20−7120z；

因为y和z都是正整数，所以y=13，z=120或y=6，z=240．

答：这些同学可能有13【解析】(Ⅰ)根据题意：小明购买了会员证，他游泳10次时，共花了190元，可以列出方程：m+0.7n×10=190；根据题意：小明的三个好朋友也购买了会员证，三个人共游泳15次时，共花了465元，可以列出方程：3m+0.7n×15=465；解这个方程组即可得出m和n的值．

(Ⅱ)设游泳x次．

不购买会员卡：10x元；

购买会员卡：120+10×0.7x=120+7x(元)．

然后分三种情况解答即可．

(Ⅲ)设这些同学有y名，他们一周一共游泳了z次．

列出不定方程：120y+0.7×10z=2400，再找y和z的值即可．

这道题考查