备考2025届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1.[2024江苏无锡市第一中学校考]已知点M（x0，y0）在圆x2＋y2＝2外，则直线x0x+y0yA.相切 B.相交 C.相离 D.不确定解析因为点M（x0，y0）为圆x2＋y2＝2外一点，所以x02＋y02＞2，又圆x2＋y2＝2的圆心为（0，0），半径r＝2，所以圆心（0，0）到直线x0x＋y0y＝2的距离d＝｜0+0－2｜x02＋y02<222.[2024广东百校联考]若直线l：kx－y＋2－k＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0交于A，B两点，则当△ABC的周长最小时，k＝（C）A.12 B.－12 C.1 D.解析直线l恒过点D（1，2），圆心C（2，1），点D在圆内，当CD⊥l时，｜AB｜最小，△ABC的周长最小，由C（2，1），D（1，2），易得kCD＝－1，所以k＝1，故选C.3.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置关系是（B）A.内切 B.相交 C.外切 D.相离解析由题知圆M：x2＋（y－a）2＝a2（a＞0），圆心（0，a）到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M与圆N的圆心距｜MN｜4.[2024福建漳州质检]已知A，B分别为x轴，y轴上的动点，若以AB为直径的圆与直线2x＋y－4＝0相切，则该圆面积的最小值为（C）A.π5 B.2π5 C.4解析设O为坐标原点，以AB为直径的圆为圆C，与直线2x＋y－4＝0相切于点D，点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，d＝45，圆C的半径为r，则2r＝｜CO｜＋｜CD｜≥d，即r≥25，当且仅当O，C，D三点共线时取等号，故圆C的面积S＝πr2≥5.[2024河北石家庄质检]“a≥22”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2:x－a2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析记圆C1、圆C2的半径分别为r1，r2，由题意可知C1（0，0），r1＝2，C2a,-a，r2＝1，当且仅当圆C1和圆C2内含时，两圆没有公切线，即圆C1和圆C2有公切线的充要条件为｜C1C2｜≥r1－r2＝2－1＝1，即2a2≥1，解得a≤－22或a≥22.因为“a≥22”是“a≤－22或a≥22”的充分不必要条件，所以“a≥22”6.[2024河南省适应性测试]过圆x2＋y2＝4上的一点作圆x2＋y2＝1的两条切线，则连接两切点的线段长为（D）A.2 B.1 C.32 D.解析如图，记P是圆x2＋y2＝4上任一点，过P作圆x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，连接OA，OB，AB，OP，则OA⊥AP.可得｜OA｜＝1，｜OP｜＝2，在Rt△OAP中，cos∠AOP＝12，∴∠AOP＝60°，∴∠AOB＝2∠AOP＝120°，又｜OA｜＝｜OB｜＝1，∴｜AB｜＝37.已知圆C：x2＋y2＋4x＋1＝0，过圆外一点P作圆C的切线，切点为A.若｜PA｜＝2｜PO｜（O为坐标原点），则｜PC｜的最小值为（D）A.4 B.4－2C.4－3 D.4－5解析圆C：x2＋y2＋4x＋1＝0的标准方程为（x＋2）2＋y2＝3，则圆C的圆心为C（－2，0），半径为3.如图，连接AC，因为PA是圆C的切线，切点为A，所以PA⊥AC，所以PC2-PA2=3，又｜PA｜＝2设P（x，y），则（x＋2）2＋y2－2（x2＋y2）＝3，整理得x2＋y2－4x＝1，即（x－2）2＋y2＝5，可知点P在以M（2，0）为圆心，5为半径的圆上，所以｜PC｜的最小值为｜CM｜－5＝4－5，故选D.8.[多选/2024吉林长春模拟]已知两个圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和C2：x－a2+y2=A.－2 B.0 C.1 D.2解析因为x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，所以（x－1）2＋（y＋2）2＝1，所以圆C1的圆心为C1（1，－2），半径r1＝1，且圆C2的圆心为C2（a，0），半径r2＝2.因为两圆相交，所以｜r1－r2｜＜｜C1C2｜＜｜r1＋r2｜，即1＜（a－1）2解得1－5＜a＜1＋5，结合选项可知，符合条件的为B，C，D.9.[开放创新]写出与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的一个圆的方程：（x－1）2＋（y＋1）2＝2（答案不唯一）.解析x2＋y2＋2x－2y＝0可化为（x＋1）2＋（y－1）2＝（2）2，所以与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的圆的圆心可以在直线y＝－x上，直线y＝－x与圆x2+y2+2x-2y=0的交点为O（0，0），P（－2，2），直线y＝－x与直线x－y－4＝0的交点为A（2，－2）.若所求的圆与直线x－y－4＝0相切，与圆x2＋y2＋2x－2y＝0外切，则圆心坐标为（1，－1），半径为2，此时圆的方程为（x－1）10.已知直线l：x－y＋2＝0，圆C：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0.（1）求证：直线l与圆C相交；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求以弦AB为直径的圆的方程.解析（1）由x2＋y2+2x+2y－2=0，解得x＝－3或x＝－1，所以y＝－1或y＝1，所以交点坐标为（－3，－1），（－1，1），所以直线l与圆C相交.（2）由（1）知线段AB的中点坐标为（－2，0），｜AB｜＝[－3－（－1所以以弦AB为直径的圆的方程为（x＋2）2＋y2＝2.11.已知A，B是圆C：（x－3）2＋（y－1）2＝9上的两个动点，且｜AB｜＝25，若P0，－3，则点P到直线AB距离的最大值为（A.2 B.3 C.4 D.7解析圆C：（x－3）2＋（y－1）2＝9的圆心C（3，1），半径r＝3，则｜PC｜＝（3－设P，C到直线AB的距离分别为d1，d2，因为｜AB｜＝2r2－d22＝29－d22如图，分别过P，C作PN⊥AB，CM⊥AB，垂足分别为N，M，过C作CD⊥PN，垂足为D，明显当P，C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，则d1＝｜PD｜＋｜DN｜＝|PC|2-|CD|2+d2=25－|CD|2+2≤7，当且仅当｜CD｜12.[全国卷Ⅰ]已知☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA，PB，切点为A，B，当｜PM｜·｜AB｜最小时，直线AB的方程为（D）A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0解析由☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，得☉M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，所以圆心M（1，1）.如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为12｜PM｜·｜AB｜，欲使｜PM｜·｜AB｜最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.因为｜AM｜＝2，所以只需｜PA｜最小.又｜PA｜＝｜PM｜2所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为｜2+1+2｜5＝5，此时PM易求出此时直线PM的方程为x－2y＋1＝0.由2x＋y+2=0，x－2y+1=0，易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋（y－12）2＝（52）2，即x2＋y2－y－1＝0①－②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.13.[2024安徽新安中学校考]已知点M（1，0），N（1，3），圆C：x2＋y2＝1，直线l过点N.（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；（2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值.解析（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝1，此时直线l与圆C相切，故x＝1符合条件；若直线l的斜率存在，设其方程为y＝k（x－1）＋3，即kx－y－k＋3＝0，由直线l与圆C相切，圆心（0，0）到l的距离为1，得｜－k+3｜k2+1＝所以直线l的方程为y＝43（x－1）＋3，即4x－3y＋5＝综上所述，直线l的方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.（2）由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，此时设l的方程为kx－y－k＋3＝0，由kx－y－k+3=0，x2＋y2=1，得（1＋k2）x2－（2k2－6k则Δ＝（2k2－6k）2－4（1＋k2）（k2－6k＋8）＝24k－32＞0，解得k＞43设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝2k2－6kk2+1，x1所以k1＋k2＝y1x1－1＋y2x2－1＝k（x1－1将（*）代入上式整理得k1＋k2＝2k＋－18k－6故k1＋k2为定值－2314.[2024江西广丰中学校考]已知圆H：x2＋（y－3）2＝10，点B（1，0）与C（3，2）为圆H上两点.（1）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；（2）对于线段BH上的随意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围.解析（1）由圆H：x2＋（y－3）2＝10，可得圆心H（0，3），半径r＝10.因为过点C的直线l被圆H截得的弦长为2，则圆心H到l的距离d＝（10）2当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝3，满意题意.当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x－3）＋2，即kx－y－3k＋2＝0，则d＝｜－3－3k+2｜k所以l的方程为4x－3y－6＝0.综上，直线l的方程是x＝3或4x－3y－6＝0.（2）因为B（1，0），H（0，3），所以直线BH的方程为x＋y3＝1，即3x＋y－3＝设P（m，n），因为点P在线段BH上，所以3m＋n－3＝0且m∈[0，1]，所以n＝3－3m.设N（x，y），因为M为线段PN的中点，所以M（m＋x2，n＋y2），即M设圆C：（x－3）2＋（y－2）2＝r2，由M，N在圆C上得（整理得（若M，N存在，则方程组有解，即圆心为C（3，2），半径为r的圆与圆心为C'（6－m，3m＋1），半径为2r的圆有公共点，依据两圆的位置关系可知2r－r≤｜CC'｜≤2r＋r，即r≤[3－（6－m)]2＋[2－（3所以r2≤（m－3）2＋（1－3m）2≤9r2，即r2≤10m2－12m＋10≤9r2，所以r设f（m）＝10m2－12m＋10＝10（m－35）2＋325，m∈[0，1所以f（m）∈[325，10]所以r2≤325，9r2≥10，即109若M为PN的中点，则点P在圆C外，所以（m－3）2＋（n－2）2＞r2，即（m－3）2＋（1－3m）2＞r2在m∈[0，1]时恒成立，所以r2＜（10m2－12m+10综上所述，半径r的取值范围为[103，41015.[情境创新/2024安徽屯溪一中模拟]图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为1的圆O的一段圆弧，且该段圆弧所对的圆周角为2π5.设圆C的圆心C在点O与该段圆弧中点的连线所在直线上.若该段圆弧上存在四点满意过这四点分别作圆O的切线，这四条切线与圆C也相切，则该段圆弧上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为（参考数据：cos2π5＝5－1A.（0，5－1] B.（0，5]C.（0，5－1） D.（0，5）解析如图，设圆弧的中点为M，该段圆弧所对的圆周角为2π5，则其所对的圆心角为4π5，圆O的半径为｜OM｜＝1，在圆弧上取两点A，B，则∠AOB≤4π5.由图可知，当过点A，B的切线刚好是圆O与圆C的外公切线时，劣弧AB上确定还存在点S，T，使过点S，T的切线为两圆的内公切线，