2015年北京市中考数学试卷

2015年北京市中考数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有

一•个.是符合题意的）

1.截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立

方米，将140000用科学记数法表示应为（）

A.14X104B.1.4X105C.1.4X106D.14X106

2.实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是

（）

abed

।।----------------->-•~~।——

-4-3-7-101234

A.aB.bC.cD.d

3.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他

差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）

4.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）

如图，直线%交于一点，直线〃〃小若/。，则父的度

5.k,12,1=124°,42=883

A.26°B.36°C.46°D.56°

6.如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点。被湖隔开.若测得4M的长为

1.2km,则M,C两点间的距离为()

A.0.5fcmB.0.6kmC.0.9fcmD.1.2fcm

7.某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数

分别是()

8.如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分

别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0,-1),表示九

龙壁的点的坐标为(4,1),则表示下列宫殿的点的坐标正确的是()

A.景仁宫(4,2)B.养心殿(―2,3)

C.保和殿(1,0)。武英殿(一3.5,—4)

试卷第2页，总15页

9.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠:

会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）

4类5025

B类20020

C类40015

例如，购买4类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25x20=550元，若一年内在

该游泳馆游泳的次数介于45~55次之间，则最省钱的方式为（）

A.购买4类会员年卡B.购买B类会员年卡

C.购买C类会员年卡D.不购买会员年卡

10.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB,BC,CA,OA,

OB,OC组成.为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器.设

寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进，且表

示y与4的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（）

图1图2

A.i4t0tBB.8t4一＞CC.B0CD.CtBt0

二、填填空题（本题共18分，每小题3分））

11.分解因式：5x3-10%2+5%=

12.如图是由射线AB,BC,CD,DE,E4组成的平面图形，则41+42+43+44+

45=.

13.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框

架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中，方程术是《九章算术》

最高的数学成就.

《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问：牛、

羊各直金几何？"译文："假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8

两.问：每头牛、每只羊各值金多少两？"设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方

程组为.

14.关于x的一元二次方程ad+法+；=。有两个相等的实数根，写出一组满足条件的

4

实数a,b的值：a=,b=.

15.北京市2009-2014年轨道交通日均客运量统计如图所示.根据统计图中提供的信

息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约万人次，你的预估理由是

日均客运量万人次

16.阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：作一条线段的垂直平分线.

己知：级段.45.

a,B

小芸的作法如下：

试卷第4页，总15页

老师说："小芸的作法正确.”

请回答：小芸的作图依据是

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7

分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）

17.计算：(^)-2-(7T-V7)0+|V3-21+4sin60°.

18.已知2a2+3a—6=0.求代数式3a(2a+1)—(2a+l)(2a—1)的值.

f4（x+1）W7x+10

19.解不等式组,_5<-'并写出它的所有非负整数解.

20.如图，在△力BC中，AB=AC,4。是BC边上的中线，BE1AC于点E.求证:

Z-CBE—/-BAD.

21.为解决"最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使

用.到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个.预计到2015年底，

全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平

均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底，全市将有租赁点多少个?

22.在EL4BCD中，过点。作DEJ.4B于点E,点F在边CD上，DF=BE,连接AF,BF.

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证：4户平分4D2B.

23.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k>0)与双曲线y=:的一个交点为

P(2,m),与x轴、y轴分别交于点4B.

(1)求m的值；

(2)若P4=24B,求k的值.

24.如图，AB是。。的直径，过点B作。。的切线BM,肱CD“BM,交AB于点F,且

DA=DC,连接AC,AD,延长力。交BM于点E.

(1)求证：△ACC是等边三角形;

(2)连接0E,若DE=2,求0E的长.

25.阅读下列材料：

2015年清明小长假，北京市属公园开展以"清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，

虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人

次.其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客

接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚

重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人

次、17.6万人次：北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高.

2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉

渊潭公园游客接待量比2013年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人

次，比2013年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次.

2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人

次、13万人次、14.9万人次.

根据以上材料解答下列问题：

(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为万人次；

试卷第6页，总15页

(2)选择统计表或统计图,将2013—2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京

动物园的游客接待量表示出来.

26.有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质.

小东根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究.

下面是小东的探究过程，请补充完整：

(1)函数y=+?的自变量x的取值范围是；

(2)下表是y与x的几组对应值.

X.・・-3-2-11111123・・・

~2-332

y・・・25311553551735m・・・

62~281818822

求m的值;

(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描

出的点，画出该函数的图象；

(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,|),结合函数的

图象，写出该函数的其它性质(一条即可).

27.在平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且平行于x轴的直线，与直线y=x-l交于点

4点4关于直线％=1的对称点为抛物线Cfy=/+b%+c经过点4,

（1）求点a,B的坐标；

（2）求抛物线G的表达式及顶点坐标；

（3）若抛物线C2：y=ax2（a¥0）与线段4B恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的

取值范围.

28.在正方形中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、。不重合），连接

AP,平移AADP,使点。移动到点C,得到ABCQ,过点Q作QH1BD于H,连接4H,

PH.

（1）若点P在线段C。上，如图1.

①依题意补全图1;

②判断与PH的数量关系与位置关系并加以证明；

（2）若点P在线段CO的延长线上，且乙4HQ=152。，正方形4BCD的边长为1,请写出

求DP长的思路.（可以不写出计算结果）

29.在平面直角坐标系xOy中，0c的半径为r,P是与圆心C不重合的点，点P关于OC

的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P',满足CP+CP'=2r,则称P'为点P

关于0C的反称点，如图为点P及其关于。C的反称点P'的示意图.

试卷第8页，总15页

特别地,当点P'与圆心C重合时,规定CP'=0.

(1)当。。的半径为1时.

①分别判断点M(2,1),N(|,0),7(1,遮)关于。。的反称点是否存在？若存在，求其

坐标；

②点P在直线y=-x+2上，若点P关于0。的反称点P'存在，且点P'不在%轴上，求

点P的横坐标的取值范围；

(2)0c的圆心在%轴上，半径为1,直线y=-与x+2遮与x轴、y轴分别交于点4,

B,若线段上存在点P,使得点P关于OC的反称点P在OC的内部，求圆心C的横坐

标的取值范围.

参考答案与试题解析

2015年北京市中考数学试卷

一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有

一.个.是符合题意的

1.B

2.A

3.B

4.D

5.B

6.D

7.C

8.B

9.C

10.C

二、填填空题(本题共18分，每小题3分)

11.5x(%—1)2

12.360°

(5x+2y=10,

(2%4-5y=8.

14.4,2

15.980,因为2012-2013年发生数据突变，故参照2013-2014增长进行估算.

16.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线.

三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7

分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.解：原式=4-1+2一b+4义?

=5+V3.

18.2a2+3a—6=0,BP2a24-3a=6,

原式=6M+3a-4a2+l=2a2+3a+1=6+1=7.

(4(%+1)<7%+10①

19.解：|刀一5<瞪②，

由①得：x>-2；

由②得：x<1,

不等式组的解集为一2Wx

则不等式组的所有非负整数解为：0,1,2,3.

20.证明：AB=AC,/W是BC边上的中线，BE1AC,

乙CBE+Z.C—Z-CAD+Z.C=90°,Z.CAD=Z-BAD,

乙CBE=cBAD.

21.到2015年底，全市将有租赁点1000个.

22.证明：四边形力BCD是平行四边形，

AB//CD.

■：BE"DF,BE=DF,

试卷第10页，总15页

••・四边形BFDE是平行四边形.

•/DELAB,

4DEB=90°,

・•・四边形BFDE是矩形；

・「四边形4BCD是平行四边形，

AB//DC,

「•Z-DFA=Z.FAB.

在中，由勾股定理，得

BC=y/FC24-FB2=V32+42=5,

.・.AD=BC=DF=5,

Z.DAF—Z.DFA9

..Z.DAF=Z.FAB9

即4F平分匕ZMB.

23.解：(I)：y=g经过P(2,zn),

.e.2m=8,解得：m=4.

(2)-/点P(2,4)在y=kx+b上，

4=2k+b,

6=4-2fc,

,/直线)/=心:+以忆＞0)与不轴、'轴分别交于点4B,

4(2-%0),B(0,4-2k),

如图，点4在x轴负半轴，点;8在y轴正半轴时，

AB=PB,贝IJ04=OC,

22解得

7k-='k=l;

当点4在不轴正半轴，点8在y轴负半轴时,

23

解得，fc=3.

k=1或k=3.

24.(1)证明：・「AB是。。的直径，BM是00的切线,

AB1BE,

,/CD“BE,

「•CDLAB,

：.AD=AC9

•••DA=DC,

AD=AC=CD,

AD=AC=CD,

.1•△4CD是等边三角形；

(2)解：连接。E,过。作。NJ.4D于N,

由(1)知，AAC。是等边三角形，

Z.DAC=60°.

•/AD=AC,CD1AB,

Z.DAB=30",

BE=-AE,ON=-AO,

22

设O。的半径为：r,

ON=-r,AN=DN=—r,

22

..V31V3r+2

.•EN=n2H—r,BDEC=-AE=-------

222

在RtANEO与RtABEO中,

OE2=ON2+NE2=OB2+BE2,

即铲+Q+务)2=/+(等)2,

r=2V5,

OE2=(V3)2+25=28,

OE=2A/7.

25.40

26.xW0

(2)令％=3,

m=——.

6

(3)由题意得，如图所示，即为所作.

试卷第12页，总15页

该函数没有最大值

27.解：(1)当y=2时，则2=x-l,

解得：%=3,

4(3,2),

•••点A关于直线x=1的对称点为B,

8(-1,2).

(2)把(3,2),(-2,2)代入抛物线。1：丫=/+取+(：得：

[2=9+3b+c

(2=1-匕+c

解得：?二・

lc=-1

y=%2—2%—1.

顶点坐标为(1,一2).

解得：a=l，

代入B(-1,2),则a(-1)2=2,

解得：a=2,

-<a<2

9

28.解：(1)①如图1；

②如图1,连接CH,

四边形4BCD是正方形，QH上BD,

：.ZHDQ=45°,

「•是等腰直角三角形.

•••DP=CQ,

在AHDP与AHQC中.

DH=QH

Z.HDP=乙HQC,

DP=QC

AHDP主△〃QC(SZS),

PH=CH,乙HPC=cHCP.

BD是正方形4BCD的对称轴，

AH=CH,Z,DAH=Z.HCP,

^LAHP=180°-^ADP=