贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题【含答案】

智成中学2023~2024学年度高二下学期第一次月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．2．已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是（

）A．7 B．8 C．9 D．103．已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．4．在等比数列中，，，成等差数列，则（

）A． B． C．2 D．45．已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（

）A． B． C． D．6．在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（

）A． B．C． D．7．如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（

）

A． B． C． D．8．已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知双曲线，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的焦距为C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为10．在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．11．已知空间向量，则下列说法正确的是（

）A．B．C．与夹角的余弦值为D．若，则共面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为．13．已知圆与圆，则两圆的位置关系为．14．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．已知数列是等差数列，且.(1)求的通项公式；(2)若数列的前项和为，求.16．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．(1)求抛物线的方程；(2)当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程．17．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B两点为椭圆C的左、右顶点，点P（异于左、右顶点）为椭圆C上一动点，直线PA，PB的斜率分别为，，求证：为定值．18．如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．(1)证明：；(2)若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，求二面角的大小．19．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.1．A【分析】把抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标．【详解】因为抛物线的标准方程为，，，，所以焦点坐标为，故选：A．2．D【分析】分别令，，求解即可.【详解】对于A，令，解得：，故A不正确；对于B，令，解得：，故B不正确；对于C，令，解得：，故C不正确；对于D，令解得：或（舍）,故D正确.故选：D.3．B【分析】先求出直线的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率，由，得，所以，即，又，则，所以直线的倾斜角为．故选：B．4．C【分析】根据等差中项的知识列方程，求得等比数列的公比，从而求得.【详解】设等比数列的公比为，由于，，成等差数列，所以，所以.故选：C5．D【分析】计算得出椭圆的长轴长，即可得出以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小半径，即可得出该圆的最小面积.【详解】由题意知该椭圆的长轴长为，以16为弦长的圆的最小半径为8，所以圆的最小面积为，故选：D．6．C【分析】根据题目条件和平行六面体的定义，利用向量的运算法则，将用所给基底表示，计算化简得到结果.【详解】.故选：C7．B【分析】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解.【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，又由双曲线的离心率为，有，可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.故选：B.8．D【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径，依题意可得，即可得到动点的轨迹方程，再由直线与圆有交点，圆心到直线的距离不大于半径得到不等式，解得即可.【详解】圆，则圆心为，半径，

因为，在中，，所以，所以点的轨迹方程为，即圆心为，半径，又直线上存在点，所以直线与有交点，所以，解得，即实数的取值范围是．故选：D．9．BC【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断．【详解】双曲线，则，双曲线的实轴长为，故A错误；双曲线的焦距为，故B正确；双曲线的离心率，故C正确；双曲线的渐近线方程为，故D错误．故选：BC．10．BC【分析】由等比数列的定义求得公比，从而求得，得通项公式，前项和，判断各选项．【详解】设等比数列的公比为，，，，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误．故选：BC．11．BCD【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可判断ABD；根据空间向量数量积的定义计算即可判断C.【详解】A：，又，故A错误；B：，则，故B正确；C：因为，所以，所以，故C正确；D：因为，故D正确.故选：BCD.12．【分析】写出点斜式方程，化为一般式方程.【详解】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为.故答案为：13．相交【分析】根据圆的位置关系直接得出.【详解】根据两圆的方程，得，，，，两圆相交．故答案为：相交.14．25【分析】先根据定义得到和的关系，再利用均值不等式求最大值.【详解】因为点P是椭圆C上的一点，所以，又由均值不等式可得，当且仅当，即，时等号成立，故答案为：2515．(1)(2)【分析】(1)由等差数列的概念计算基本量即可；(2)根据等差数列的求和公式计算即可.【详解】（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）由（1）知；得.16．(1)(2)．【分析】（1）由题意得到，，两点的横坐标为，可得求解；（2）由（1）得，且直线的斜率存在，设，，利用点差法求解.【详解】（1）由题意得，当轴时，，两点的横坐标为，当时，，解得，，解得，故抛物线的方程为；（2）由（1）得，且直线的斜率存在，设，，且，则，，，即，线段的中点的纵坐标为，，即，，即直线的斜率，直线的方程为，即．17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列出a，b，c的方程，解出方程即可求解椭圆的标准方程；（2）设出P点的坐标，代入椭圆标准方程得出横纵坐标的关系式，再代入直线PA，PB的斜率之积的表达式换算即可证明出结论.【详解】（1）根据题意得，∴椭圆C的标准方程为．（2）证明：由（1）得，，设点，则满足，即，因为，，所以，∴为定值．18．(1)证明见解析；(2).【分析】(1)根据给定条件证得平面即可得解.(2)在线段上取点F，使，过F作交BC于点G，再证明是二面角的平面角即可计算作答.【详解】（1）在三棱锥中，因O为的中点，且，则，又平面平面，平面平面，平面，于是得平面，而平面，所以.（2）在线段上取点F，使，连接EF，如图，因点E在棱上，且，则，因此，，由(1)知平面，则有平面，而平面，从而有因是边长为1的等边三角形，且O为的中点，即，则是直角三角形，，过F作交BC于点G，连接EG，则有，因，平面，于是得平面，而平面，因此，，即有是二面角的平面角，因，则，而，，，于是得，而有，因此得，所以二面角的大小.19．(1)(2)或【分