上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题【含答案】

上海南汇中学2023学年第二学期期末考试高二数学满分：150分完成时间：120分钟一、填空题：（本大题满分54分，其中1-6题每小题4分，7-12题每小题5分）1．已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝.2．若，则．3．已知函数，若是函数的驻点，则实数4．随机变量服从正态分布，若，则．5．直线与直线的夹角大小为．6．已知x､，且，则的最大值为7．设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为、

，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是．8．设表示在处的导数值，已知，则9．设随机变量服从二项分布若随机变量的方差则10．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程．x(次数/分钟)2030405060y(℃)2527.52932.536则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为．11．甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”，则下列说法①事件与相互独立；②事件与相互独立；③；④，其中错误的个数是个．12．已知点在抛物线上运动，过点的两直线与圆相切，切点分别为，当取最小值时，直线的方程为.二、选择题（本大题满分18分，13-14每小题4分，15-16每小题5分）13．已知，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．14．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．615．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时/秒[5，10](10，15](15，20](20，25]男性人数1522149女性人数511177以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是(

)A．2 B．3 C．4 D．516．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．已知不等式的解集为A，不等式的解集为B．(1)求A∩B．(2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围．18．已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间．19．某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示．评分款式1分2分3分4分5分基础版基础版122310基础版244531豪华版豪华版113541豪华版200353(1)求这四款车得分的平均数．(2)约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下2×2列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由．汽车性能汽车款式合计基础版豪华版一般优秀合计(3)为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量X表示其中基础版1车主的人数，求X的分布和期望．附：；20．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．(1)求双曲线的方程．(2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由．(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．21．已知函数.(1)求证：.(2)若对任意恒成立，求的最小值.(3)求证：的图象恒在直线上方.

1．{﹣1，0}##{0，-1}【分析】直接根据交集的运算性质，求出A∩B即可.【详解】解：因为A＝{x|2x≤1}＝{x|x≤0.5}，B＝{﹣1，0，1}，所以A∩B＝{﹣1，0}.故答案为：{﹣1，0}.2．【分析】利用对数运算法则直接计算即可.【详解】，则，故.故答案为：.3．5【分析】求出函数的导数，再利用驻点的意义列式计算即可.【详解】函数，求导得，由是函数的驻点，得，所以.故答案为：54．##【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合，即可求解.【详解】随机变量服从正态分布，可得正态分布曲线关于对称，因为，可得，所以.故答案为：.5．##【分析】求出两条直线的倾斜角，可得两条直线的夹角．【详解】直线的斜率，可得倾斜角为，因为直线与轴垂直，其倾斜角为，所以直线与直线的夹角大小为.故答案为：.6．或【分析】由题意可得，变形可求的最大值即可.【详解】因为且，所以，即，当且仅当，即且时取等号，此时取最大值为.故答案为：.7．【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.【详解】设事件分别表示“此人来自甲地区和乙地区”；事件表示“感染此疾病”，，，因此故答案为：8．##【分析】先对函数求导，然后将代入导函数可求出.【详解】由，得，令，则，解得，故答案为：9．【分析】利用二项分布的方差公式求出，再利用二项分布概率公式求值即可.【详解】依题意，，解得，所以.故答案为：10．【分析】根据给定数表求出样本的中心点，再求出值并求出预报值.【详解】依题意，，，于是，解得，则y关于x的线性回归方程为，当时，，所以该地当时的气温预报值为（℃）.故答案为：11．3【分析】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含（个）样本点，它们等可能，事件含有的样本点个数为，则，同理，，事件含有的样本点个数为，则，事件含有的样本点个数为，则，对于A，，即事件与不相互独立，故A不正确；对于B，，即事件与不相互独立，故B不正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D正确．所以其中错误的个数是3个．故答案为：3.12．【分析】设，利用圆的切线性质结合等面积法求出的表达式，进而结合二次函数性质，求最值，求出取得最小值时M点坐标，再求出以为圆心，为半径的圆的方程，和相减，即可求得答案.【详解】如图，设，设与交于，由题意知，，中，，而，则，当最小时，取最小值.而，当且仅当时，取得最小值，此时，，，则以为圆心，为半径的圆的方程为：，与圆的方程相减，可得的直线方程为：，即，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解答的关键在于利用圆的切线性质推出的表达式，结合二次函数性质求最值求出取最小值时的M点坐标.13．D【分析】利用特值或不等式的性质可得答案.【详解】对于A，，而，A不成立；对于B，，而，B不成立；对于C，，因为，所以，，即，C不成立；对于D，，因为，所以，即，D成立.故选：D14．C【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．【点睛】15．C【分析】由条件求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，则，由此可得，再由求其最大值，并确定对应的的值即可.【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，则，其中，，当时，由，得，化简得，解得，又，∴，∴这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4.故选：C.16．D【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.17．(1)(2)【分析】（1）先分别求出A、B，再求出A∩B即可．（2）参变分离求出，转化为求，上的最小值即可．【详解】（1）根据题意可以解出，，则．（2）不等式在上有解等价于，上有解，令，则，故.则实数m的取值范围为18．(1)(2)单调增区间为，，单调递减区间为.【分析】（1）利用导数几何意义，求出曲线在点处的切线方程即可；（2）利用导数求出函数的单调区间即可.【详解】（1），则，则切线的斜率，又，所以曲线在点处的切线方程为．（2），则，由，可得或；由，可得，所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为．19．(1)(2)答案见解析(3)分布列见解析，【分析】（1）利用平均数的定义求解即可；（2）利用题意写出列联表，再结合公式求解即可；（3）利用超几何分布计算概率，从而求解分布列和期望.【详解】（1）由题意，这四款车得分的平均数为，所以这四款车得分的平均数为3.（2）由题意，列联表如下：汽车性能汽车款式合计基础版豪华版一般201232优秀51318合计252550则，所以能在犯错误概率不超过的前提下认为汽车的性能与款式有关.（3）由题意可得：样本评分不大于2的基础版车主中，基础版1车主有4人，基础版2车主有8人，从这12人中随机抽取3人，其中含基础版1的人数服从超几何分布，则的所有可能取值为则，，，，所以的分布列为：0123则.20．(1)；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程；（2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可；（3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值．【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，可得，解得，所以双曲线的方程为．（2）双曲线的左焦点为，当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，当直线的斜率不为0时，设，由，消去得，显然，，设，则，得，于是，，即，因此与不垂直，所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上．（3）由直线，得，则，又，于是，而，即有，且，所以，即为定值．【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．21．(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数判断在上的单调性，求出函数的最小值即可.（2）令，利用导数确定单调性求出的最小值，等价变形不等式成立，构造函数并利用导数求出的最大值，即可求出的最小值.（3）构造函数，，利用导数判断函数的单调性并求出最小值，即可得出结论.【详解】（1）函数，求导得，则在上单调递增，所以.（2）令，，求导得，即函数在上递增，则，而对任意恒成立，因此；要对任意恒成立，只需在恒成立，令，，求导得，由，得，当时，，函数在上递增，成立，于是，当时，，函数在