三角形的四心-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）（解析版）

专题8-2三角形的四心

。常考题型目录

题型1重心.........................................................................................3

♦类型1重心的判断..........................................................................3

♦类型2重心的应用一参数取值................................................................7

♦类型3重心的应用二数量积.................................................................11

♦类型4重心的应用三角度相关...............................................................12

♦类型5重心的应用四面积问题...............................................................13

♦类型6重心的应用五其他问题...............................................................14

♦类型7重心与最值..........................................................................19

题型2外心........................................................................................23

♦类型1外心的判定.........................................................................23

♦类型2外心的应用一参数取值..............................................................26

♦类型3外心的应用二长度问题..............................................................30

♦类型4外心的应用三数量积问题............................................................31

♦类型5外心的应用四角度问题..............................................................35

♦类型6外心的应用五其他问题..............................................................36

♦类型7外心与最值.........................................................................38

题型3内心........................................................................................49

♦类型1内心的判定.........................................................................49

♦类型2内心的应用一三角形形状问题........................................................52

♦类型3内心的应用二数量积问题............................................................54

♦类型4内心的应用三参数取值..............................................................56

♦类型5内心的应用四角度问题..............................................................56

♦类型6内心的应用五其他问题..............................................................57

♦类型7内心与最值.........................................................................58

题型4垂心........................................................................................60

♦类型1垂心的判定.........................................................................60

♦类型2垂心的应用一角度问题..............................................................62

♦类型3垂心的应用二角度问题..............................................................67

♦类型4垂心的应用三数量积问题............................................................67

♦类型5垂心的应用四其他问题..............................................................68

题型5四心综合...................................................................................69

u知识梳理

知识点一.重心

1.定义：三角形三条中线的交点

2.颈：

①设。是△ABC的重心，则没力+□由+□由=力

②设。是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则吊=grnn+W+W;

③设0是△ABC的重心,奔驰定理结论:口必□□口:口&□□□；□□口=□:□:O=1:1:1

④P为平面内任意一点，用=口（京+团］）或屈口（4邙京］）,□＞。则P一定经

过三角形的重心.

⑤P为平面内任意一点，=0（）或方方=向+口（+

1\DD\DDDD\DU\DDDD/'\口0\□□□□

三言五九。＞。则P的轨迹一定经过三角形的重心.

知识点二.内心

1.定义：三条角平分线的交点

2.性质：

①设O是AABC的内心,|BC|nn+|AC|Z7n+|丽|万方=藏口口白+方无=2其中a,b,c

是AABC的边长.

②设O是△ABC的内心，奔驰定理结论:Uccc；口&□□□；口4□□口=口;口:Z7=a:b:c=sinA:sinB:sinC

③P为平面内任意一点，方方=0（署+器，，则P一定经过三角形的重心.

④若G是内心，O是任意一点，DU=产g,（证明方法：乘开化简即可）

知识点三.外心

1.定义：三条垂直平分线的交点

2.性质：

①设O是AABC的外心则|配=|五方|=|西或者用2'=

②设O是AABC的外心，（万斤+^Q•方万=（DO+~DLI）=（DD+~DH）=~0

③设P是任意一点，满足酒="+口(/而，□＞。厕P的轨迹一定经过三

角形的外心.

④型也定理结论:□：□皿□:口&□□□=□；口；□=DDD2D-.□□□/.□□□Ki

N□□口

知识点四.垂心

1.定义：三条高线的交点

2.性质：

①0是△ABC的垂心，则方方，~DD=~DD=DU-

②O是△ABC的垂心，则方^+=~DD4-

③设P是任意一点，满足，防=3万+u(^^□□□+口嘉□□口入口＞。则P的轨迹一定经过三角

形的垂心.

④奔驰定理结论：□:□、□□□：=□：口；□=tanA:tanB:tanC,tanA-□□+tanB-□□4-

x□□口

tanC・□由=~0

⑤□>(),口(~DDW入此向量代表垂直于方斤的向量.

\no\auDu\on\onou

题型分类

题型1重心

【方法总结】

(1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.

(2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

(3)在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数

(4)口是卜口口口^心0口□+□□+力,

(5)四平面SB任一点,~DD=犷尻1+~DD+=□是X□□灌心.

♦类型1重心的判断

【例题1-1］（2023春•全国•高一专题练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足历+W+

历=6,则G点是三角形ABC的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

【答案】D

【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G是AABC的重心.

【详解】因为无+OO+0,所以无+一配=~DD.

以GA、GB为邻边作平行四边形GADB,连接GD交AB于点。.如图所示

则无=方斤，所以用=jW,CO是AB边上的中线，所以G点是&ABC的重心.

故选：D

【变式1-U1.（2023・全国•高一专题练习）已知△口口收，点小边口O中点，氤口为4O口O所在平

面内一点，则©方=g历+|万方’为"点巾△口□灌心”（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

［分析］历=g药+|无等价于晶=2比等价于点班△口口鼻心.

【详解】充分性：nD=^DD+l~DD

等价于：300=OO+2DD

等价于：W-~CD=2DD-2UD

等价于：~DLl=2Dn

所以a为。功勺靠近。的三等分点，所以点少）△□□灌心；

必要性：若点％△□□am心,由重心性质知晶=200,故晶=：晶+：万方

故选：c

【变式1-1]2.（2022•高一课时练习）0是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点

P满足：品=■+0（历+闻），。>0,则直线AP一定通过58（：的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】取线段BC的中点E，则无+方方=2UD动点P满足:无=~DD+£7（00+~DU）,O>0,

则比=2匚之方.即可判断出结论.

【详解】取线段BC的中点E,则西+玩=2OD.

动点P满足：W=~nn+£7（方万+,£7>0,

则晶-晶=2出方

则方斤=2万无

则直线AP一定通过"ABC的重心.

故选：C.

【变式i-i】3过。口口。内一点off作一条直线，再分别过顶点a口,a乍。a勺垂线垂足分别为a□,口,

若无+用+吊=施成立，则点泼口。口中）

A.垂心B.重心C.外心D.内心

【答案】B

【分析】本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.

【详解】本题采用特殊位置法较为简单.

因为过000〃内一点Off作一条直线，可将此直线特殊为过点A,则用=力,有历+用=5

如图：

则有直线AM经过BC的中点，

同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，

所以点。是。的重心，

故选B.

【点睛】本题主要考查了向量在三角形中的应用，采用了特殊位置法，属于难题.

【变式1-1】4.（2023・全国•高一专题练习）已知。点在△£700所在的平面内，满足用=云+

0（袤J+滂祟R（OeD）,则动点5勺轨迹一定通过^□口曲（）

\LJU\s\nU|Z_7Z_/|sinL/

A.内心B.垂心C.外心D.重心

【答案】D

【分析】由给定条件可得|西sin。=|运sin。，由历万■示出万乐阿判断作答.

【详解】令^□□迎BC上的高为h，则有|西sinO=|OOlsinO=h.，令边BC的中点为D,则用+

因此，无=无一无=0（■牛+牛）=早（无+运）=年无，即万包后万，

所以动点勺轨迹一定通过仆OOO的重心.

故选：D

【变式1-1】5.侈选）（2021春•高一课时练习）（多选）平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：

W+W+W='DD,则下列结论错误的是（）

A.P在CA上，且晶=2HD

B.P在AB上，且200

C.P在BC上，且历=2比

D.P点为△口口并重心

【答案】BCD

【分析】利用向量的线性运算化简，即可得到结论

【详解】由无+晶+方方=晶，则方方+无=无一无，即无+历=用，得宝=

2W,

则有近/云，所以P在CA上，A选项正确，BCD选项错误.

故选：BCD

♦类型2重心的应用一参数取值

【例题1-2】（2023春•湖北武汉・高一华中科技大学附属中学校联考期中）已知G是AABC的重心，若晶=

口^方+ZZj无QZ7eR））则0-20=（）

A.-1B.1C.lD.-1

【答案】D

【分析】根据三角形重心的定义和向量的线性运算进行解决.

【详解】由题意，画图如下：

A

由重心的定义，可知：

.一♦O•1•O1/"—■，."，・illII>\d■■।1'I

□□=%□□=4Z7Z7)=5□□+5口□.

则。-2£7=g-2xg=-g.

故选：D.

【变式1-2]1.(2023春•江苏盐城•高一校考期中)在平行四边形口。S中，功△口。中)重心玩=

ZD^+则30+£7=()

5

AB2CD

3-

【答案】C

【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.

【详解】如图，设。口与OOffi交于点曲XZ7OG］重心，

可得皿OOB勺中点，口口=2□口,

历=定+历=①+!正=无+：用=：（无+^）+3（晶-^）=!比+|历

可得O=gQ=：,3D+D=g;

故选：C

【变式1-2】2（2023春•安徽宿州•高一统考期中月知4重心为口若向量用=方方,

则0=()

【答案】A

【分析】由三角形法则和平行四边形法则求解即可.

【详解】由三角形法则和平行四边形法则可得

OO=W+OO=W+1x|(OO+W)=-|^+5^<则。=-|.

故选：A

【变式1-2】3.(2023•全国专题练习)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB,

AC两边交于M,N两点，设)<无=方方，丫无=方方，则$的值为()

A.3B.4

C.5D.6

【答案】A

【分析】由向量共线的推论知晶=DDD+(1-£7)OOao<Z7<1,结合已知有历=0000+

0(1-再由重心的性质有用万方+药,根据平面向量基本定理列方程组即可求值.

【详解】由题意用=-n)Wao<n<1,而><用=云，yoo=W,

所以用=DDDD+0(1-D)DD,

又G是“kBC的重心，故吊=|x“方斤+西=家方方+用，

(□□二

所以31,可得击+*=1,即g+《=3.

1/7(1-=\

故选：A

【变式1-2]4.(2023春•江西赣州•高一校联考期中汝口图，记△内角。，D,可对边分别为。,

EJ,U,3sin2ZZ7+3sin2ZZ7+2sin/ZfeinZ7=3sin2ZZZ

⑴求cos/7;

（2）若口班边口入的中线f&0口。的重心，口以。口世外心，且晶.吊=嗯,口=3口,

求。.

【答案】（1）一：

。）。=1

【分析】（1）由题意及正弦定理得34+34+2□口=3ZJ2,然后利用余弦定理求出cosZ7

（2）作口Z271口口，得出用.历=g|万万pOO=1|O^|2，从而得至!|历.无=―而2+

的8+!方君由题意得口=2w口,最后求出a

66

【详解】（1）由题意及正弦定理得3U2++200=34，

即d+万-£^=-|。£7,

由余弦定理得cos£7=与茅=-j.

（2）如图，过点。作口方氤口.

因为口为4外心，所以U为Z7O的中点，

则£7/j.口由=|口61U[j\COSN□□口=|口61口向=^|ZZ7ZZ7|2,

同理。力・□口=|Z7Zj||Z7/7|cosz£7ZZ7£7=^|£7£7|2.

因为a为A的重心，

所以晶=|用二|G无+g西=:方方+：方方，

___-♦-+，24'*"42，-»

又□□=□□-□□='□□+'□□-no,

,1■■■■♦......，.......，/1.......,,1.......♦.......,、••■・一•一>2《...♦-1,,,>4....1.......♦

所以£7ZZ7・□□=□□-《□□吟□□-DD）=-□□□□心□□.□□

----->21------>21----->2

=一□□+不□□+不□□

66

由£7=30,3仃+3D2+200=3U，得0=275/7.

由cos£7=—g,得sin匚7=誓,

因为皿△加外心,所以Z7孕A。。夕卜接圆的半径网口口=号=半口,

2smL78

JllJOO--:DD+-Z7£^+-OO=--^+-^+-£^=--/^=--,

AJ6632662424’

得。=1.

♦类型3重心的应用二数量积

【例题L3I2023春•山东枣庄•高一滕州市第一中学新校校考阶段练习圮知△口。口外接圆圆心为0,

牛4OZZ7Z品勺重心目|市目=4,|OO|=6贝!]方方.（无+no）=

【答案】卷

【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.

【详解】如图所示,取。B点Z7,过口作□□[□□,□□工,则以□是□□、中点.

勺重心,.-.on+no=2力=|比=*无+^5),

2

W-oo=-|oo|••七卜cos乙□□口=_曰^|2,同理用.云=_2|-^n|(

故无.(DU+W)=1.W-(W+W)=-1(|oq2+|W|2)=-§=-f

A

EL\\V

/乂。

故答案为：-g

【点睛】结论点睛：

(1)三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点(靠中点近)，即无=((方方+DD)=

2□白、

22

(2)三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有用京二三|日m加二;|W|,W-

W=1|W|2.

♦类型4重心的应用三角度相关

【例题1-4］在4口口8,角。，口,U所对的边分别为。，u,D,叨。的外心，口为oa边

上的中点，□=4,,口口=5,sin/Z7+sin£7-4sin£7=0,贝！Jcos£7=()

A.§B4C.JD.4

2248

【答案】C

【分析】根据玩=★百万+西化简历•百方=河得孚+孝=5,代入O=4,所以D=2,

再根据正弦定理化简sinO+sin。-4sinZ7=何得。=4,进而根据余弦定理可得cos£7

A

BDC

【详解】E

由题意，抽△口口□的外心上的中点，可得:W=^（OO+~OU），因为历•云=5,

可得：历V（京=1历+=（历=5•又用.历^.历=

-pD，所以有孚+手=5即§+g=5，因为。=4，所以。=2，又因为sin£7+sin。一

4sin£7=0,所以40-口=口口=4,由余弦定理：cos£7=岑/=；

故选：C.

♦类型5重心的应用四面积问题

【例题1-5】（2023春・吉林・高一东北师大附中校考阶段练习）已知A、B、C是平面上不共线的三点，。

是AABC的重心，点P满足用=（万斤+!无+:无，贝必ACO与4BP面积比为（）

OOO

A.5:6B.3:4C,2:3D.1:2

【答案】D

【分析】利用重心的性质和已知线性关系可得2晶=晶，故P为0A中点，进而可得面积比.

【详解】由。是AABC的重心，得无+用+晶=6,而无=（无+（方方+（方方，

O0O

所以点P为0A中点，即点P、点。为BC边中线的两个三等分点，

/21/—>1r—t2

所以=§x5□"□□口-□足□□口<口□口-§□口口'

所以AACO与ACBP面积比为1:2.

故选：D

【变式1-5】（2023・广东广州•广州市第二中学校考模拟预测）已知0是小SB）外心，口口=6,□□:

10,若方方=/JDD+/2a2ZZ7+100=5,贝必Z7O小勺面积为_.

【答案】20企或24

【分析】根据外心特点可知历•云=g亩,OO-市=g帚，利用向量数量积的定义和运算律,

结合20+10/7=5可构造方程组求得cos£7,进而得到sinO,利用三角形面积公式可求得结果.

【详解】%△UUlJm心，□□=0£7L7=1O,

22

18,OO-=50,

,□口=1口□□+□□山•□□=□□口+□□□,口□=36口+60ZZfcosZZ7=18,

即60+10£7cos£7=3;①

,___.r___,____,___»___>2

,口□=(□□□+•□□=□□□♦□□+□□□=60ZjbosLJ+100。=50,

即6ZZAx)s〃+10Z7=5;②

由2。+10£7=5得10。=5-2。，③

1

-

4

把③代入①②得胃7=3,解得3

Q-

I6Z.7cosZ_7+5—2LJ—5-5

又口e(0,TT),

当cosO=孑寸，sin〃=竽，□△□□□=%□□•O%nD=；x6x10x等=20底;

当cos£7=|时,sin/Z7=:,口△□□口=g□□,DUsinU=^x6x10x^=24.

故答案为：20夜或24.

♦类型6重心的应用五其他问题

【例题1-6](多选X2023春•湖南•临澧县第一中学校联考期中)如图，已知口□,口企别是4□□口

的三条中线，型△。口量勺重心，设口为4£7£7。所在平面上任意一点，贝！J()

A

A.Z7ZZ7+LJLJ+£7/j=OB.DLJ+LJIJ+ULJ=LJLJ

c.WD.W-oo+oo-W+W-oo=o

【答案】ACD

【分析】根据三角形重心的性质，结合向量的分解即可判断.

【详解】对于A选项，注意到。。=2口□,因此用=2DD=方斤+W,

从而用+OO+无=6,故A正确；

对于B选项，由晶+W+历=日可得

□由一□□+□白-□白+□白-□白=0,

即百方+00+00=3DH,故B错误；

对于C选项，00+00=2DD,

相加即得方斤+方斤+万斤=方斤+济+~on,故C正确；

对于D选项，2oo-oo==W-W+oo-

同理2方方•~DD=方万.~DD+~aa-方方,

2W-W=00-00+0^-00,

三式相加即得方方•~DD+~DD-W+W-W=0,故D正确.

故选:ACD.

【变式1-6】1.（多选）（2023春•安徽阜阳•高一校考期中）已知点。是4OO5勺重心，则下列说法中正

确的有（）

A.IJD+DD+己口=OB.己□晨\己口+6叫

C.d口=；旧口+员7）D.DD+庆7=4员7+

【答案】AB

【分析】利用重心的性质，结合图形可解.

【详解】记D为BC中点，则。为AD靠近点D的三等分点

因为员7+/JD=2DD,/JD=-2/J/J,所以员7+LJD+6口=6,A正确；

又日口+台口=26口力口=三6口,所以“万万+万口）=万Z,B正确，C错误；

又万3+万Z=2万匕员7+万Z=2&7=6万Z,所以万Z+苏D=；（万Z+万口），故D错误.

故选：AB

【变式1-6]2.（多选）（2023春江苏扬州•高一扬州中学校考阶段练习）口是△OZ7O0勺重心，口口=

2,£70=4,乙口口口=120°,口是△OOO所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）

A.W+W+W=o

B.百斤在配方向上的投影等于2

C.历•①=g

D.晶•（无+量的最小值为-1

【答案】ACD

【分析】根据重心的性质、f向量在另f向量方向上投影的概念、数量积的运算性质，逐项判断即可.

【详解】对于A,设AB的中点为M,则无+~DD=2晶=方力故原式=方方+晶=6,故A正确；

对于B,因为\口口=4/□□□=120°,所以用在无方向上的投影等于|用cos120°=4x

(-g)=-2,故B错误；

对于C,设。。中点为口则用•方方=(W+-(DD-~5a)=OO-~DD=OO-1,

而|OZZ7|2=|Z7£7|2+|Z7Z7|2-2|Z7£7|■、口4-cos120°=1+16-2x1x4x(一；)=21，故\UD\=

V21,

所以|£7O|==苧，从而可得晶•~UD=—1=g,故~DD-~DD=—押C正确；

对于D,设口。中点0,AO中点为□,则

___t,,,,,,,___t।t,2

□□•(□□+LJEJ)=□□.(□□+ZZ7ZZ7)=,2□口—2(ZZ7ZZ7+LJCJ)•(□□—LJCJ)—2LJLJ—

2UD

=2亩一：亩2—g亩，(当P与Q重合时最小).

而故+=3

,故00.(00+OO)>-|,故D正确.

故选:ACD.

【变式1-6]3.（四川省达州市2023届数学（理科）试题）如图，在4□□讲,£7/7=3,乙□□□=/

历•晶=18,平面027。内的点£7、OS直线侧,△口口口与x0口中是以£7为直角顶点的

等腰直角三角形，口、4分别是△□□□、△口。06勺重心.则。14=（）

o2

A.V26B.3V3C.5D.6

【答案】A

【分析】利用平面向量数量积的定义可求得OO,求出。&、口口2、乙口1口口2，利用余弦定理可求得。14

的长.

【详解】由平面向量数量积的定义可得士•历=|西.|nqcos^=^|w|=18,解得=

6V2,

延长Z74交OZ7于点Z7,延长交于点。，则以2分别为口。型中点，

因为△口□□、△口。磔是以点％直角顶点的等腰直角三角形，目口口=3,口口=6及,

所以，□□=△□□=30,口口=隹口口=^2.脚□□=三口口=当,□□=三口口=6,

因为a、□扮那是△□□□、△〃〃中］重心，

则£74=|00="苧=遮，口口2=4口口=4,

改为乙□□□=；乙□□□=,同理可得NOO£7=?,

所以，N&口口2=乙□□□+乙□□□+£□□□党,

由余弦定理可得01——ZZZZZ^+ZZ7/Z^—2口口、■ZZZZZZjCOS—=2+16—2xV2x4x=26,

因此,口\口2=V26.

故选：A.

♦类型7重心与最值

【例题1-7]在四边形中,%△口/7%）重心，口□=2'点。在线段口O上,则历•

（W+W+时的最小值为（）

A.—3B.—2C.—1D.0

【答案】A

【分析】首先根据平面向量的加法几何意义，三角形重心的性质和平面数量积的概念得到京•（济+

用+翦=-5|W|•|西,再利用基本不等式性质即可得到答案.

【详解】如图所示：

因为吊=历+方与晶=历+无晶=历+用，

所以济+万万+方方=300,

于是有用・（用+云+方方）=3OC-~DD=-5|OO|­|W|,

又|西•|西<（I因产）=1,当且仅当|西=|曰=对取等号,

所以晶•（吊+京+^）=3oa-~aa>-3.

故选：A

【变式1-7]1.（2023春•广东深圳•高一校考期中）过加重心二勺直线啰别交线段O&OO于

点a〃，若用=防万万方=防方，则20+中）最小值为（）

AJ+等B.3+2V2

25

c+23V2D

3-

【答案】A

【分析】利用重心的性质及已知用宓方加示出灰，再由，a侬线得++*=1,最后应用基本

不等式"1"的代换求最值，注意取值条件.

【详解】如下图，若为口。中点，又ADOU的重心o,则a口,侬线，且方方=彳万方，

而万方=；方方+；方方=+方方+右方方,又aa侬线，

所以?百甘=士可甘+上与甘,即万方=上方万+工方方，则工+工=1,

尸〃“22£72£7，口3£73D1AJ3Z730，

故20+O=120+。弓+》="3+*号）*（3+=等,

当且仅当口=遮口，即0=竽,口=等时等号成立.

63

故选：A

【变式1-7】2.（2023春•陕西西安•高一西安市铁一中学校考期中）如图，已知点。是△口口蜜勺重心，

若0as△重心£7,且无=斤，~DD=D,~DD=CD,OO=£70（D>0,£7>0）,试

求0+2中最小值.

【分析】根据重心的几何性质和三点共线的向量表示，依据线段长的比例进行运算即可.

【详解】,:□是400并重心，二口理03上的中线，口口=2口口,

.­.nD=^(pD+DD)=^(n+n),

二用号云=知(斤+中=睁+可，

又•••云=no,~DD=[jQ{£7>0,口>0),.,.斤云，n=^OD,

,-.W=1(0+0)=1(100+^DD)=*+了,

又•••〃，口,W点共线，

+—=1.

3£73D

又二,〃>0,0,•,・由基本不等式,有

口+2口=(口+2口位+*=1+券+1+2摆xQ1+竽,

当且仅当券=品，即。=华，。=半时，等号成立，

3口3036

.•・。+2疗勺最小值为1+手

【变式1-7】3.(2023春•山西运城・高一康杰中学校考阶段练习)已知点。是△。口中重心，过点乍

直线与口a。。两边分别交于两点，且比=IJDD,~DD=由电(口>0,口>0),则。2+4

最小值是_________.

【答案】1/4.5

【分析】由重心性质得历=|方方="比+方。=§方方+3品，由三点共线得0+0=3,然

后由基本不等式求得最小值即可.

【详解】延长。。交£70于O,则〃是£7£7中点，

OO=|OO=2(OT+=yW+yW,

又aD,，三点共线，所以另+g=1,所以。+。=3,

所以^+4=[^+4+炉+万)？“炉+炉+2DD)>i(O+。2=/

当且仅当。=。=I时等号成立，所以行+仃的最小值是I.

故答案为：I.

【变式1-7]4.（2023春河南濮阳•高一濮阳一高校考期中）如图，过AABC的重心乍一线，分别

交边口£7,口方点、口,口（不含端点），若晶=ODD,~DD=DUD,£7>0,口>0,记^ADE,

△ABC,SDG,"EG的面积分别为&,4,4,4,试探究：

（2）用口分别表示舁，§,并且求出球的最小值.

l_J2LJqLJA

【答案】⑴3

磴=名，6（〉。赍警M+苧

【分析】（1）设出基底，由。，口,片点共线的基本性质,利用共线向量的性质列出等式，求出g+Jep

可；

（2）利用三角形重心的性质，三角形面积比的基本模型即可表示出舞,圣,利用换元法及不等式的性质求

出最小值.

【详解】（1）设方方=aDD=D,则向量用=|用=乂方+药,

由Z7,O,片点共线，可设历=方方，则用一历=0（方方—方⑦，

即X方+同一用=0（方方一£70）,整理得《一Z7+Z7£7）O=（□□一瓶,

可得g-O+□□=□□-5=0,

消去Of导£+$=3,其中£7,□吟,1）.

（2）却器焉=也=名,小（＞1）

由口^△Z7OU的重心，可得△□□□、△□□□、△。口。B勺面积相等，

所以小一=。，方且一=1一。，

口△口口口口3口口口

口3_B□-1）

口42ZZ7—1

令口=2Z7—1e（0,1）,则管=（弋产）=乂3£7+£+4”1+苧，

当且仅当口=?，即0=；+R时，第最小值1+y.

题型2外心

【方法总结】

（1）口是X□□邙\~心0\OL]\=\DL]\=\D^,

（2）若口是》□□邙卜心,贝（Jsin2ZZ7ZZ7£7+sin2ZZ7ZZ7ZZ7+Win2□□□=~0.

（3）若口是X□□邙卜心,则对于平面内任意点口，均有：历=就需无+君磊晶+

2sinLjsinZ-J2sinZJsin/_/

cosgUP

zfeinLfein/7

♦类型1外心的判定

【例题2-1】（2023・高一课时练习）已知P在△。。小斤在平面内，满足|西=|西=|西，则P是

△□□曲（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【答案】A

【分析】由向量模的定义结合三角形的四心定义判断.

【详解】|西=|on|=|再表示口,£7三点距离相等，。为外心.

故选：A.

【变式2-1】1(2023•广东佛山•佛山一中校考一模)?£△口口内设^^=2DD-(W-W),

那么动点5勺轨迹必通过△口□阖()

A.垂心B.内心C.重心D.外心

【答案】D

【分析】设线段。。的中点为。，推导出口□,结合外心的定义可得出结论.

【详解】设线段。中)中点为O,则比方日互为相反向量，

所以，~DD^~DD=(OO+~nn)+(on+~HD)=2DD+(DD+,

因为=2DD-{pa-,即-(UU-~DD)=2DD-,

所以，~DS)-(W-~DD)=200-~DD,即2万方.云=2晶.方力，

gpW-(W-W)=W-nn=o,即。01口口,

所以，。。垂直且平分线段。口，

因此动点木轨迹是勺垂直平分线，必通过△口口/jm心.

故选：D.

【变式2-1]2.(2023秋・江苏•统考期末)△□□傥,0％口式边上的高且无=3晶，动点◎茜足

W-W=,则点。的轨迹一定过4DUU^()

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【答案】A

【分析】设i〃a=4。，=n,以%原点，配用方向为以a由正方向建立空间直角坐标

系，根据已知得出点a□,并坐标，没口(口,D),根据历•百斤=加列式得出点2勺轨迹方程为

口=一口，即可根据三角形四心的性质得出答案.

【详解】设\UU\=4□八口口=U,

以a为原点，向、配方向为口以由正方向如图建立空间直角坐标系，

v口口=3口□,

|ZZ7ZZ7]=3ZZ7,|£7/27|=口、

则0（0,0）,。（—3a0）,Z7（ao）,口,则晶=（4£7,0）,

设口（口,口,则晶=（口，口-口,

..,一♦-1

•••,

：・«□□=T4a）2,gp/7=-n,

即点中轨迹方程为口=-□,

而直线口=-。平分线段口。