浙教版八年级数学下册专题1.4二次根式的加减(知识解读)(原卷版+解析)

专题1.4二次根式的加减（知识解读）【学习目标】1.理解同类二次根式的定义；1.掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算【知识点梳理】知识点1：同类二次根式同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如知识点2：二次根式的加减二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。知识点3：二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）【典例分析】【考点1：同类二次根式】【典例1】（2021秋•嘉定区期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【变式1-1】（2022秋•社旗县期中）下列式子中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【变式1-2】（2022秋•闵行区校级期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【变式1-3】（2022春•东莞市期中）若最简根式与是同类二次根式，则m＝．【考点2：二次根式的加减】【典例2-1】（2022春•东莞市期中）计算．【典例2-2】（2022春•富川县期末）计算：﹣3+．【变式2-1】（2022秋•农安县期中）计算：﹣．【变式2-2】（2022秋•蒸湘区校级月考）计算：．【变式2-3】（2022秋•通州区期中）计算：3﹣+．【变式2-4】（2022春•东莞市期中）计算．【考点3：二次根式混合运算】【典例3】（2022秋•雁塔区月考）计算：×+（）0﹣|﹣2|；（2）（+1）（﹣1）+（1﹣）；（3）÷﹣×+；（4）﹣3+．【变式3-1】（2021秋•镇海区期末）计算：×÷；（2）（﹣）×；（3）﹣+．【变式3-2】（2022秋•沙坪坝区校级期中）计算：（1）2+﹣3；（2）﹣4+÷．【考点4：二次根式化简求值】【典例4】（2022春•广州期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：（1）（x+y）2；（2）x2﹣y2．【变式4-1】（2022春•广州期中）已知：x＝，y＝，求xy2﹣x2y的值．【变式4-2】（2022春•莆田期末）已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．【典例5-1】（2021秋•毕节市月考）先化简，后求值：（a+）（a﹣）﹣a（a﹣2），其中a＝3．【典例5-2】（2021春•连山区期中）给出以下式子：（﹣）÷，先简化，然后从﹣1，2，2+2三个数中，选个合适的数代入求值．【变式5-1】（2022秋•长泰县期中）先化简，再求值：，其中：．【变式5-2】（2021秋•丹江口市期末）（1）已知x＝+1，y＝﹣1，求x2y﹣xy2的值；（2）先化简，再求值：，其中，m＝﹣2．【变式5-3】（2022春•隆安县期末）先化简，再求值：（x+）（x﹣）﹣x（x﹣6）+9，其中x＝﹣1．【考点5：二次根式应用】【典例6】（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．（1）求原矩形木板的面积；（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．【变式6-1】（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．【变式6-2】（2022秋•社旗县期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈9.8t/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．【变式6-3】（2022春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【变式6-4】（2021春•城厢区期末）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦﹣秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．如图，在△ABC中，a＝8，b＝4，c＝6．（1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，BC边上的高为h3，求h1+h2+h3的值．专题1.4二次根式的加减（知识解读）【学习目标】1.理解同类二次根式的定义；1.掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算【知识点梳理】知识点1：同类二次根式同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如知识点2：二次根式的加减二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。知识点3：二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）【典例分析】【考点1：同类二次根式】【典例1】（2021秋•嘉定区期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：＝3．A、＝3，3与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；B、＝2，2与3的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；C、＝，与3被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；D、＝2，2与与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意．故选：B．【变式1-1】（2022秋•社旗县期中）下列式子中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、＝＝2，与是同类二次根式，符合题意；B、＝，与不是同类二次根式，不符合题意；C、（）2＝5，与不是同类二次根式，不符合题意；D、＝＝，与不是同类二次根式，不符合题意；故选：A．【变式1-2】（2022秋•闵行区校级期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：＝3，A、与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；B、＝2，2与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；C、＝4，4与3被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；D、＝2，2与与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意．故选：C．【变式1-3】（2022春•东莞市期中）若最简根式与是同类二次根式，则m＝．【答案】2【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴﹣2m+9＝5m﹣5，解得m＝2，故答案为：2【考点2：二次根式的加减】【典例2-1】（2022春•东莞市期中）计算．【解答】解：＝4﹣5+4﹣2＝﹣+2．【典例2-2】（2022春•富川县期末）计算：﹣3+．【解答】解：原式＝4﹣+2＝．【变式2-1】（2022秋•农安县期中）计算：﹣．解答】解：原式＝2﹣2﹣3+3＝﹣．【变式2-2】（2022秋•蒸湘区校级月考）计算：．【解答】解：＝6＝10．【变式2-3】（2022秋•通州区期中）计算：3﹣+．【解答】解：原式＝6﹣3+＝．【变式2-4】（2022春•东莞市期中）计算．【解答】解：＝4﹣5+4﹣2＝﹣+2．【考点3：二次根式混合运算】【典例3】（2022秋•雁塔区月考）计算：（1）×+（）0﹣|﹣2|；（2）（+1）（﹣1）+（1﹣）；（3）÷﹣×+；（4）﹣3+．【解答】解：（1）×+（）0﹣|﹣2|＝2×2+1﹣（2﹣）＝4+1﹣2+＝5﹣1；（2）（+1）（﹣1）+（1﹣）＝5﹣1+﹣5＝﹣1；（3）÷﹣×+＝4﹣+2＝4+；（4）﹣3+＝2﹣3×+2＝2﹣+2＝+2．【变式3-1】（2021秋•镇海区期末）计算：（1）×÷；（2）（﹣）×；（3）﹣+．【解答】解：（1）×÷＝＝＝4；（2）（﹣）×＝（3﹣）×2＝6﹣6；（3）﹣+＝﹣+＝﹣++＝﹣．【变式3-2】（2022秋•沙坪坝区校级期中）计算：（1）2+﹣3；（2）﹣4+÷．【解答】解：（1）2+﹣3＝10+2﹣9＝3；（2）﹣4+÷＝3﹣2+2＝3．【考点4：二次根式化简求值】【典例4】（2022春•广州期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：（1）（x+y）2；（2）x2﹣y2．【解答】解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，∴（x+y）2＝（2）2＝12；（2）∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，x﹣y＝2，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝4．【变式4-1】（2022春•广州期中）已知：x＝，y＝，求xy2﹣x2y的值．【解答】解：∵x＝，y＝，∴xy＝1，y﹣x＝2，∴xy2﹣x2y＝xy（y﹣x）＝1×2＝2．【变式4-2】（2022春•莆田期末）已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．【解答】解：（1）当x＝+3，y＝﹣3时，x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝[（+3）﹣（﹣3）]2＝62＝36；（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝[（+3）+（﹣3）][（+3）﹣（﹣3）]＝2×6＝12【典例5-1】（2021秋•毕节市月考）先化简，后求值：（a+）（a﹣）﹣a（a﹣2），其中a＝3．【解答】解：原式＝a2﹣5﹣a2+2a＝2a﹣5，当a＝3时，原式＝2×3﹣5＝6﹣5＝1．【典例5-2】（2021春•连山区期中）给出以下式子：（﹣）÷，先简化，然后从﹣1，2，2+2三个数中，选个合适的数代入求值．【解答】解：（﹣）÷＝[﹣]•＝（﹣）•＝•＝•＝，由题意得，x﹣2≠0，x+2≠0，x+1≠0，则x≠2，x≠﹣2，x≠﹣1，∴当时原式＝．【变式5-1】（2022秋•长泰县期中）先化简，再求值：，其中：．【解答】解：＝a2﹣3﹣a2+4a＝4a﹣3，当时，原式＝4×（+1）﹣3＝4+4﹣3＝4+1．【变式5-2】（2021秋•丹江口市期末）（1）已知x＝+1，y＝﹣1，求x2y﹣xy2的值；（2）先化简，再求值：，其中，m＝﹣2．【解答】解：（1）x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），原式＝＝1×2＝2；（2）原式＝＝＝，当m＝﹣2时，原式＝．【变式5-3】（2022春•隆安县期末）先化简，再求值：（x+）（x﹣）﹣x（x﹣6）+9，其中x＝﹣1．【解答】解：原式＝x2﹣3﹣x2+6x+9＝6x+6，当x＝﹣1时，原式＝6（x+1）＝6．【考点5：二次根式应用】【典例6】（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．（1）求原矩形木板的面积；（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，∴这两个正方形的边长分别为2dm和3dm，∴原矩形木板的面积为3（2+3）＝45（dm2）；（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：∵2≈3.464，≈1.732，3.46÷1≈3（块），1.73÷1.5≈1（块），3×1＝3（块）．∴从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．【变式6-1】（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：（cm3），答：长方体盒子的容积为18cm3；（2）长方体盒子的侧面积为：（cm2），答：这个长方体盒子的侧面积为24cm2．【变式6-2】（2022秋•社旗县期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈9.8t/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．【解答】解：将h＝78.4，g＝9.8代入公式t