2024河南中考数学专题复习第二部分 题型一 真实问题情境 课件

真实问题情境题型一

文件解读考情及趋势分析教育部2019年11月发布的《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》和2022年版《义务教育数学课程标准》中均指出：情境创设的真实性．考情分析年份题号题型分值情境设问2023(10次)2选择题3实物背景北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶关于三视图说法正确的是8选择题3实际问题(七、八年级选择电影观看)两个年级选择影片相同的概率11填空题3某校给每个年级配发劳动工具3个年级需要配发多少套劳动工具考情分析年份题号题型分值情境设问2023(10次)13填空题3探究“无絮杨”品种苗的生长规律估计不低于300cm的“无絮杨”品种有多少棵17解答题9从甲、乙两家快递公司选一家合作配送樱桃(1)填空：中位数的计算、方差的大小比较；(2)(3)开放性设问19解答题9小军借助反比例函数设计“鱼形”图案(1)求k的值；(2)求扇形半径和圆心角度数；(3)直接写出阴影部分的面积之和20解答题9用自制的测高仪测树高求树的高度考情分析年份题号题型分值情境设问2023(10次)21解答题9购买健身器材的优惠活动(1)一定条件下的最优方案选择；(2)两种活动付款金额相等求原价；(3)一定条件下求原价的取值范围22解答题10羽毛球的击球路线(1)求点P的坐标和字母的值；(2)计算一定条件下的方案选择23解答题10以“图形的变化”为主题设计的问题(1)旋转角度，平移距离；(2)①判断两个角度的数量关系，②两点的距离；(3)一定条件下求线段长2022(9次)7选择题3课后延时服务打分所打分数的众数为10选择题3呼气式酒精测试仪下列说法不正确的是考情分析年份题号题型分值情境设问2022(9次)13填空题3实际问题(选取两名宣讲员)恰好选中甲和丙的概率17解答题9航空航天知识掌握情况(1)填空：中位数的计算、百分比；(2)考查中位数的意义；(3)开放性设问19解答题9开封清明上河园拂云阁求拂云阁的高度20解答题9让学生体验农耕劳动(1)菜苗单价；(2)购买最少花费21解答题9喷水景观(1)抛物线表达式；(2)小红与爸爸的水平距离22解答题10滚铁环(1)求证两角之和等于90°；(2)一定条件下求线段长考情分析年份题号题型分值情境设问2022(9次)23解答题10以“矩形的折叠”为主题展开数学活动(1)写出30°的角；(2)①求角度；②角之间的数量关系；(3)一定条件下求线段长2021(7次)8选择题3卡片(北斗、天问、高铁、九章)恰好选中天问和九章的概率13填空题3甲、乙两个厂家提供货源更符合规格要求的厂家15填空题3小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏求线段的长17解答题9了解学生睡眠时间情况(1)填空：中位数的计算、百分比；(2)开放性设问考情分析年份题号题型分值情境设问2021(7次)19解答题9龙门石窟卢舍那佛像求佛像的高度20解答题9“石磨原理”跨物理学科“连杆”(1)证明两个角的倍数关系；(2)求线段长21解答题9在网店购买A，B两款猕猴玩偶(1)购进玩偶个数；(2)设计进货方案获得最大利润；(3)根据利润率判断哪次购买更合算2020(6次)8选择题3我国快递业务2017年至2019年收入可列方程为17解答题9山药粉加工厂对甲、乙两台不同品牌分装机的选择(1)填空：中位数的计算、不合格率；(2)方差的意义考情分析年份题号题型分值情境设问2020(6次)18解答题9观星台(1)求观星台最高点距离地面的高度；(2)提减少误差的建议19解答题9健身房暑期优惠活动(1)(2)考查函数关系式并说明实际意义；(3)选取哪种方案所需费用最少2020(6次)20解答题9“三分角器”的原理与使用方法的材料阅读补充已知条件和求证22解答题10小亮遇到问题结合学习函数的经验研究问题(1)①补充表中的值；②对得到的结论说明理由；(2)画图；(3)一定条件下求线段长命题趋势·新考法分析从2019年全国政策文件中提到关于真实问题情境(包含生活情境、科学情境、文化情境、数学情境)，河南试题就开始注重考查真实问题情景试题，通过研究近几年全国考查的真实问题情境类试题，情境可分为下面几类：1.背景情境：也就是我们常说的扣帽子的形式，情境与解题无关(如2023山西10题)；2.应用情境：这类试题情境与设问、图形相关，联系紧密，但仅停留在数学问题上(如2023北京21题)；3.实践应用：该类试题情境与设问强关联，且设问的提出、模型的构成均是来源于现实生活，且对现实生活具有一定的指导价值(如2023河南22题，2023甘肃省卷22题，2023舟山22题).从河南的中招考试分析，我们更应该关注第三类——实践应用的试题，真实情境试题设问回归情境，提出与情境关联性强，且具有实际意义，利用已有的数学知识或创造性的方法解决问题．将所得的数学答案放回真实情境之中，结合实际情况可判断答案是否符合实际或令人满意，反思是否还存在其他可能．类型一圆的实际应用(近4年3考)1.(2023河南定心卷)蜗牛拖拉车(如图①)是一款休闲类玩具．如图②是小华为弟弟自制的一款蜗牛拖拉车，AB，BC为蜗牛的头和身体，蜗牛壳⊙O与BC相切于点B，连接OA，OB，OC，当小华弟弟从点D处拉蜗牛头部的绳子时，D，A，B三点共线，且AO∥BC，点E为CB延长线上一点，∠ABE＝∠OCB.(1)求证：AB＝OC；第1题图(1)证明：∵∠ABE＝∠OCB，∴AB∥OC，又∵AO∥BC，∴四边形ABCO为平行四边形，∴AB＝OC；第1题图(2)若OB＝5cm，BC＝12cm，点D到点B的水平距离为132cm，求绳子AD的长度．第1题图(2)解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于点F，∟F∵BC为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，在Rt△OBC中，OC＝

＝13，∵∠ABE＝∠OCB，∴△DFB∽△OBC，∴，

即

，

解得DB＝143，由(1)得AB＝OC＝13，∴AD＝DB－AB＝143－13＝130cm.第1题图∟F2.(2023河南定心卷)如图①，太阳能热水器是指利用阳光中蕴含的能量将水加温的设备，属于可再生能源技术的一种．小明画出了热水器的示意图如图②所示，圆为水箱，AB为集热板，CD，AE为支架，CD垂直于屋面BC，延长BA与CD的延长线恰好交于圆上一点F，AE与圆相切于点A，经测量∠AEF＝∠B.(1)求证：BF过圆的圆心；第2题图(1)证明：由题意可知∠C＝90°，∴∠B＋∠BFC＝90°，∵∠AEF＝∠B，∴∠AEF＋∠BFC＝90°，∴∠FAE＝90°，∵AE是圆的切线，切点为A，∴FA是圆的直径，∴BF过圆的圆心；

第2题图(2)若经测量热水器水箱直径长60cm，∠B＝60°，CD＝136cm，求热水器高度．第2题图(2)解：如图，连接AD，取AF的中点为点O，过点O分别作OH⊥BC于点H并交AD于点P，OG⊥FC交FC于点G，O∟G∟HP则四边形OGCH为矩形，∵CD＝136，∴PH＝136，∵AF为⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∵∠C＝90°，∴AD∥BC，∴∠FAD＝∠B，∵∠B＝60°，∴sin∠FAD＝sinB＝

，即

，∵AF＝60，∴FD＝30，OA＝30，第2题图O∟G∟HP∵OH⊥BC，AD∥BC，∴∠OPA＝∠OHB＝90°，∵∠OAP＝∠FAD，∴△OAP∽△FAD，∴，∴OP＝15，∴热水器的高度为30＋15＋136＝(166＋15)cm.第2题图O∟G∟HP3.

如图①，过山车是一种机动游乐设施，常见于游乐园和主题乐园中，深受许多年轻游客的喜爱.如图②，过山车的轨道近似看成⊙O

，轨道的支撑AB，CD均与地面BC垂直，且与相切，点E为CD上一点，连接AE交⊙O

于点F，连接DF并延长与BC交于点G.已知AB=AD.(1)求证：△ADE≌△DCG;第3题图(1)证明：∵AB，CD均与地面BC垂直，且与⊙O相切，∴∠ADE＝∠DCG＝∠ABC＝∠BAD＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∠ADF＋∠CDG＝90°，∴AB＝CD，∵点F在⊙O上，AD为⊙O的直径，∴∠AFD＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°，∴∠CDG＝∠DAE，∵AB＝AD，∴AD＝CD，在△ADE与△DCG中，第3题图

∴△ADE≌△DCG(ASA)；第3题图(2)若DE＝2，⊙O的半径为3，求AF的长．第3题图(2)解：由(1)知∠ADE＝90°，∠AFD＝90°，∵DE＝2，⊙O的半径为3，∴AD＝6，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE＝

，在△ADE中，根据三角形面积公式可知AD·DE＝

AE·DF，

∴DF＝

＝3，

∴在Rt△ADF中，

由勾股定理得AF＝

.第3题图4.(2023河南黑白卷)如图①是少年宫科技发明小组制作的一个钟表，钟面的大小会随时间的变化而发生改变．钟表底座为两根金属滑槽MN和GH，且MN⊥GH交于点O，钟面由若干个形如菱形ABCD的可活动木条组成，指针OP绕点O转动，菱形的顶点点B与点P用连杆连接．如图②，⊙O为P点的运动轨迹，⊙O与OH交于点E，连接PE，当BP与⊙O相切时，点A，B，P恰好在同一条直线上．请仅就图②的情形解答下列问题：第4题图(1)求证：∠PBO＋2∠PEO＝90°；第4题图(1)证明：如图，连接OP，∵BP与⊙O相切，∴OP⊥BP，∴∠PBO＋∠BOP＝90°，∵OP＝OE，∴∠OPE＝∠PEO，∴∠BOP＝∠OPE＋∠PEO＝2∠PEO，∴∠PBO＋2∠PEO＝90°；(2)若AB＝OE＝3，BP＝4，求OD的长．第4题图②(2)解：在Rt△BOP中，OB＝

＝5.如图，过点A作AQ⊥BD于点Q，∟Q∵四边形ABCD为菱形，∴BD＝2BQ，∵AQ⊥BD，∴∠AQB＝90°，∵∠ABQ＝∠OBP，由(1)知∠BPO＝90°，∴∠AQB＝∠BPO＝90°，∴△ABQ∽△OBP，∴，

∴BQ＝

，

∴BD＝2BQ＝

，∴OD＝OB＋BD＝5＋

＝

.第4题图②∟Q类型二几何测量问题(9年9考)1.

某数学兴趣小组计划测量学校教学楼的高度，他们在阳光下进行测量，如图，是同一时刻测量活动场景抽象出的平面几何图形，教学楼AB的影长为65m，在教学楼影子末端点C处放着测角仪CD，CD的长为1.5m，测角仪的影长CE为2.3m，且AB

EC，CD

LEC，点B，C，E在同一直线上，求教学楼的高度(结果保留整数).⊥⊥第1题图解：由题意得∠ABC＝∠DCE＝90°，AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEC，∴△ACB∽△DEC，∴，

∴，

∴AB≈42(m)，答：教学楼的高度约为42m.第1题图2.

如图①，中原大佛，位于河南省平顶山市鲁山县赵村乡上汤村佛泉寺，是世界上最高的佛教造像。某数学活动小组在学习完“锐角三角函数”之后，决定测量中原大佛的高度。为了减小误差，该数学活动小组在测量仰角的度数以及两个测量点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整):第2题图①活动课题测量中原大佛的高度活动工具测角仪和皮尺测量示意图

说明：如图②，AB是中原大佛的截面图，他们先在点C处用高为1.5m的测角仪CE测得塔顶点A的仰角∠AEF的度数，然后沿CB向D处前进，到达点D后用同样的测角仪从点D处测得点A的仰角∠AFG的度数，CD之间的距离可以直接测得，且点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内

第2题图①第2题图②测量数据测量项目第一次

第二次平均值∠AEF39.8°40.2°40°∠AFG44.7°45.3°45°C，D之间的距离39.2m39.4m____m…(1)两次测量C，D之间的距离的平均值是__________m；39.3第2题图②(2)根据以上测量结果，请你帮助该数学活动小组计算中原大佛AB的高度．(结果精确到1m，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(2)由题意得CE⊥CB，DF⊥CB，AB⊥CB，四边形EFDC为矩形，∠AEF＝40°，∠AFG＝45°，CD＝EF＝39.3m，∵∠AFG＝45°，∴AG＝FG.设AG＝FG＝x，则EG＝(x＋39.3)m.在Rt△AEG中，tan∠AEF＝tan40°＝

≈0.84，解得x≈206.3.第2题图②经检验，x＝206.3是原分式方程的解．∴AB＝AG＋BG＝206.3＋1.5≈208(m)．答：中原大佛AB的高度约为208m.第2题图②3.小明利用所学知识来测量操场上的一个照明灯的高度.如图所示，矩形PDCQ为照明灯AB一侧观礼台的竖直截面示意图，他先到观礼台底部点C处，用测角仪CE测得照明灯顶端点A的仰角为45°,再在平台上点D处放置一个平面镜，在距平面镜1.7m的点G处恰好看到照明灯顶端点A，此时小明眼睛到观礼台的高度FG为1.6m，其中点Q，C，B在同一直线上，AB

BC，FG

DG，EC

BC.已知测角仪CE的高度为1.5m，观礼台CD的高度为2m，求照明灯的高AB.(平面镜的大小，测角仪的宽度忽略不计)⊥⊥⊥第3题图第3题图解：如图，分别过点D，E作AB的垂线，垂足分别为M，N，∟M∟N∵AB⊥BC，四边形PQCD为矩形，∴DC⊥BC，∴四边形DMNE，四边形ENBC均为矩形，∴DM＝EN＝CB，CE＝BN，DE＝MN，∵∠AEN＝45°，∴EN＝AN，设DM＝x，则CB＝EN＝AN＝x，∵DC＝2，CE＝1.5，∴MN＝DE＝DC－EC＝0.5，∴AM＝AN－MN＝x－0.5，由平面镜反射可得，∠FDG＝∠ADM，∵∠FGD＝∠AMD＝90°，∴△ADM∽△FDG，∴，即

，解得x＝8.5，第3题图∟M∟N∴AB＝8.5＋1.5＝10，答：照明灯的高AB为10m.4.(2023河南定心卷)2023年3月15日新晋高速公路全线通车，从陵川县到河南省新乡市也将从过去的3个多小时缩短至1个多小时，沿线共11座隧道．如图①，前期开挖其中一条隧道时，为了估算工程量，需要测量山两端AB的长，如图②，在山外一点C处测得点A位于点C的西北方向，点B位于点C的北偏东37°方向，并测得AC的距离为141m，BC的距离为500m，求山两端AB的长(结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，

≈1.41)．第4题图第4题图②解：如图，过点C作东西方向水平线DE，过点A作AD⊥DE于点D，过点B作BE⊥DE于点E，DE∟∟由题意可知，∠ACD＝45°，∠CBE＝37°，AC＝141，BC＝500，在Rt△ACD中，sin∠ACD＝

，cos∠ACD＝

，∴AC＝

＝

CD＝

AD＝141≈100，∴CD＝AD≈100，在Rt△BCE中，sin∠CBE＝

，cos∠CBE＝

，∴CE＝BC·sin∠CBE＝500sin37°，BE＝BC·cos∠CBE＝500cos37°，过点A作AF⊥BE交BE于点F，第4题图②DE∟∟∟F∴四边形ADEF为矩形，∴AF＝DE，AD＝EF，在Rt△ABF中，AB＝

≈500m.答：山两端AB的长约为500m.类型三抛物线型的实际应用(近2年连续考查)1.(2023河南黑白卷)如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动(不考虑空气阻力)，用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系(小球的体积忽略不计)，得到小球的位置坐标(x，y)，根据平抛运动可知x，y与时间t的关系如下：

已知桌面的高度为100

厘米，观测到三个时刻小球的位置坐标如下表：第1题图t(秒)123x(厘米)102030y(厘米)－5－20－45(1)求v和g的值；第1题图解：(1)∵x＝vt，∴将(1，10)代入x＝vt中，得v＝10，∵y＝－

gt2，∴将(1，－5)代入y＝－

gt2中，得g＝10，∴v＝10，g＝10；(2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式；第1题图(2)∵v＝10，g＝10，∴x＝10t，y＝－5t2，∴y关于x的解析式，即做平抛运动的运动轨迹所形成的抛物线解析式为y＝－

；(3)小球水平抛出的正前方有一高为20厘米的正方体纸箱(纸箱厚度忽略不计)，若要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围.第1题图(3)∵桌面的高度为100厘米，正方体纸箱的高度为20厘米，小球要落入纸箱，则小球要在y＝－80时进入纸箱，∴将y＝－80代入y＝－

，解得x＝40(负值已舍去)，∵正方体纸箱的高度为20厘米，∴纸箱左侧到桌子的最短水平距离为40－20＝20(厘米)，∴纸箱到桌子的水平距离L的取值范围为20厘米＜L＜40厘米．2.(2023河南定心卷)中考体育考试规定男生立定跳远满分为2.5m，如图①，小勇立定跳远为2.4m，小聪发现小勇立定跳远时脚的运动轨迹可近似看作抛物线，通过电子仪器测量得到小勇跳远时脚离地面的最高距离为72cm，如图②，以小勇起跳点为原点建立平面直角坐标系，小勇落地点为A，最高点为B.第2题图(1)求小勇跳远时抛物线的表达式；第2题图解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由题意知，点B(1.2，0.72)是抛物线的顶点，∴y＝a(x－1.2)2＋0.72，又∵抛物线经过点A(2.4，0)，∴0＝a(2.4－1.2)2＋0.72，解得a＝－0.5，∴抛物线的表达式为y＝－0.5(x－1.2)2＋0.72(或y＝－0.5x2＋1.2x)；(2)①由题意知，小勇调整跳远姿势后新抛物线过原点(0，0)，∴设新抛物线表达式为y＝mx2＋bx，∵抛物线经过点(2.5，0)，把(2.5，0)代入y＝mx2＋bx中，(2)体育老师告诉小勇他的跳远姿势不对，调整跳远姿势后，小勇恰好跳到了2.5m处，并在1.2m处通过电子仪器测得小勇脚离地面的高度为0.624m.①求小勇跳到最高处时脚离地面的高度；第2题图解得b＝－2.5m，∴新抛物线的表达式为y＝mx2－2.5mx，∵抛物线经过点(1.2，0.624)，将(1.2，0.624)代入y＝mx2－2.5mx中，解得m＝－0.4，∴y＝－0.4x2＋x，其顶点为(1.25，0.625)，则小勇跳到最高处时脚离地面的高度为0.625m；第2题图②若男生立定跳远及格线为185cm，求小勇在立定跳远过程中到及格线时脚离地面的高度．第2题图②∵185cm＝1.85m，将x＝1.85代入y＝－0.4x2＋x中，得y＝－0.4×1.852＋1.85＝0.481m，∴小勇在立定跳远过程中到及格线时脚离地面的高度为0.481m.3.根据以下素材，探索完成任务如何设计隧道的限高方案

素材1如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，经测量，其高度PH为8米，宽度OA为16米，图②是其示意图.素材2此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米(AB＝2米)这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于米．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．第3题图(1)确定隧道形状：在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；第3题图②解：(1)如图，以O为原点，以OA所在直线为x轴，以垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，x/米y/米由题意得，顶点P的坐标为(8，8)，∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x－8)2＋8(a≠0)．又∵图象经过原点(0，0)，∴0＝a(0－8)2＋8，∴a＝－

，∴抛物线的函数表达式为y＝－

(x－8)2＋8，即y＝－

x2＋2x；(2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材2的要求安全通过，求该隧道限高多少米？(2)设该隧道限高h米，∵OA＝16，AB＝2，∴OB＝14，当车高h一定，x＝14时，车辆顶部与隧道的空隙最小，此时，y＝－

×(14－8)2＋8＝

，此时，车辆顶部与隧道的最小空隙＝

－h，由题意，车辆顶部与隧道的最小空隙＝

－h≥，∴h≤3.∴该隧道限高3米；第3题图②x/米y/米