求圆锥曲线中的动点轨迹方程专题（1）定义法教学设计-高二上学期数学人教A版选择性

课题求圆锥曲线中的动点轨迹方程专题（1）定义法教材分析本节是人教A版（2019）选择性必修一的第三章《圆锥曲线的方程》专题课的内容，主要学习通过题中所给条件，寻找动点p满足圆锥曲线定义的条件，利用圆锥曲线的定义说明动点p的轨迹是什么轨迹，再写出参数的值，选取圆锥曲线标准方程的形式得到动点的轨迹方程.圆锥曲线虽然是生产生活中常见的曲线，但对圆锥曲线几何特征的探究与发现是个难点，因此熟记圆锥曲线的定义，通过画图得到圆锥曲线定义满足的条件是几何方法研究动点轨迹的常见方法数形结合法，为得到圆锥曲线的标准方程，需要判断焦点所在的轴和参数的值.因此本节课有必要以专题的形式拿出来进行讲解，通过题意分析得到动点P满足定义的条件，再利用参数写出动点的标准方程是本节的重点也是难点内容.课程目标1.理解圆锥曲线的几何特征，圆锥曲线的标准方程.2.掌握圆锥曲线的定义，并会通过题中条件寻找到满足圆锥曲线定义的条件，用定义法得到动点的轨迹及方程．3.理解圆锥曲线的定义存在的条件，并能利用定义法解决相关问题．数学学科素养逻辑推理：根据题意画出图形和抽象出动点满足的条件，通过定义推导动点的轨迹方程.2.数学运算：根据几何特性这一条件得到圆锥曲线的定义，用定义得到相应参数的值，从而动点的标准方程.3.数学建模：通过圆锥曲线的定义利用圆锥曲线的图形建立动点满足定义的条件，得到动点的轨迹.教学重难点重点：通过题意分析得到动点P满足定义的条件，再利用参数写出动点的标准方程.难点：通过题意分析得到动点P满足定义的条件，再利用参数写出动点的标准方程.课前准备多媒体教学环节时间安排教师活动学生活动设计意图批注2min35min3min一、复习回顾，情景导入1.椭圆的定义是什么？答案：在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.数学表达式是什么？答案：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数（1）若a＞c，则集合P为椭圆（2）若a＝c，则集合P为线段（3）若a＜c，则集合P为空集3.椭圆的标准方程是什么？答案：焦点在轴上：焦点轴上:.4.双曲线的定义是什么？答案：平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.5.数学表达式是什么？集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若a>c，则集合P为空集.6.双曲线的标准方程是什么？答案：焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,).7.抛物线的定义是什么？答案：平面内与一个定点F和一条定直线l（其中定点F不在定直线l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．8.数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).9.抛物线的标准方程：答案：焦点在x轴上，焦点在y轴上二、探索新知探究一、判断动点的轨迹思考题：（2023·全国·高三专题练习）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（

）A．椭圆B．直线 C．线段D．圆思考1.题中已知条件有几个定点？答案：有两个定点2.我们学习的哪个定义中出现了两个定点？答案：椭圆和双曲线，几何意义是什么？答案：动点P到两个定点A,B的距离之和是常数44.这个条件满足哪个定义的条件？答案：椭圆5.还需要满足什么条件，就说明动点P的轨迹是椭圆？答案：设|AB|=1=2c,,又因为，所以P的轨迹是椭圆.改为，动点P的轨迹呢？答案：，所以P的轨迹是线段.改为，动点P的轨迹呢？答案：，所以P的轨迹是不存在的.探究二、利用定义判断轨迹，写出参数，求出动点的轨迹方程思考题.点到点、的距离之和为10，写出满足下列条件的动点的轨迹方程思考：1.由探究一可知动点P的轨迹是什么？答案：，，，所以动点P的轨迹是椭圆.2.参数a,b,c的关系是什么？答案：3.题中已知a,c，可以利用这个关系式求出吗？答案：，，所以动点P的轨迹方程为：.三、学以致用题型一、利用定义判断轨迹例1．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（

）A．B．C．D．答案：双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解.由于，因此满足，的动点P的轨迹均不是双曲线，满足的动点P的轨迹是双曲线的右支，而满足的动点P的轨迹才是双曲线．故选：B．例2．（2024·全国·高三专题练习）若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（

）A．椭圆B．抛物线C．直线D．双曲线答案：根据给定条件，利用抛物线定义确定轨迹。动点到点的距离和它到直线的距离相等，而点不在直线，所以动点的轨迹是以点到直线的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.故选：B针对练习1．（2023·全国·高三专题练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．直线C．线段 D．圆答案：由题设知：，此时动点P必在线段AB上，即动点轨迹为线段.故选：C由题设知：，此时动点P必在线段AB上，即动点轨迹为线段.故选：C2．（2023秋·高二课时练习）已知，，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左支C．一条射线D．双曲线右支答案：因为，于是有，所以动点P的轨迹是一条射线．故选：C3.已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（

）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线答案：由抛物线的定义求解即可.由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.故选：C题型二、利用定义判断轨迹，写出参数，求出动点的轨迹方程例3.已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．答案：根据双曲线的定义，依题意，，所以，由于双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程是.故选：D针对练习1．设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．答案：因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A.2.若，，点P到，的距离之和为10，则点P的轨迹方程是答案：根据椭圆的第一定义，因为，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，故点P的轨迹方程为.故答案为：四、小结今天学习了什么？（学生总结）答案：今天学习了利用圆锥曲线的定义解决轨迹和轨迹方程的问题，利用数形结合的思想方法通过定义满足的条件得到轨迹和轨迹方程.五、作业1．平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（

）A．椭圆 B．一条直线C．两条射线 D．双曲线答案：当时，点M的轨迹为的垂直平分线，当时，点M的轨迹为两条射线，当时，点M的轨迹为双曲线，当时，点不存在，故选：BCD2.已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（

）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线答案：由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.故选：C3.已知动圆M与两圆和都外切，则动圆M的圆心轨迹是（

）A．双曲线B．双曲线的一支C．抛物线D．前三个答案都不对答案：题中两圆分别记为圆以及圆，设动圆圆心为，半径为r，则，于是为定值，因此动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支，故选：B.4．若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（

）A．B．C．D．答案：依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离，所以的轨迹为抛物线，，所以点的轨迹方程为.故选：D5.已知两定点，，曲线上的点到、的距离之和是12，则该曲线的标准方程为.答案：由条件可知，，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，，，，所以椭圆的标准方程为.故答案为：6.已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．答案：依题意，，所以，由于双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程是.故选：D师生互动，老师提问，学生思考，回答问题师生互动，老师提问，学生思考，回答问题师生互动，老师提问，学生思考，回答问题师生互动，老师提问，学生思考，回答问题师生互动，老师提问，学生思考，回答问题师生互动，老师提问，学生思考，回答问题师生互动，老师提问，学生思考，回答问题师生互动，老师提问，学生思考，步步为营，解决问题师生互动，老师提问，学生思考，步步为营，解决问题师生互动，老师提问，学生思考，步步为营，解决问题师生互动，老师提问，学生思考，步步为营，解决问题师生互动，老师提问，学生思考，步步为营，解决问题师生互动，老师提问，学生思考，巩固思维的形成，解决问题师生互动，老师提问，学生思考，巩固思维的形成，解决问题师生互动，老师提问，学生思考，巩固思维的形成，解决问题学生独立完成学生独立完成学生独立完成师生互动，老师提问，学生思考，巩固思维的形成，解决问题学生独立完成师生共同完成学生独立完成师生共同完成学生独立完成学生小结复习相关内容为本节课服务引导学生思考，总结，从而自然引出方法，得到结论，培养学生的逻辑思维能力，数形结合能力引导学生思考，总结，从而自然引出方法，得到结论，培养学生的逻辑思维能力，数形结合能力引导学生思考，总结，从而自然引出方法，得到结论，培养学生的逻辑思维能力，数形结合能力引导学生思考，总结，从而自然引出方法，得到结论，培养学生的逻辑思维能力，数形结合能力通过例题，进一步巩固判断动点轨迹是什么图形的方法，提高学生分析问题，解决问