高中数学选择性必修二课件：4 3 2 第2课时 等比数列前n项和公式的应用(人教A版)

第2课时等比数列前n项和公式的应用第四章

4.3.2等比数列的前n项和公式学习目标XUEXIMUBIAO1.能够把实际问题转化成数列问题.2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE1.解应用问题的核心是建立数学模型.2.一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.3.注意问题是求什么(n，an，Sn).注意：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答.(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确.(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系.(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求.知识点等比数列前n项和的实际应用预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要A.6秒钟 B.7秒钟

C.8秒钟 D.9秒钟√解析根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，∴2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8，即至少需8秒细菌将病毒全部杀死.2.某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为A.1.14a B.11×(1.15－1)aC.1.15a D.10×(1.16－1)a解析从今年起到第5年，这个厂的总产值为a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15√3.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则这10个正方形的面积和等于________.212－4解析依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项，3.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则这10个正方形的面积和等于________.212－4解析依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项，4.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)＝___.解析设每天植树的棵数组成的数列为{an},由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2,6由2n＋1－2≥100，得n≥6.2题型探究PARTTWO一、等比数列前n项和在几何中的应用例1

如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆.如此下去，前n个内切圆的面积和为___________.解析设第n个正三角形的内切圆的半径为an，设前n个内切圆的面积和为Sn，设前n个内切圆的面积和为Sn，反思感悟此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性.跟踪训练1

侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn，则√解析由题意，从外到内正方形的边长依次为二、等比数列前n项和公式的实际应用(1)设n年内(2018年为第一年)总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式；(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg5＝0.6990)所以n年内的总投入为所以，n年内的总收入为(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入.解设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此Tn－Sn>0，答至少到2022年旅游业的总收入才能超过总投入.反思感悟解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学(数列)问题，弄清该数列的结构和特征.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.跟踪训练2

某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式；解当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，an＝4＋2(n－1)＝2n＋2，(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得，当1≤n≤7时，Sn＝4n＋n(n－1)＝n2＋3n，当n≥8时，由S7＝70，该生产线前n年每年的平均维护费用则第10年年初需要更新该生产线.例3

某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；三、递推公式在实际问题中的应用解由题意，得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).由题意，得am＝4000，反思感悟用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.跟踪训练3

某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年(1)求前n年旅游业的总收入(用代数式表示)；解设第n年的旅游业收入估计为an万元，则a1＝400，(2)试估计大约从第几年开始，旅游业的总收入超过8000万元.∴大约第9年后，旅游业总收入超过8000万元.3随堂演练PARTTHREE1.河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像个数依次是下层个数的2倍，该洞窟浮雕像总共有1016个，则第5层浮雕像的个数为A.64 B.128 C.224 D.512解析设最下层的浮雕像的数量为a1，12345√解得a1＝8，则an＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，所以a5＝27＝128.2.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为√1234512345解析由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，3.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了A.24里 B.48里

C.96里 D.192里12345√12345解得a1＝192，所以第一天走了192里.123454.国家男子足球队某运动员一脚把球踢到32米高处，从此处开始计算，假设足球每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，则第4次着地时，该球所经过的总路程为_____米；则第5次着地时，该球所经过的总路程为_____米.889212345解析足球第1次落地经过的路程为32；123455.将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大堆成塔状，平放在桌面上.上面一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不断堆放.如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木露在外面的面积之和为Sn，则Sn＝________.解析最底层正方体的棱长为1，则该正方体的除底面外的表面积为5×12＝5；1234512345则它们的表面积为1.知识清单：(1)构造等比数列.(2)建立数学模型.2.方法归纳：构造法、转化法.3.常见误区：在实际问题中首项和项数弄错.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.某森林原有木材量为am3，每年以25%的速度增长，5年后，这片森林共有木材量基础巩固12345678910111213141516解析森林中原有木材量为a，一年后为a(1＋25%)，两年后为a(1＋25%)2，…，五年后为a(1＋25%)5.√2.某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕a万亩，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕A.10a(1.18－1)万亩 B.a(1.18－1)万亩C.10a(1.17－1)万亩 D.a(1.17－1)万亩√解析记2018年为第一年，第n年退耕an万亩，则{an}为等比数列，且a1＝a，公比q＝1＋10%，则问题转化为求数列{an}的前8项和，12345678910111213141516所以到2025年一共退耕10a(1.18－1)万亩.3.我国工农业总产值从1997年到2017年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有A.(1＋x)19＝4 B.(1＋x)20＝3C.(1＋x)20＝2 D.(1＋x)20＝4解析设1997年总产值为1，由于我国工农业总产值从1997年到2017年的20年间翻了两番，说明2017年的工农业总产值是1997年工农业总产值的4倍，则(1＋x)20＝4.√123456789101112131415164.某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元.从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%.照此推算，此人2021年的年薪为(结果精确到0.1)A.9.3万元 B.10.4万元

C.12.14万元 D.14万元12345678910111213141516√解析由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元为公差的等差数列，绩效工资以2000元为首项，以1.1为公比的等比数列，则此人2021年每月的基础工资为2100＋210(12－1)＝4410(元)，每月的绩效工资为2000×1.111≈5706.23(元)，则此人2021年的年薪为12(4410＋5706.23)≈12.14(万元).123456789101112131415165.刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价6000元的手机，约定从下月5日开始，每月5日按等额本息(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款a元，1年还清；其中月利率为0.5%，则小明每月还款数a(精确到个位，参考数据：1.00511≈1.056；1.00512≈1.062；1.00513≈1.067)A.488元 B.500元

C.514元 D.602元√1234567891011121314151612345678910111213141516解析由题意知小明第1次还款a元后，还欠本金及利息为[6000(1＋0.5%)－a]元，第2次还款a元后，还欠本金及利息为[6000(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a]元，第3次还款a元后，还欠本金及利息为[6000(1＋0.5%)3－a(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a]元，以此类推，则第12次还款a元后，还欠本金及利息为[6000(1＋0.5%)12－a(1＋0.5%)11－…－a(1＋0.5%)－a]元，此时已全部还清，则6000(1＋0.5%)12－a(1＋0.5%)11－…－a(1＋0.5%)－a＝0，123456789101112131415166.某厂去年的产值记为1.若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为____.(保留一位小数，取1.15≈1.6)123456789101112131415166.612345678910111213141516解析由题意可知，第一年要比上年增长10%，那么第一年产值就是1＋10%＝1.1，第二年又比第一年增加10%，所以第二年产值是1.12，…，以此类推，第五年产值是1.15，123456789101112131415167.农民收入由工资收入和其他收入两部分构成.2015年某地区农民人均收入为13150元(其中工资收入为7800元，其他收入为5350元).预计该地区自2016年起的6年内，农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元.根据以上数据，2021年该地区农民人均收入约为_______元(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42)17386解析农民人均收入来源于两部分，一是工资收入为7800×(1＋6%)6＝7800×1.066≈11076(元),二是其他收入为5350＋6×160＝6310(元)，因此，2021年该地区农民人均收入为11076＋6310＝17386(元).123456789101112131415168.小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱且将所有的存款和利息全部取出，则可取回__________________元.(写化简后结果)ap＋2a解析依题意，2019年1月1日存款a元后，帐户中一共有a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)元；银行利息为单利计息，故2022年1月1日可取出钱的总数为a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)，12345678910111213141516123456789101112131415169.王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清(2027年12月31日还清)，每年年底等额还款(每次还款金额相同)，设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元.(1)设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；解由题意得，a2＝100000(1＋5%)2－m(1＋5%)－m＝110250－2.05m.(2)求每年的还款额(精确到1元).解因为100000(1＋5%)10＝1.059m＋1.058m＋…＋m，123456789101112131415161234567891011121314151610.某地今年年初有居民住房面积为am2，其中需要拆除的旧房面积占了一半，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除xm2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰.(1)如果10年后该地区的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少？注：下列数据供计算时参考：1.19≈2.361.00499≈1.041.110≈2.61.004910≈1.051.111≈2.851.004911≈1.06解设今年人口为b人，则10年后人口为b(1＋4.9‰)10≈1.05b.1年后的住房面积为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，2年后的住房面积为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)，3年后的住房面积为(1.12a－1.1x－x)×(1＋10%)－x＝1.13a－x(1＋1.1＋1.12)，…，10年后的住房面积a×1.110－x(1＋1.1＋1.12＋…＋1.19)1234567891011121314151612345678910111213141516(2)依照(1)的拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧房？11.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得资金1000元，则B，C所分得资金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配资金，且甲与丙共获得资金36200元，则“衰分比”与丁所获得的资金分别为A.20%,14580元 B.10%,14580元C.20%,10800元 D.10%,10800元综合运用12345678910111213141516√12345678910111213141516解析设“衰分比”为q，甲获得的奖金为a1，则a1＋a1(1－q)＋a1(1－q)2＋a1(1－q)3＝68780.a1＋a1(1－q)2＝36200，解得q＝0.1，a1＝20000，故a1(1－q)3＝14580.1234567891011121314151612.2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记2016年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利.根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利A.2020 B.2021

C.2022 D.2023√解析由题意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8＋2(n－1)＝2n＋6(千万元)，第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为12345678910111213141516∵f(n＋1)－f(n)12345678910111213141516∴当n≤3时，f(n＋1)－f(n)＜0，故当n<4时，f(n)单调递减；当n≥4时，f(n＋1)－f(n)＞0，故当n≥4时，f(n)单调递增.∴该项目将从第8年开始并持续赢利.该项目将从2023年开始并持续赢利.13.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的设备费用高42万元，第七实验室比第四实验室的设备费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要A.3233万元 B.4706万元C.4709万元 D.4808万元12345678910111213141516√解析设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为an万元(n＝1,2,3，…，10)，依题意x＋1536≤1700，即x≤164.123456789101112131415161234567891011121314151614.程先生买了一套总价为80万元的住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清.问程先生每月应还款________元(精确到0.01元).(参考数据1.005360≈6.0226)(注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x元，此时贷款余额为a(1＋0.5)%－x元)2997.75解析设程先生在第n个月时还欠银行贷款an万元，每月固定还款x万元，则an＝an－1(1＋0.5%)－x，a0＝50，an＋k＝1.005(an－1＋k)，an＝1.005an－1＋0.005k.所以k＝－200x，{an－200x}是公比为1.005的等比数列，即an－200x＝(a0－200x)·1.005n.由a360＝0得0－200x＝(50－200x)·1.005360.利用计算器可以求得x＝0.299775，即每月还款2997.75元.12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.对年利率为r的连续复利，要在x年后达到本利和A，则现在投资值为B＝Ae－rx，e是自然对数的底数.如果项目P的投资年利率为r＝6%的连续复利.(1)现在投资5万元，则满10年的本利和约为________；(精确到0.1万元)9.1万元解析由题意：5＝Ae－6%n，∴A＝5·e6%n.当n＝10时，本利和为A＝5·e6%n＝5·e0.6≈9.1(万元).12345678910111213141516(2)一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目P投资2万元，那么，至少满____年基金共有本利和超过一百万元.(精确到1年)23解析由题意得B＝2.设n年后共有本利和超过一百万元，则n年后：第一年年初的投资所得为A1＝2·e6%n.第二年年初的投资所得为A2＝2·e6%(n－1).以此类推：第n年年初的投资所得为An＝2·e6%.则满n年后，基金共有本利和为1234567891011121314151612345678910111213141516故至少满23年基金共有本利和超过一百万元.1234567891011121314151616.贺先生想向银行贷款买辆新能源车，银行可以贷给贺先生N元，一年后需要一次性还1.02N元.(1)贺先生发现一个投资理财方案：每个月月初投资m元，共投资一年，每月的月收益率达到1%，于是贺先生决定贷款12m元，按投资方案投资，求m的值，使得贺先生用最终投资所得的钱还清贷款后，还有120000的余额去旅游(精确到0.01元)；(参考数据1.0112≈1.1268250301,1.0113≈1.1380932804,1.0114≈1.1494742132)12345678910111213141516解由题意得：m[(1＋1%)12＋(1＋1%)11＋…＋(1＋1%)]－12m×1.02＝120000，可知(1＋1%)，(1＋1%)2，…，(1＋1%)12成等比数列，根据等比数列前n项和公式得解得m≈210774.79.12345678910111213141516(2)贺先生又发现一个投资方案：第k个月月初投资km元(k＝1,2，…，12)，共投资一年，每月的月收益率达到1%，则贺先生应贷款多少，使得用最终投资所得的钱还清后，还有120000的余额去旅游(精确到0.01元).123456789101112