高中数学选择性必修3课件：7 3 1 离散型随机变量的均值(人教A版)

7.3.1离散型随机变量的均值学习目标1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题.1.离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为知识梳理知识点一离散型随机变量的均值Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝

＝

为随机变量X的均值或数学期望.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn2.离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的

，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的

.3.离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝

.加权平均数平均水平aE(X)＋b证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量.因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.思考离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？【答案】(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值.知识点二两点分布的均值如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.题型探究探究一

利用定义求离散型随机变量的均值反思感悟求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).(3)写出X的分布列.(4)利用均值的定义求E(X).探究二

离散型随机变量均值的性质反思感悟求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值.(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可.探究三

均值的实际应用反思感悟解答概率模型的三个步骤(1)建模：即把实际问题概率模型化.(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值.(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断.当堂检测1．已知ξ的分布列为【答案】D2．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是(

)A．20 B．25C．30 D．40X10P0.70.3备用工具&资料当堂检测1．已知ξ的分布列为【答案】D反思感悟求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).(3)写出X的分布列.(4)利用均值的定义求E(X).思考离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？【答案】(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值.知识点二两点分布的均值如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量.因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p