福建龙岩市一级校联盟2024年高一4月期中联考数学试题

龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考联考高一数学试卷4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cosB=−，asinB=bsinC，则该三角A．若a∥α,b∥α,则a∥bB．若a∥b，a∥α,则b∥α7.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，若点E，F分别满足AE=AB，AF=AC，平面EB1C1FA.(π,2π)B.(π,4π)A.A>B⇔cos2A<cos2B;;三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.则实数m=13.“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切(即圆锥的内切球).已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为2√3,则该圆锥内切球的表面积为.(容器壁的厚度忽略不计)BC的中点，现将四面体以AB为轴旋转，则线段EF在平面α上投影长度的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知复数z=1+ai(a∈R,i为虚数单位).16.(15分)17.(15分)(2)若三棱锥C-GBH的体积为求圆台0,0,的侧面积18.(17分)如图1,在平面四边形PABC中，PA⊥AB,CD//AB,CD=2AB=2PD=2AD=4.E是线段PC上靠近P端的三等分点，F是线段CD的中点，DE∩PF=M.将△PDC沿CD折成四棱锥P-ABC(1)在图2中，证明：PA//平面BDE.(2)在图1中，求的值.19.(17分)现有长度分别为1,2,3,4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.(1)求出所有可能的三角形的面积.②当cosA=时，△ABD所在平面内是否存在点P，使得PA+PB+PD达到最小？若有最小值，则求龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考联考高一数学参考答案12345678ABABDAAD9ACDABD8.【详解】因为a2−b2=bc，所以a2=b2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，所以b2+bc=b2+c2−2bccosA，即b=c−2bcosA，由正弦定理得sinB=sinC−2sinBcosA，因为C=π−(A+B)，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，则sinB=sinAcosB−cosAsinB，即sinB=sin(A−B).因为△ABC是锐角三角形，所以0<A<，0<B<，所以−<A−B<.又y=sinx在−,上单调递增，所以B=A−B，则A=2B. π 因为△ABC是锐角三角形，所以因为△ABC是锐角三角形，所以0<B< π 0<A0<A=2B< π ,2所以<B<，由正弦定理得2R=b=22<2R<2对于C，展开两线段所在的平面，得矩形ABC1D1及等腰直角三角形B1BC1，由余弦定理可计算AP+B1P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.DQc平面CDQ,∴AB⊥平面CDQ,又CDc平面CDQ,∴AB⊥CD,∴GE⊥GF,在Rt△EGF中，∵GF//AB,ABc平面α,GFa平面α,∴GF//平面α,GE与GF的垂直性保持不变，且GF=2,长度不变.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.(本题满分13分)所以a=−.1+i1+i21+a>01+a>0由+−+−即所以−==5.+abcos<a,b>==ab=ab4所以向量a与b的夹角的余弦值为−5.C∥O2B.G=O2B，O2FE，O2F2F=602F=120又∵GH∥O2F，BG=O2B=2，故VC−GBH=⋅S∆GBH⋅h=在Rt△CGB中，BC==.49=49=又CD=2AB，所以OC=2OA，又∵E是线段PC上靠近P端的三等分点，（2）解：由DEPF=M，可知D，E，M三点共线，P，F，M三点共线.由P，F，M三点共线，可设=λ（0<λ<1∴PF=λPM.∴PF=PD+PC，∴PC=3PE，113λ3λ故λPM=2PD+2PE，即PM=2PD+2PE.λ3λ1由D，E，M三点共线，可得+=1，解得λ=λ3λ1PMMF当三角形三边为1+2，3，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值cosθ==，sinθ=11−2∆=当三角形三边为2，3+1，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值cosθ==，sinθ=;(2)①连接BD,由余弦定理知∴(2sinA+3sinC)²=4sin²A+9sin²C+12sin