广东省汕头市潮南区2024届高三下学期高考考前测试 数学试题【含答案】

2024年潮南区高三级考前测试试题数学本试题满分150分，考试时间为120分钟.注意事项：1.答题前，务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效.3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，若，则满足集合A的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知四边形是平行四边形，，，则（

）A． B．C． D．4．已知等差数列的前项和为，，，若，则（

）A．8 B．9 C．10 D．115．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则A． B． C． D．6．已知椭圆：的两个焦点分别为，，是上任意一点，则下列不正确的是（

）A．的离心率为 B．的最小值为2C．的最大值为16 D．可能存在点，使得7．在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．已知A，B，C是直线与函数（，）的图象的三个交点，如图所示．其中，点，B，C两点的横坐标分别为，若，则（

）A． B．C．的图象关于中心对称 D．在上单调递减二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（

）A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数C．样本乙的方差一定小于样本甲的方差D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数10．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（

）A．的准线方程为 B．周长的最小值为5C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为11．已知定义城为R的函数．满足，且，，则（

）A． B．是偶函数C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知二项式的展开式中第2项的二项式系数为6，则展开式中常数项为.13．已知圆经过，，三点，（i）则圆的标准方程为；（ii）若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是.14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是中点，是中点.(1)证明：直线平面；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.16．已知函数.(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.(2)若在只有一个零点，求.17．假设甲同学每次投篮命中的概率均为.(1)若甲同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.(2)甲同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数的概率分布列及数学期望.(3)提高投篮命中率，甲学决定参加投篮训练，训练计划如下：先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外再投个.试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？18．已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，.(1)求的方程；(2)记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值.(3)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直.19．在直角坐标平面内，将函数及在第一象限内的图象分别记作，，点在上.过作平行于轴的直线，与交于点，再过点作平行于轴的直线，与交于点.(1)若，请直接写出的值；(2)若，求证：是等比数列；(3)若，求证：.1．C【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念以及复数的几何意义即可得到答案.【详解】，，即复数在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.2．D【分析】根据对数函数求集合M，再分析集合A的元素构成，转化为子集个数即可得结果.【详解】由题意可得：，且，，可知集合A必有1，2两个元素，可能有两个元素，所以满足集合A的个数即为集合的子集个数，共有个.故选：D.3．A【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量求解即得.【详解】在中，由，，得.故选：A4．B【分析】根据给定条件，求出等差数列的首项及公差，再结合前项和及通项公式求解即得.【详解】由，，得，解得，则等差数列的公差，于是，由，得，所以.故选：B5．D【分析】由任意角的三角函数的定义求得，然后展开二倍角公式求．【详解】解：∵角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，∴，∴．则.故选D．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．6．D【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的性质逐项分析计算即可.【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距，对于A，的离心率，A正确；对于B，由，得，因此，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，当不在x轴上时，，，当且仅当取等号，当在x轴上时，，上述不等式成立，因此最大为，D错误.故选：D7．C【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径，根据外接球的球心总在圆锥的高所在的直线上，借助勾股定理建立等量关系即可求出外接球的半径.【详解】设圆锥底面圆半径为，依题意，，解得，圆锥的高，显然圆锥的外接球的球心在线段上，设球的半径为．连接，则由，得，解得，即，所以该圆锥的外接球的表面积．故选：C8．B【分析】根据给定条件，可得，进而求得，结合，得到，再逐项分析判断即可.【详解】由，得，而，且点A在图象的下降部分，则，于是，显然是直线与的图象的三个连续的交点，由点横坐标，即，解得，，解得，，则，而，因此，所以，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，的图象关于不对称，C错误；对于D，当时，，当，即时，函数取得最小值，又，因此在上不单调，D错误.故选：B【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求.9．BCD【分析】根据数据分布的最小值和最大值判断A；根据众数、方差、中位数的概念，并结合图象判断BCD.【详解】对于A，甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于6；从而甲和乙的极差可能相等，A错误；对于B，根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，乙的众数大于甲的众数，B正确；对于C，甲的数据比较分散，乙的数据比较集中，因此乙的方差小于甲的方差，C正确；对于D，甲的各组频率依次为：，其中位数位于[3.5,4.5)之间，乙的各组频率依次为：，其中位数位于[5.5,6.5)之间，所以甲的中位数小于乙的中位数，D正确.故选：BCD10．BD【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A；根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断C；设，结合数量积的坐标运算分析求解.【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点为，准线方程为，又点满足，则，整理得，解得或（舍去），即抛物线，所以准线方程为，焦点为，故A错误；对于选项B：过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可知，则周长，当且仅当、、三点共线时取等号，所以周长的最小值为，故B正确；对于选项C：过点作的平行线，交抛物线于点，即，解得，即，则，所以四边形不是平行四边形，故C错误；对于选项D：设，则，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故D正确；故选：BD11．ABC【分析】通过对抽象等式中的自变量进行赋值求值，依次判断函数的奇偶性、对称性、周期性，再利用周期性求出若干值，对选项依次判断求解.【详解】对于A项，由，令，则，故A项正确；对于B项，令，则，因，故，令，则①，所以函数关于点成中心对称，令，则，令，则②，由①可得：③，由②③可知：，且函数的定义域为，则函数是偶函数，故B项正确；对于C项，令，则，因为，，，代入上式中得，故得：，故C项正确；对于D项，由上可知：，则，故函数的一个周期为4，故，令，则，所以，则，故D项错误．故选：ABC．【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.12．60【分析】首先根据展开式中第2项的二项式系数为6求出，再根据二项式的展开式通项公式求出常数项.【详解】由题意得：，所以，二项式的展开式的通项公式为：，令得：，所以故答案为：60.13．【分析】空1：设圆的一般方程，再代入三个点得到方程组，解出即可；空2：首先求出直线的方程，再求出其对称方程，根据直线与圆的位置关系得到不等式，解出即可.【详解】根据题意可设圆的方程为，其中，则，解得，圆的方程为，即圆的标准方程为；由题意知，直线的斜率为，直线方程为，与的交点为，所以直线关于对称的直线的斜率为，故对称直线的方程为，即，由知，圆心为，半径为2，因为对称直线与圆有公共点，所以，解得，即实数的取值范围为.故答案为：；.14．【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解.【详解】由余弦定理得，两式相减得，因为，所以，由正弦定理得，即，所以，则，因为在中，不同时为，，故，所以，又，所以，则，故，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，又，所以，即的最大值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取的中点，借助三角形中位线及平行四边形性质，利用线面平行的判断推理即得.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【详解】（1）在四棱锥中，取的中点，连接，，由为的中点，得，，在正方形中，是中点，得，，则且，即四边形为平行四边形，因此，又平面平面，所以直线平面.（2）由底面，且四边形为正方形，得直线两两垂直，以A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面的法向量为，则，令，得，设，则，，由，得，，而，设平面的法向量为，则，取，得，设平面与平面的夹角的为，，所以平面与平面的夹角的余弦值为.16．(1)极小值，无极大值；(2).【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值.（2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解.【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，，依题意，，则，，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，无极大值.（2）函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，令，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，函数在取得极小值同时也是最小值，当时，；当时，，画山大致的图象，如图，在只有一个零点时，，所以在只有一个零点吋，.17．(1)(2)分布列见解析，期望为(3)当时，甲同学投篮次数的期望最大.【分析】（1）根据伯努利实验模型即可得到答案；（2）根据步骤列出分布列，再根据期望公式即可得到答案；（3）设中同学投篮似次数为，再得到的可能取值，写出其分布列，计算出其期望，利用作差法研究其单调性即可得到最大值.【详解】（1）依题意，甲同学投篮4次，恰好投中2次的概率.（2）投篮次数的可能取值为2，3，4，，，，所以的分布列为：234所以.（3）设甲同学投篮似次数为，则的可能值为，于是，数学期望，令，则，，因为显然为单调递减函数，则数列是递减的，当时，，当时，，即有，因此最大，所以当时，甲同学投篮次数的期望最大.18．(1)；(2)；(3)存在.【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程.（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式求解即得.（3）设出双曲线的两条切线方程，与双曲线方程联立，结合判别式求出两条切线交点的轨迹方程，再判断与圆的位置关系即可得解.【详解】（1）由对称性知，双曲线过点，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）由（1）得，设，显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，由消去x得，显然，，则，即，所以.（3）圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直.若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且