四川省泸州市古蔺县蔺阳中学校2024届高三下学期二诊模拟考试理科 数学试题【含答案】

蔺阳中学高2021级二诊模拟考试数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，先将自己的班级、姓名、准考证号填涂在答题卡上.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．考试结束后，只将答题卡交回.第I卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则等于（

）A． B． C． D．2．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于复平面的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．5．已知，为钝角，，则（

）A．1 B． C．2 D．6．已知不重合的两条直线，，平面，，且，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（

）.A．①④ B．③④ C．①② D．①③7．已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为()A． B．C． D．8．排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为（

）A．30 B．60 C．120 D．3369．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．10．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（

）A．28 B．29 C．30 D．3111．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（

）A． B． C． D．12．已知，则（

）A． B．C． D．第II卷（非选择题共90分）二填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则．14．已知满足约束条件，则的取值范围为．15．定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则.16．对于函数和，设，，若存在使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在中，．（1）若，求；（2）为边上一点，且，求的面积．18．镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数；(2)现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这10颗板栗中随机抽取4颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为X，求X的分布列与数学期望.19．如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AB=AE=2DF，AEDF.

(1)证明：平面AEC⊥平面CEF；(2)求平面ABE与平面CEF夹角的余弦值.20．已知椭圆的短轴长为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程;（2）设椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，，点，，为椭圆上位于轴上方的两点，且，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程.21．已知函数．(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若有两个极值点，，证明：．（二）选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1题）22．已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程，（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，为曲线上的动点，求三角形面积的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]设函数.（1）当时，解不等式；（2）若对任意，关于的不等式有解，求实数的取值范围.1．D【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域进而得出集合，根据二次根式的意义求出集合，利用并集的定义和运算直接计算即可.【详解】..因此.故选：D2．C【分析】将原式分母实数化得到复数代数形式后求出其共轭复数，根据实部与虚部的符号即可判断所在象限.【详解】因为复数，所以，其对应的点为，在第三象限.故选：C3．A【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A4．D【分析】利用多项式乘法法则，结合二项式定理求解即得.【详解】的展开式中含项为：展开式中项与展开式中项的和，因此展开式中为，所以的展开式中的系数为9.故选：D5．B【分析】首先求出，从而求出，再根据利用两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为，所以，因为为钝角，所以，则，所以.故选：B6．A【分析】结合图像，逐一判断四个命题的正确性.【详解】对于①，画出图像如下图所示，由图可知①正确.证明如下：由于，所以，由于，所以.对于②，画出图像如下图所示，由图可知②错误.对于③，画出图像如下图所示，由图可知③错误.（和①图像相同）对于④，画出图像如下图所示，由图可知④正确.证明如下：由于，所以，由于，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查空间点线面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题.7．C【分析】本题是选择题，可采用排除法，根据函数的不关于轴对称可排除选项D，再根据函数定义域是，排除选项A，利用极限思想可排除B，即可得到所求．【详解】解：如图，因为函数定义域是，排除A选项，当，，排除B，因为，所以函数为偶函数，根据函数图象不关于轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项D.故选：C．8．B【分析】将甲、乙（连同座位）看成一个整体，和丙去插5个座位形成6个空隙，即可得出答案.【详解】将甲、乙连同两个座位捆绑在一起看成一个元素，丙连同一个座位捆绑在一起看成一个元素，剩余5个座位形成6个空隙，从中选出2个空隙安排这两个元素，然后甲、乙可以交换顺序.所以种不同坐法.故选：B9．B【分析】根据三视图知几何体为三棱锥，根据球的性质找到球心，根据勾股定理求出半径，进一步求出表面积.【详解】由三视图可知几何体的底面为腰为2，底边为的等腰三角形，高为，设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为，连接，其中平面，O在直线上，在中，，所以，所以，所以的外接圆半径为，记三棱锥的外接球半径为，则，在中，，解得，所以外接球的表面积.故选：B

10．A【分析】由题意先由递推关系通过累乘法求通项公式，再由单调性解不等式即可得解.【详解】由题意，即，所以，而，所以，由题意令，而是单调递增的，且发现，，所以满足不等式的最大正整数为28.故选：A.11．A【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.【详解】设切点为，，连接，则，，过点作⊥轴于点E，则，故，因为，解得，由双曲线定义得，所以，在中，由余弦定理得，化简得，又，所以，方程两边同时除以得，解得，所以离心率.故选：A【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).12．D【分析】构造函数，利用导数可得的单调性，从而可比较的大小，设，由幂函数的单调性即可比较的大小，从而可得结论.【详解】解：设，则，当时，，则，故在上单调递减，因为，所以，所以，则，即.设，则在上单调递增，因为，所以，即，所以.故选：D.13．【分析】根据同角的三角函数关系先求出，再用二倍角公式求出、，最后再利用余弦的和角公式求．【详解】∵，，∴，∴，，∴，故答案为：．14．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后设，表示点与点连线的斜率，观察图像计算可得范围.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图：设，则表示点与点连线的斜率，又，所以，即的取值范围为.故答案为：.15．【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得的周期性；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可求得函数值.【详解】是定义在上的奇函数，，函数是定义在上的偶函数，，则，所以，则的周期是，.故答案为：.16．【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知，结合“零点相邻函数”的定义可得，则，据此可知函数在区间上存在零点，即方程在区间上存在实数根，整理可得：，令，则，根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又，，则据此可知实数的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.17．（1）；（2）.【解析】(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出，再利用同角三角函数基本关系式可求出；(2)根据题意知为等腰三角形，再利用余弦定理得出为等边三角形可得，从而求出的面积．【详解】（1）在中，由正弦定理及题设得，故，解得，又，所以.（2）设，则．在中，由余弦定理得，，即，①在等腰中，有，②联立①②，解得或（舍去）．所以为等边三角形，所以，所以．解法二：（1）同解法一．（2）设，则因为，所以，由余弦定理得，得，所以，解得或（舍去）．所以为等边三角形，所以，所以．【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算,是中档题.18．(1)57.5(2)分布列见解析，【分析】（1）先通过分析确定中位数在内；再设中位数为，列出方程求解即可.（2）先根据分层抽样确定从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗；再写出的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案．【详解】（1）因为，所以该板栗园的板栗质量的中位数在内．设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，解得，所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗．的所有可能取值为．，，．从而的分布列为01234故．19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明BD⊥平面AEC，HF∥BD，可证明结论；如图建立空间直角坐标系，算出平面CEF的一个法向量，利用向量方法可得答案.【详解】（1）如图，取EC的中点H，连结BD交AC于点O，连结HO、HF.因为四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD.又AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD.因为AE⊂平面AEC，AC⊂平面AEC，且AE∩AC=A，所以BD⊥平面AEC.

因为H、O分别为EC、AC的中点，所以HO∥EA，且又AE∥DF，且.所以HO∥DF，且HO=DF，所以四边形HODF为平行四边形，所以HF∥OD，即HF∥BD，所以HF⊥平面AEC.因为HF⊂平面CEF，所以平面AEC⊥平面CEF.

（2）取CD中点M，连接AM.因为菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以ACD为正三角形，又M为CD中点，所以AM⊥CD，因为AB∥CD，所以AM⊥AB.因为AE⊥平面ABCD，AB，AM⊂平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AM.如图，以A为原点，AB，AM，AE所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.

不妨设AB=AD=AE=2DF=2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，0)，，E(0，0，2)，因为AM⊥平面ABE，所以为平面ABE的一个法向量，

设平面CEF的法向量为，因为，所以，不妨令，得.

设平面ABE与平面CEF夹角为θ，则

，

所以平面ABE与平面CEF夹角的余弦值为.

20．（1）（2）【分析】（1）由题意可得：2b＝4，，a2＝b2+c2．联立解出即可得出椭圆C的标准方程．（2）A（﹣3，0），B（3，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：x＝my﹣1，M（），（＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（）．由根据对称性可得：.直线方程与椭圆方程联立化为：（8m2+9）y2﹣16my﹣64＝0，根据根与系数的关系及其，得0，联立解得m．【详解】（1）由题意，得，.又，∴，，.∴椭圆C的标准方程为（2）由（1），可知，，.据题意，直线的方程为记直线与椭圆的另一交点为，设，.∵，根据对称性，得.联立，消去，得，其判别式，∴，.①由，得，即.②由①②，解得，∵，∴.∴.∴.∴直线的方程为，即.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．(1)；(2)详见解析；(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出；（2）求出导函数，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出；（3）由题意得，，，而，只需证明，即证：，即证：对任意的恒成立即可．【详解】（1）由