2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与等腰三角形问题（课件）

例1题图微技能——分类讨论思想确定动点位置一阶一题多设问例1

已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.连接AC.微专题：二次函数与等腰三角形问题探究1：在抛物线对称轴上找一点P使得△ACP为等腰三角形．(1)若AC为等腰三角形的底边时，AP＝PC；在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；例1题解图①解：探究1：(1)满足条件的点P如解图①所示.(2)若AC为等腰三角形的腰时，AC＝________或AC＝________；在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；PCAP(2)满足条件的点P如解图②、③所示.例1题解图②例1题解图③探究2：在抛物线上找一点E使得△BCE为等腰三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹).例1题图④探究2：满足条件的点E如解图④、⑤所示.例1题图⑤【作图依据】______________________________________________线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．【方法总结】等腰三角形的存在性一般要分情况讨论：常以已知边为______或______讨论；以探究1为例，已知边AC为底时，可以作已知边的______________________，所找点即为＿＿＿＿______________的交点；若已知边AC为腰时，作图方法为：__＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿___________________，所找点即为____________________腰底边垂直平分线(中垂线）垂直平分线和对称轴圆与对称轴的交点．AC的长为半径画圆分别以点A、C为圆心，三点共线时，不能构成三角形，须忽略．●易错警示【思考】若动点在y轴上、x轴上时，确定动点位置有什么不同呢？一题多设问二阶一题多设问例2

如图①，已知抛物线y＝－

x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为M，对称轴与x轴交于点N.例2题图①(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标；

∴抛物线的表达式为y＝-x2+x+2∴抛物线的对称轴为直线x＝=当x＝1时，y＝∴顶点M的坐标为(1,);解：(1)将点A(－1，0)，B(3，0)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中，得

解得

例2题图①例2题图②(2)如图②，点P是抛物线上一点，当△PCO是以OC为底边的等腰三角形时，请直接写出点P的横坐标；【思维教练】由于点P在抛物线上，△PCO是以OC为底边的等腰三角形，所以点P在OC的垂直平分线与抛物线的交点上．例2题图②令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)，∴OC＝2，∵△COP是以CO为底的等腰三角形，∴CD＝DO＝1，∴点P，P′的纵坐标为1，当y＝1时，－

x2＋

x＋2＝1，PP′D【解法提示】如解图①，作CO的垂直平分线交抛物线于点P和点P′，交CO于点D.连接CP、OP，OP′，CP′，△POC和△P′CO是以OC为底的等腰三角形．解得x＝1＋

或x＝1－.∴点P的横坐标为1＋

，点P′的横坐标为1－.即存在点P使△PCO是以OC为底边的等腰三角形，点P的横坐标为1＋

或1－.(2)点P的横坐标为1+或1-例2题图②PP′D例2题图③(3)如图③，点E是x轴上一点，当△ACE是等腰三角形时，请直接写出点E的坐标；【思维教练】由于△ACE是等腰三角形，可分AC为底边，AC为腰两种情况分类讨论．【解法提示】∵点E在x轴上，∴设点E的坐标为(m，0)．由(1)易得点C的坐标为(0，2)，∴AC＝

，∵△ACE是等腰三角形，①当AE＝AC时，ⅰ.当点E在点A的右侧时，∵AE＝AC＝

，则EO＝

－1，例2题图③∴E的横坐标为－1；∴E(－1，0)；ⅱ.当点E在点A的左侧时，∵AE＝AC＝

，则EO＝

＋1，∴点E的横坐标是－

－1；∴E(－

－1，0)；②当AC＝CE时，∵CO⊥AE，∴点E在AO的延长线上，且AO＝EO，∴点E的横坐标为1；∴E(1，0)；例2题图③③当AC为底时，则AE＝CE时，则点E为AC的垂直平分线与x轴的交点．∵AE＝1＋m，OE＝m，∴AE2＝(1＋m)2.∵点C的坐标为(0，2)，∴OC＝2.∴CE2＝m2＋22.∵CE＝AE，∴22＋m2＝(1＋m)2，解得m＝例2题图③∴E(

，0)，综上所述，点E的坐标为(－1，0)或(－

－1，0)或(1，0)或(，0)．(3)点E的坐标为(

－1，0)或(－

－1，0)或(1，0)或(，0)；例2题图③例2题图④(4)如图④，对称轴MN上一点是否存在点G，使得△CGB是等腰三角形，若存在，请直接写出点G的纵坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】未明确说等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：①CG＝CB，②CG＝BG，③BG＝BC求解即可．【解法提示】∵点G在对称轴上，∴设点G的坐标为(1，m)，∵点C(0，2)，B(3，0)，∴BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(m－2)2，BG2＝22＋m2，当△CGB是等腰三角形时，可分以下三种情况：①当CG＝CB时，1＋(m－2)2＝13，解得m＝2＋2或m＝2－2，∴G(1，2＋2)或(1，2－2)；②当CG＝BG时，1＋(m－2)2＝22＋m2，解得m＝

，∴G(1，)；③当BG＝BC时，22＋m2＝13，解得m＝3或m＝－3，∴G(1，3)或(1，－3)；综上所述，当△CGB是等腰三角形时，点G的纵坐标为2＋2或2－2或

或3或－3.(4)存在，点G的纵坐标为2＋2

或2－2

或

或3或－3；例2题图⑤(5)如图⑤，点D的坐标为(4，0)，动点Q从点A开始沿AC方向以每秒

个单位长度的速度运动，动点P从点C开始，沿CD方向以每秒

个单位长度的速度运动，当点Q到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t，当△NPQ是等腰三角形时，请直接写出t的值．【思维教练】根据题意用含t的式子表示出QN，PQ，PN，由于不确定△NPQ的底和腰．所以分下列三种情况讨论：①NQ＝NP，②NQ＝PQ，③NP＝PQ求解即可．例2题图⑤【解法提示】由点的坐标易得AC＝

，CD＝2，AD＝5.由勾股定理逆定理得AC2＋CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°.根据题意可知，AQ＝

t，CP＝

t，∴CQ＝

－

t，∴PQ2＝CQ2＋CP2＝(－

t)2＋(t)2＝

t2－5t＋5，QGHP易得AG＝

t，QG＝t，∴NG＝2－

t，则NQ2＝QG2＋NG2＝

t2－2t＋4，同理可得NP2＝5t2－8t＋5，其中t的取值范围是0≤t≤2.如解图②，过点Q作QG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，当△NPQ是等腰三角形时，则分以下几种情况：①当NQ＝NP时，

t2－2t＋4＝5t2－8t＋5，整理得15t2－24t＋4＝0，解得t＝

或t＝

；②当NQ＝PQ时，

t2－2t＋4＝

t2－5t＋5，整理得5t2－3t＋1＝0，此方程无解，则此时t不存在；例2题图⑤QGHP③当NP＝PQ时，5t2－8t＋5＝

t2－5t＋5，整理得5t2＋12t＝0，解得t＝0或t＝－

(舍去)．综上所述，当△NPQ是等腰三角形时，t的值为

或

或0.(5)t的值为

或

或0.例2题图⑤QGHP综合训练三阶1.(2023抚顺新抚区一模)如图，直线y＝－

x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，P为x轴上的动点，P与A，O不重合，PC∥OB交抛物线于C，交直线AB于D，连接BC.(1)求抛物线的解析式；第1题图备用图解:(1)∵直线y＝－

x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，当y＝0时，x＝4，∴点A的坐标是(4，0)，当x＝0时，y＝2，∴点B的坐标是(0，2)，又∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，∴

，解得，∴抛物线的解析式是y＝－x2＋

x＋2；第1题图(2)当∠BCD＝45°时，求点P的坐标；(2)设点C的坐标是(x，y)，当点C在第一象限时，∵∠BCD＝45°，∴y－2＝x，∴y＝－x2＋

x＋2＝x＋2，∴x1＝

，x2＝0(不合题意，舍去)，∴点P的坐标是(，0)，当点C在第四象限时，2－y＝x，∴y＝－x2＋

x＋2＝－x＋2，∴x1＝

，x2＝0(不合题意，舍去)，∴点P的坐标是(，0)，综上所述，点P的坐标是(，0)或(，0)；第1题图(3)当△BCD为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．E则点E是等腰三角形△BCD的边DC中点，则有yE＝(yC＋yD)，即2＝(－m2＋

m＋2－

m＋2)，解得m1＝3，m2＝0(不合题意，舍去)，此时点P的坐标是(3，0)；【解法提示】设点P的坐标是(m,0)，则点D的坐标是(m,－

m＋2)，当0＜m＜4时，若△BCD为等腰三角形时，则有以下情况：①如解图①，当BC＝BD时，过点B作BE⊥CD交CD于点E，②当BC＝CD时，BC＝

，==CD＝yC－yD＝(－m2＋

m＋2)－(－

m＋2)＝－m2＋4m，∵BC2＝CD2，∴m2(m2－7m＋)＝m2(m2－8m＋16)，解得m1＝

，m2＝0(不合题意，舍去)，∴此时点P的坐标是(，0)；第1题图E第1题解图②③当BD＝CD时，BD＝

＝

，CD＝yC－yD＝(－m2＋

m＋2)－(－

m＋2)＝－m2＋4m，∴m＝－m2＋4m，解得m1＝

，m2＝0(不合题意，舍去)，∴此时点P的坐标是(，0)，当m＞4时，只有BD＝CD，才能使△BCD为等腰三角形，如解图②，则有CD=yD－yC=(－

m＋2)－(－m2＋

m＋2)＝m2－4m，解之得：m1＝

，m2＝0(舍去)，∴此时点P的坐标是(，0)；综上所述，点P的坐标是(3，0)或(，0)或(，0)或P4(，0)．(3)点P的坐标为(3，0)或(，0)或(

，0)或(，0)．∴

m＝m2－4m，第1题解图②第2题图2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－x＋c(a≠0)与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC.(1)求该抛物线与直线AC的解析式；备用图解：(1)把A(－1，0)、B(3，0)代入y＝ax2－x＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝

x2－x－

；∵OC＝OA＝1，∴C(0，1)，设直线AC的解析式为y＝kx＋1(k≠0)，则－k＋1＝0，解得k＝1，∴直线AC的解析式为y＝x＋1设E(x，

x2－x－)(－1＜x＜3)，则G(x，x＋1)，∴EG＝x＋1－(x2－x－)＝－

x2＋2x＋.∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°，∴∠OCA＝45°，AC＝

＝

，第2题图(2)若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE.求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；(2)如解图①，作EG⊥x轴交直线AC于点G，作EH⊥AD于点H.GH∵∠HGE＝∠OCA＝45°，∴EH＝EG·sin45°＝(－

x2＋2x＋)，第2题图GH∴S△ACE＝

＝

＝∵＜0，且－1＜2＜3，∴当x＝2时，S△ACE最大＝

，此时E(2，)．∴△ACE面积的最大值为

，此时点E的坐标为(2，)；(3)将原抛物线沿射线AD方向平移2

个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2＋b1x＋c1(a≠0)，新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图备用图第2题解图②【解法提示】如解图②，在直线AC上取一点A′，使它的横坐标为1，则A′(1，2)，AA′＝

＝

，∴点A′即为抛物线平移后点A的对应点，可知抛物线向右、向上各平移2个单位长度．∵∴平移后的抛物线为

，其顶点坐标为(3，0)；∵原抛物线与新抛物线都经过点B(3，0)，∴点B即为新抛物线与原抛物线的交点F.作A′K⊥x轴于点K，则∠AKA′＝∠FKA′＝90°，AK＝A′K＝FK＝2，∴∠AA′K＝∠FA′K＝45°，∴∠AA′F＝90°.由

，解得

或

(不符合题意，舍去）∴D(5，6)，∴FD＝.①当FP1＝FD时，则点P1与点D关于点A′对称，∴P1(－3，－2)；②当P2D＝FD＝

时，∵CD＝×5＝5，∴CP2＝

－

，∴xp＝

，yp＝

，P2(，)；第2题解图②③当DP3＝FP3时，∵∠P3DF＝∠FDP1，∠DFP3＝∠DP1F，∴△P3DF∽△FDP1，∴，∵DP1＝×(5＋3)＝8，∴，∴CP3＝

，∴xp＝

，yp＝

，∴P3(,)；第2题解图②④当P4D＝FD＝2时,则CP4＝

，∴xp＝

，yp＝

，∴P4(，)．综上所述，点P的坐标为(－3，－2)或(，)或(

，)或(,)．(3)存在，点P的坐标为(－3，－2)或(，)或(，)或(，)．第3题图3.如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于A，B(4，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，4)，直线BC经过B，C两点，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC.(1)求抛物线的函数表达式；解：(1)由题意，将B(4，0)，C(0，4)代入抛物线y＝ax2＋x＋c，得

解得∴抛物线的函数表达式为y＝－

x2＋x＋4；第3题图第3题图(2)设点P的横坐标为n，四边形OBPC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；(2)如解图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F.∵B(4，0)，C(0，4)，∴OB＝OC＝4.易得直线BC的表达式为y＝－x＋4.∵点P的横坐标为n，∴P(n，－

n2＋n＋4)，F(n，－n＋4)．∴PF＝－

n2＋n＋4－(－n＋4)＝－

n2＋2n，EF∴S四边形OBPC＝S△BOC＋S△PBF＋S△PCF＝

＝

＝

＝

×4×4+×(

n2+2n)×4＝－n2+4n+8=－(n－2)2＋12∵－1＜0，0＜n＜4.∴当n＝2时，S有最大值，S最大＝12，此时－

n2＋n＋4＝－×22＋2＋4＝4，∴此时点P的坐标为(2，4)；第3题图EF第3题图(3)在(2)的条件下，当S取最大值时，在PC的垂直平分线上是否存在一点M，使△BPM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解法提示】∵P(2，4)，C(0，4)，∴PC∥x轴，PC＝2，∴PC的垂直平分线⊥x轴且为直线x＝1，∴点M的横坐标为1，∴可设点M的坐标为(1，y)．又∵B(4，0)，P(2，4)，∴PM2＝(1－2)2＋(y－4)2＝y2－8y＋17，MB2＝(1－4)2＋y2＝y2＋9，PB2＝(4－2)2＋(0－4)2＝20.当△BPM是等腰三角形时，如解图②，可分三种情况进行讨论：①当PM＝MB，即PM2＝MB2时，y2－8y＋17＝y2＋9，解得y1＝1，∴此时点M的坐标为(1，1)；第3题解图②②当PM＝PB，即PM2＝PB2时，y2－8y＋17＝20，解得y2＝4＋

，y3＝4－

，∴此时点M的坐标为(1，4＋)或(1，4－)；③当MB＝PB，即MB2＝PB2时，y2＋9＝20，解得y4＝

，y5＝－

，∴此时点M的坐标为(1，)或(1，－)．第3题解图②综上所述，在PC的垂直平分线上存在一点M，使△BPM是等腰三角形，此时点M的坐标为(1，1)或(1，4＋)或(1，4－)或(1，)或(1，－)．第3题解图②(3)存在，点M的坐标为(1，1)或(1，4＋)或(1，4－)或(1，)或(1，－)．第4题图4.

如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，其中A、B、C三点构成直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4.(1)求经过点A、B、C的抛物线的解析式；解：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝10，∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AO，即2×4＝10×AO，∴AO＝4，则OC＝

＝8，BO＝2，即B(－2，0)，C(8，0)，A(0，4)，设经过点A、B、C的抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－8)，将A(0，4)代入得，4＝a(0＋2)(0－8)，解得a＝－

，故y＝－(x＋2)(x－8)＝－

x2＋

x＋4；第4题图(2)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S，求S等于多少时，相应的点P有且只有2个？(2)设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∴，解得

，∴直线AC对应的函数解析式为y＝－

x＋4，设P(m，－m2＋m＋4)，则Q(m，－m＋4)．如解图①，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q，连接PC、PA.第4题图HPQ①当0＜m＜8时，PQ＝

＝