初中数学动点练习

动点问题专题训练

1、（09包头）如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点。为

的中点.

（1）如果点尸在线段5c上以3厘米/秒的速度由5点向。点运动，同时，点。

在线段C4上由。点向A点运动.

①若点Q的运动速度与点尸的运动速度相等，经过1秒

后，ABPD与ACQP是否全等,请说明理由；,

②若点。的运动速度与点尸的运动速度不相等，当点。A

的运动速度为多少时，能够使△5PD与△CQP全等？J\

（2）若点。以②中的运动速度从点。出发，点尸以原来/\

的运动速度从点同时出发，都逆时针沿△三边运

BABCg/►V_\c

动，求经过多长时间点尸与点。第一次在△ABC的哪条尸

边上相遇？

解：（1）①f=1秒，

BP=CQ=3xl=3厘米，

：A3=10厘米，点。为的中点，

=5厘米.

又,：PC=BC—BP,BC=8厘米，

PC=8—3=5厘米，

:.PC=BD.

又：AB=AC,

：.ZB=ZC,

△5PD之△CQP.................................................................................................（4分）

②'/vp^vQ,BP丰CQ,

又：△5PD之△CQP,ZB=ZC,则3P=PC=4,CQ=BD=5,

BP4

点尸，点。运动的时间/=§=§秒，

.•.%=华=1_=9厘米/秒................................................（7分）

3

（2）设经过x秒后点尸与点。第一次相遇，

由题意，得”■x=3x+2xl0,

4

QQ

解得X=更秒.

3

.•.点尸共运动了一x3=80厘米.

3

80=2x28+24,

，点P、点。在A3边上相遇，

，经过三秒点尸与点。第一次在边A3上相遇.............................（12分）

2、（09齐齐哈尔）直线y=-：x+6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、。同

时从。点出发，同时到达A点，运动停止.点。沿线段0A运动，速度为每秒1

个单位长度，点尸沿路线5-A运动.

（1）直接写出A、8两点的坐标；

（2）设点。的运动时间为/秒，△OP。的面积为S,求出S与7之间的函数关系

式;

（3）当5=半时，求出点P的坐标，并直接写出以点。、P、。为顶点的平行四

边形的第四个顶点M的坐标.

解(1)A(8,0)B(0,6)........1分

(2)04=8,OB=6

..AB=10

Q

点。由。到A的时间是:=8(秒)

.♦•点尸的速度是史辿=2（单位/秒）」分

8

当尸在线段03上运动（或0W/W3）时，OQ=t,OP=2t

S=t2.............................................................1分

当尸在线段54上运动(或3</08)时，OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t,

pnAP4R_

如图，作？DLOM于点。，由*=二二，得尸°=空_上，....................1分

BOAB5

1324

.-.S=-OQxPD=——t2+—t.........................................1分

255

（自变量取值范围写对给1分，否则不给分.）

3分

3(09深圳)如图，在平面直角坐标系中，直线/：?=-2"一8分另!J与X轴，y轴

相交于A,5两点，点尸(0,左)是y轴的负半轴上的一个动点，以尸为圆

心，3为半径作。尸.

(1)连结物，若R1=P5,试判断。尸与x轴的位置关系，并说明理由；

(2)当左为何值时，以。尸与直线，的两个交点和圆心尸为顶点的三角形

是正三角形？

解：(1)。尸与x轴相切.

:直线尸一2X一8与无轴交于A(4,0),

与y轴交于B(0,-8),

：.OA=4,02=8.

由题意，OP=-k,

：.PB=FA=8+k.

在RtZXA。尸中，标+42=(8+左)2,

；.仁一3,等于。P的半径,

.•.OP与尤轴相切.

(2)设。尸与直线/交于C,。两点，连结PC,尸。当圆心尸

在线段OB上时，作PELCD于E.

13

：△PCD为正三角形，：.DE=-CD=-,PD=3,

22

•PF3白

..PE=------.

2

ZAOB=ZPEB=90°,ZABO=ZPBE9

：.AAOBs^pEB,

3y/3

...些=笠，即3=工，

ABPB4A/5PB

第(2)题

PO=BO—PB=8一一--,

2

/.尸（0,^^一8）,

:.k巫一8.

2

当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P（0,-土叵-8）,

2

二七一"1—8,

2

...当仁巫-8或k=~土叵-8时，以。P与直线I的两个交点和圆心P为顶点的三

22

角形是正三角形.

4（09哈尔滨）如图1,在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO

是菱形，点A的坐标为（-3,4）,

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.

（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM,如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单

位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（SW0）,点P的运动

时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，NMPB与NBCO互为余角，并求

此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.

（图1）

解:

28.(1)过点A作AE±x轴垂足为E(如图1)

•••A(-3,4),-.AE=4OE=3,-.OA=VAE2+OE2=5

:四边形ABCO为菱形.•.OC=CB=BA=OA=5,-.C(5,0)1分

5k+b=0

设直线AC的解析式为:尸kx+b।-3k+b=4；，

直线AC的解析式为:y=十吟1分

⑵由⑴得M点坐标为畤),-.0M=1-

如图1,当P点在AB边上运动时

由题意得0H=4;.HM=/

.号BP.M畤(5-2t)]

小苧+字(0W吟)..........2分

当P点在BC边上运动时，记为R

vZ.OCM=Z.BCMCO=CBCM=CM

.1.△OMC^ABMC.•.OM=BM=1Z.M0C=ZMBC=90°

01

.•.S=lp,B,BM=l(2t-5)-1吟-衿＜tW5)2分

⑶设0P与AC相交于点Q连接0B交AC于点K•"AOCMABC"AOMMABM

•1•ZMPB+ZBCO=90°Z.BAO=ZBCOZ.BAO+ZAOH=90°

y

;.ZMPB=ZA0H.'.ZMPBzZMBH

当P点在AB边上运动时，如图2

.■.PM=BM-.-MHIPBB

.-.PH=HB=2:.PA=AH-PH=11分

„2

■,■AB#OC.'.ZPAQ^OCQ

•,'Z.AQP=ZCQO.'.AAQP^ACQOA1_AP__L

CQ-co'T

在RtAAEC中AC=VAEW=74^=4VT

E0

:触嘤QC:竽

在RtAOHB中OB=Vi旃丽叽；/?甲=2五

•,AC1OBOK=KBAK=CK图2

.■,OK=VTAK=KC=2VT.•.QK=AK-AQ=^1而项喘?

当P点在BC边上运动时，如图3­.-ZBHM=ZPBMz90°乙MPBMMBH

5.1

.•.tanZMPB=tanZMBH喘喘专

；加=¥分

3o

.'.PC=BC-BP=5-y=y

由PC/OA同理可证APQCsAOQA喘喘

二疑！CQJAC=VT.•.QK=KC-CQ=VT

AQ34

;0K=VT.'.tanrOQK=^-=l份

KQ图3

综上所述，当日时工MPB与4C0互为余角，直线0P与直线AC所夹锐角的正切值埠

当t=g时ZMPB与ZBCO互为余角，直线OP与直线AC所夹觞的正切值为1

0

5(09河北)在RtAA5C中，ZC=90°,AC=3,AB=5.点尸从点。出发

沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速

度沿AC返回；点。从点A出发沿A5以每秒1个单

位长的速度向点5匀速运动.伴随着尸、。的运动，

DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线

Q5-5C-C尸于点E.点尸、。同时出发，当点。到达

点5时停止运动，点尸也随之停止.设点P、。运动

的时间是/秒(/>0).

(1)当/=2时，AP=,点。到AC的距

离是;

(2)在点尸从。向A运动的过程中，求^APQ

图16

的面积S与

，的函数关系式；(不必写出，的取值范围)

(3)在点E从5向。运动的过程中，四边形。能否成

为直角梯形？若能，求，的值.若不能，请说明理由；

(4)当。E经过点。时，请亶毯写出/的值.

解：(1)1,-；

5

(2)作QF_LAC于点F,如图3,AQ=CP=t,：.AP=3-t.

由△AQf's/kABC,BC=A/52-32=4,

得手=2•1-GF=!?-

14

...s=—(37)T,

25

即s=-2产+9/.

55

(3)能.

①当OE〃Q8时，如图4.

•：DE±PQ,：.PQLQB,四边形QBE。是直角梯形.

止匕时NAQP=90。.

由得丝=”，

ACAB

即工=上£.解得,=2.

358

②如图5,当尸。〃BC时，DELBC,四边形。8££)是直角梯形.

此时/APQ=90°.

由△AQPS/VIBC,得^=—,

ABAC

即_L=tN.解得/=

538

A

/4、5T45

(4)t=-^t=—.

214

①点尸由C向A运动，经过点C.

连接QC,作。于点G,如图6.

PC=t,QC2=QG2+CG2=[|(5-0]2+[4-1(5-r)]2.

PC2=QC2,得〃=F(5T)]2+[4-3(5T)『，解得r=1.

552

②点尸由A向C运动，OE经过点C,如图7.

(6-02=[|(5-r)]2+[4-(5-r)]2,r=—]

5514

6（09河南））如图，在RtAABC中，

ZACB=90°,ZB=60°,BC=2.点。是AC的中点，过

点。的直线/从与AC重合的位置开始，绕点。作逆时针

旋转,交AB边于点D.过点C作CE〃AB交直线/于点

E,设直线/的旋转角为a.

（1）①当a=度时，四边形瓦方。是等腰梯形,

此时AD的长为；

②当a=度时，四边形EDBC是直角梯

形，此时AD的长为；

（2）当a=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说

明理由.

解(1)①30,1；②60,1.5；................4分

(2)当/a=90°时，四边形功勿是菱形.

,/Za=ZACB=90°,BC//ED.

:㈤”6,.•.四边形成宛是平行四边形.................6分

在RtZ\/勿中，ZACB=9Q°,ZB=60°,BC=2,

：.ZA=30°.

户4,AO2币.

：.AO=-AC=y/3.................8分

2

在Rt△力勿中，ZJ=30°,：.AD=2.

：.BD=2.

：.BD=BC.

又：四边形应次7是平行四边形，

四边形及厉C是菱形................10分

7(09济南)如图，在梯形ABCD中，

AD//BC,AD=3,DC=5,AB=472,N3=45。.动点Af从5点出发沿线段

以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N人

同时从。点出发沿线段。以每秒1个单位长度的速/\K

度向终点。运动.设运动的时间为/秒./\\

(1)求8C的长./

(2)当MN〃AB时，求f的值.B，-------------------------、C

(3)试探究：1为何值时，/WK为等腰三角形.

解：(1)如图①，过A、。分别作AKJ_BC于K,DW,5c于H,则四边形AD"

是矩形

KH—AD=3.............................................................................................1分

在RtZkABK中，AK=ABsin45°=4A/2.—=4

2

BK=A加cos45。=4&g=4

..................................................................2分

(2)如图②，过。作。G〃A3交于G点，则四边形ADGfi是平行四边形

•：MN//AB

：.MN//DG

:.BG=AD=3

.*.GC=10-3=7........................................................................................4分

由题意知，当M、N运动到f秒时，CN=t,CM=10-2t.

DG//MN

：.ZNMC=ZDGC

又NC=NC

：.AMNC^AGDC

,CN_CM

5分

'"TD~~CG...............................................................................................

即工=10—2/

57

解得，t=—6分

17

(3)分三种情况讨论:

①当NC=M。时，如图③，即7=10—2f

（图③）（图④）

②当脑V=NC时，如图④，过N作NELMC于E

解法一：

由等腰三角形三线合一性质得EC=^MC=^（10-2t）=5-t

EC5-t

在RtZkCEN中，cosc=—=^—

NCt

CH3

又在RtZXDHC中，cosc=—=-

CD5

.5-t3

••——

t5

25

解得。=上...........................................................8分

8

解法二：

VZC=ZGZDHC=ZNEC=9G°

：.ANECsADHC

.NC_EC

*'DC-HC

③当肱V=MC时，如图⑤，过M作MFLQV于/点.FC=-NC=-t

22

解法一：(方法同②中解法一)

1

「FC3

cosC==--——=—

MC10—2，5

解得"2

17

解法二：

VZC=ZC,ZMFC=ZDHC=90°

：.AMFCsADHC（图⑤）

,FC_MC

""Hc~15c

i

即匚心

35

.60

17

综上所述，当/=生或/=竺时，为等腰三角形

3t=AAWC9分

3817

8（09江西）如图1,在等腰梯形A5CD中，AD//BC,E是A3的中点，过点£

作EF〃BC交CD于点F.AB=4,BC=6,ZB=60°.

（1）求点E到的距离；

（2）点尸为线段所上的一个动点，过P作PMLEF交BC于点M,过M作

初V〃AB交折线ADC于点N,连结PN,设EP=x.

①当点N在线段AD上时（如图2）,△「1肉的形状是否发生改变？若不变，求

出上网的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P,使△正建为等腰三角形？

若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

（第25题）A,--------------

EL-----\F

BBC

图4（备用）图5（备用）

解(1)如图1,过点E作EGL3C于点G...........................1分

：E为的中点，

BE=-AB=2.

2

在RtAEBG中，ZB=60°,；.ZBEG=30°...............2分

/.BG=-BE=1,EG=d*-f=B

2

即点E到的距离为J?.............................................3分图1

(2)①当点N在线段AD上运动时，△2/VW的形状不发生改变.

PM±EF,EG±EF,：.PM//EG.

VEF//BC,：.EP=GM,PM=EG=E

同理ACV=AB=4.....................................................4分

如图2,过点P作。于H,

：.ZNMC=ZB=60°,ZPMH=30°.

：.PH=-PM=—

22

3

MH=PMcos30°=-.

2

35

则NH=MN—MH=4——=-.

在RtAPNH中,PN=

△尸ACV的周长=PM+PN+2W=6+V7+4.................................................6分

②当点N在线段。。上运动时，的形状发生改变，但△AWC恒为等边三角

形.

当PA/=/W时，如图3,作PR工MN于R,则MR=NR.

3

类似①，MR=-.

2

：.MN=2MR=3.........................................................................................................7分

AMNC是等边三角形，AMC=MN=3.

此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-l-3=2............................................8分

图3图4图5

当=时，如图4,这MMC=MN=MP=6.

此时，x=EP=GM=6—1—石=5—£

当NP=NM时,如图5,ZNPM=ZPMN=30°.

则ZPMN=120°,又ZMNC=60°,

NPNM+ZMNC=180°.

因此点P与尸重合，△丑为直角三角形.

：.MC=PMtan30°=1.

止匕时，x=EP=GM=6~1-1=4.

综上所述，当x=2或4或(5-豆)时，△尸AW为等腰三角形..............10分

9(09兰州)如图①，正方形ABCD中,点A6的坐标分别为(0,10),(8,4),

点。在第一象限.动点尸在正方形胸Z?的边上，从点Z出发沿

匀速运动，

同时动点0以相同速度在x轴正半轴上运动，当尸点到达〃点时，两点同时

停止运动，

设运动的时间为6秒.

(1)当尸点在边居上运动时，点。的横坐标X(长度单位)关于运动时间t

(秒)的函数图象如图②所示，请写出点。开始运动时的坐标及点尸运动速

度；

(2)求正方形边长及顶点。的坐标；

(3)在(1)中当t为何值时，△网的面积最大，并求此时尸点的坐标；

(4)如果点只0保持原速度不变，当点尸沿Z-A。*。匀速运动时，0P与

N能否相等，若能，写出所有符合条件的匕的值；若不能，请说明理由.

点P运动速度每秒钟1个单位

长度..........................................................................2分

(2)过点3作BF_Ly轴于点歹，8£_1%轴于点石，则8歹=8,OF=BE=4.

：.AF=10-4=6.

在RtZvlFB中，AB=782+62=103分

过点C作CGLx轴于点G,与的延长线交于点H.

,：ZABC=90°,AB=BC:.丛ABF沿丛BCH.

BH=AF=6,CH=BF=8.

・•・OG=/7/=8+6=14,CG=8+4=12.

・•・所求C点的坐标为(14,12)._______________________4分

(3)过点尸作PMLy轴于点M,尸NJ_x轴于点N,

则△APMs/viB尸.

.APAMMPtAM_M

9AB~AF~BFTo--6

3434

・•・AM=-t,PM=-t.Ap^=OM=10——t,ON=PM=-t.

5555

设△OPQ的面积为S（平方单位）

13473

/.S=-X(1O——f)(l+f)=5+—r——t2(0<r<10)....................................................................5分

251010

说明:未注明自变量的取值范围不扣分.

47

•：a=--<0；.当仁——及k=久时，ZkOP。的面积最大.................6分

102«力6

此时尸的坐标为（二，—）..................................................7分

1510

（4）当/=（或”等时，OP与尸。相等..................................9分

10（09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形A5CD是正

方形，点E是边5C的中点.ZAEF=90,且EF交正方形外角ZDCG的平行

线CF于点b，求证：AE=EF.

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取A5的中点连接ME,

贝！）AM=EC,易证0△瓦犷，所以AE=EF.

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边

5。上（除5,。外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论"AE=EF”仍然

成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请

说明理由；

（2）小华提出：如图3,点E是5C的延长线上（除C点外）的任意一点，

其他条件不变，结论uAE=EFn仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正

确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.

解：（1）正确.....................................（1分）

证明：在45上取一点使=连接ME.（2分）

:.BM=BE.:.NBME=45°,.\ZAME=135°.

B是外角平分线，

.-.ZDCF=45°,

.-.ZECF=135°.

:.ZAME=ZECF.

ZAEB+ZBAE=90°,ZAEB+ZCEF=90°,

ZBAE=ZCEF.

：.AAME^ABCF（ASA）.............................................................................................（5分）

:.AE=EF...........................................................................................................................（6分）

（2）正确.....................................（7分）

证明：在54的延长线上取一点N.

使⑷V=CE,连接NE....................（8分）

:.BN=BE.

ZN=ZPCE=45°.

四边形ABCD是正方形，

..AD//BE.

:.ZDAE=ZBEA.

:.ZNAE=ZCEF.

:AANE/AECF（ASA）..........................................................................................（10分）

:.AE=EF.........................................................................................................................（11分）

11(09天津)已知一个直角三角形纸片。钻，其中

ZAOB=9Q°,04=2,03=4.如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠

该纸片，折痕与边08交于点C,与边A5交于点。.

(I)若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；

(H)若折叠后点8落在边OA上的点为设O8=x,0C=y,试写出y关

于%的函数解析式，并确定y的取值范围;Ay

(in)若折叠后点5落在边OA上的点为且使BZ)〃O5,求此时点。的坐

标.

2

B\

X

0A

解（I）如图①，折叠后点5与点A重合，

则"CD且ABCD.

设点C的坐标为（0,〃。（加>0）.

则BC=OB—OC=4—加.

于是AC=BC=4—m.

在RtZkAOC中，由勾股定理，^AC2=OC2+OA2,

3

即（4—机）~9=”+22,解得机=万.

.•.点C的坐标为［o,|1........................................................................................................4分

（II）如图②，折叠后点6落在Q4边上的点为8',

则△FCD/△BCD.

由题设O5'=x,OC=y,

则B'C=BC=OB—OC=4—y,

在RtZxB'OC中，由勾股定理，^B'C2=OC2+OB'2.

，（4-丁『=/+%2,

1,

即丁=一卫一+2...................................................................................................................6分

由点8'在边OA上，有0W;cW2,

解析式y=—』必+2（0忘》W2）为所求.

8

二.当0W尤W2时，y随x的增大而减小，

3

・•.y的取值范围为］WyW2.......................................................................................7分

（III）如图③，折叠后点5落在。4边上的点为5",且B"D〃OB.

则NOCB〃=NCB〃D

又Z.CBD=ACB"D,AOCB"=Z.CBD,有CB"〃BA.

RtACOB"sRtABQA.

（~）v"

有空=*,得oc=2OB"....................................................................................9分

OAOB

在RtZ\F'OC中，

设。5"=/（x>0）,则OC=2%.

1

由（II）的结论，得2/=—x90+2,

8

解得XQ=—8±4-^5.XQ>0,XQ=—8+4-\/5.

.••点C的坐标为（0,8b-16）...........................................10分

12（09太原）问题解决F

如图（1）,将正方形纸片ABC。折叠，使点8落在。边勺-----

上一点E（不与点C,。重合），压平后得到折痕MN.当；\

CE1._p.AM：\

——=—t时M，求——的值.\

CD2BN\/

方法指导：B'-----------"

AMN

为了求得3%的值，可先求BN、40的长，不妨设：AB=2图（1）

BN

类比归纳

在图⑴中,若用则f的值等于——；若因］，则祭的

值等于；若二=工（〃为整数），则4”的值等于.（用含

-------------CDnBN