课时规范练36　三角函数中的综合问题-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

课时规范练36三角函数中的综合问题1.(2022·浙江,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cosC=35(1)求sinA的值;(2)若b=11,求△ABC的面积.2.(2023·天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=39,b=2,∠A=120°.求:(1)sinB的值;(2)c的值;(3)sin(B-C)的值.3.(2024·北京通州统考模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件,使f(x)的解析式唯一确定(1)求f(x)的解析式:条件①:f(x)为奇函数;条件②:f(x)图象上相邻两个对称中心间的距离为π2条件③:f(x)图象的一条对称轴为直线x=π4(2)设函数g(x)=f(x)+f(x+π6),求g(x)在区间[0,π4]4.(2022·全国乙,文17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)若A=2B,求C;(2)证明:2a2=b2+c2.

课时规范练36三角函数中的综合问题1.解(1)∵cosC=35且0<C<π∴sinC=4又∵4a=5c,∴由正弦定理得asin∴sin∴sinA=54×sin(2)∵b=11,∴由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcosC,c2=112+(54c)2-2×54c×c2=112+516c2-335即1116c2+33510c-11整理得5c2+245c-880=0,解得c=-245+6452×5=∴a=54×45=∴S△ABC=12absinC=12×5×11×2.解(1)由正弦定理可得asinA=bsinB(2)由余弦定理可得cosA=b2即-12解得c=5或c=-7(舍去).(3)由(1)知,sinB=1313且B为锐角所以cosB=239所以sin(B-C)=sin[B-(60°-B)]=sin(2B-60°)=12sin2B-32cos2B=sinBcosB-32(cos2B-sin2B)=1313×23913−32×3.解(1)若选①②:由①知f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,则φ=kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=0由条件②得2πω=π,解得ω所以f(x)=sin2x.若选②③:由条件②得2πω=π,解得ω=由条件③得2×π4+φ=π2+kπ,k解得φ=kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=0,所以f(x)=sin2条件①③无法确定f(x)的解析式.(2)由题知g(x)=sin2x+sin[2(x+π6)]=sin2x+sin2xcosπ3+cos2x·sinπ3=32sin2x+32cos2x=3sin(2x+π所以π6≤2x+所以当2x+π6=π2,即x=π6时,g(x4.(1)解∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),A=2B,∴sinCsinB=sinBsin(C-A).又sinB>0,∴sinC=sin(C-A).∴C=C-A(舍去)或C+C-A=π,即C=π+又A+B+C=π,∴π+4A2=π,解得(2)证明(证法一)∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),∴sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinC·cosA-cosCsinA),即sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinC·cosA-sinBcosCsinA,即sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinBsinC·cosA,即sinAsin(B+C)=2sinBsinCcosA,即sin2A=2sinBsinCcosA.由正弦定理、余弦定理,得a2=2bc·b即a2=b2+c2-a2,故2a2=b2+c2.(证法二)∵sinCsin(A-B)=sinB·sin(C-A),∴sinCsinAc