2023-2024学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1+i1−i(i是虚数单位，i2=−1)A.1 B.±1 C.2 D.2.已知向量a=(k−1,1)，b=(k+3,k).若a/​/b，则实数kA.3 B.−1 C.3或−1 D.−3±3.已知α，β表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，(

)A.若b/​/a，a⊂α，则b/​/α

B.若a⊂α，b⊂α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α

C.若a⊂α，b⊂α，a/​/β，b/​/β，则α/​/β

D.若a⊥α，a/​/b，b⊂β，则α⊥β4.已知a>0，b∈R，则a>b是a>|b|的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.在△ABC中，角A，BC，的对边分别为a，b，c.若b=2，A=45°，C=75°，则a的值为(

)A.22 B.236 6.为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数y=cos2x的图象(

)A.向右平移π4个单位长度 B.向右平移π2个单位长度

C.向左平移π4个单位长度 D.7.在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”.现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过(    )个小时才会“药物失效”.(参考数据：lg2≈0.3010)A.4 B.5 C.6 D.78.已知sinθ，cosθ是方程x2−2sinα⋅x+sinA.4 B.3 C.2 D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>b，则(

)A.0.1a>0.1b B.10a>10.如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.设直角三角形的两个锐角分别为α，β(α<β)，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则(

)A.每一个直角三角形的面积为1

B.sinα=2sinβ

C.cosα=2cosβ

D.cos11.在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点P(a,b)，|OP|=m(m≠0)，定义函数f(θ)=a+bm，则(

)A.x=π2是函数y=f(θ)的一条对称轴 B.函数y=f(θ)f(−θ)是周期为π的函数

C.f(θ)+f2(θ)≤2+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={1,2}，B={−a,a2+3}，若A∪B={1,2,4}，则实数a13.已知x+lny=1，则ex+y的最小值为______．14.一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为63的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设函数f(x)=xx2+1．

(1)判断函数f(x)在区间[−1,1]上的单调性，并用定义证明结论；

(2)若x∈[116.(本小题15分)

如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的点，AB=2,AD=3．

(1)若DP=λDC,BQ=λBC,0≤λ≤1，求AP⋅AQ的取值范围；

(2)若P是DC的中点，M1，M2，…17.(本小题15分)

已知实数a<0，设函数f(x)=cos2x+asin2x−a2，且f(π6)=−34．

(1)求实数a，并写出f(x)的单调递减区间；

18.(本小题17分)

在三棱锥A−BCD中，AB=9，其余各棱的长均为6，点E在棱AC上，AE=2EC，过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F，G．

(1)求线段FG的长度；

(2)求二面角A−CD−B的余弦值；

(3)求点C到平面DEF的距离．19.(本小题17分)

已知函数f(x)，g(x)，ℎ(x)的定义域均为R．

定义：①若存在n个互不相同的实数x1，x2，…，xn，使得f(g(xi))=ℎ(f(xi))(i=1,2,3,…,n)，则称g(x)与ℎ(x)关于f(x)“n维交换”；

②若对任意x∈R，恒有f(g(x))=ℎ(f(x))，则称g(x)与ℎ(x)关于f(x)“任意交换”．

(1)判断函数g(x)=x+1与ℎ(x)=x−1是否关于f(x)=x2“n维交换”，并说明理由；

(2)设f(x)=a(x2+2)(a≠0)，g(x)=x2+bx−1，若存在函数ℎ(x)，使得g(x)与ℎ(x)关于f(x)“任意交换”，求b的值；

(3)答案解析1.【答案】A

【解析】解：z=1+i1−i=(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2i2=i，z−=−i，【解析】解：∵向量a=(k−1,1)，b=(k+3,k)，且a/​/b，

∴(k−1)k−(k+3)=0，

解得k=−1或3．

故选：C．

【解析】解：选项A：若b/​/a，a⊂α，则b/​/α或b⊂α，故A错误；

选项B：只有当a，b相交时，c⊥α，故B错误；

选项C：只有当a，b相交时，α/​/β，证明面面平行时，

需证明一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行，故C错误；

选项D：若a⊥α，b/​/a，则b⊥α，又b⊂β，所以α⊥β，故D正确．

故选：D．

4.【答案】C

【解析】解：令a=2，b=−3，满足a>b，但a<|b|，故a>b不能推出a>|b|，

当a>0，a>|b|时，

①当b>0时，a>b，②当b<0时，a>0>b，

故a>|b|能推出a>b，

故a>b是a>|b|的必要不充分条件．

故选：C．

5.【答案】B

【解析】解：因为b=2，A=45°，C=75°，

所以B=180°−A−C=60°，

由正弦定理asinA=bsinB，可得a=b⋅sinAsinB=2×2【解析】解：只需将函数y=cos2x=sin(2x+π2)的图象上的所有点沿x轴向右平移π4个单位长度，

可得函数y=sin2x的图象，

故选：A【解析】解：设经过t小时药物失效”，

由0.8(1−20%)t<0.2，即(45)t<14，两边取对数可得，

t>lg14lg【解析】解：∵sinθ，cosθ是方程x2−2sinα⋅x+sin2β=0的两个实根，

则sinθ+cosθ=2sinα，sinθcosθ=sin2β，

∵sin2θ+cos2θ=1，∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y=0.1x，是减函数，若a>b，则有0.1a<0.1b，A错误；

对于B，y=10x，是增函数，若a>b，则有10a>10b，B正确；

对于C，a4+b4−ab3−a3b=a3(a−b)−b3(a−b)=(a−b)(a3−b3)，

由于a>b，则a−b>0，a3−b【解析】解：根据题意，可得小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，

对于A，图中的直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为1，

所以它的另一条直角边长为5−1=2，可得直角三角形的面积S=12×2×1=1，故A项正确；

对于B，由锐角三角函数的定义，可得sinα=15=55，sinβ=25=255，所以sinα=1211.【答案】BCD

【解析】解：由题意可得f(θ)=a+bm=a+ba2+b2=sinθ+cosθ，

A，f(θ)=sinθ+cosθ=2sin(θ+π4)，

因为f(π2)=1，不是函数的最值，显然x=π2不是函数的最值，A错误；

B，y=f(θ)f(−θ)=(sinθ+cosθ)(−sinθ+cosθ)=cos2θ，周期为π，B正确；

C，f(θ)+f2(θ)+f2(θ)=sinθ+cosθ+(sinθ+cosθ)2=1+sinθ+cosθ+2sinθcosθ，

令t=sinθ+cosθ，则t2=1+2sinθcosθ，

所以2sinθcosθ=t2−1，

f(θ)+f2(θ)+f2【解析】解：−a=4，

则a=−4，集合B={−4,19}，

不满足A∪B={1,2,4}，舍去，

当a2+3=4，

则a=1或a=−1，

当a=1时，集合B={−1,4}，不满足A∪B={1,2,4}，舍去，

当a=−1时，集合B={1,4}，满足A∪B={1,2,4}，符合题意，

综上所述，a=−1．

故答案为：−1．

13.【答案】【解析】解：因为x+lny=1，所以lny=1−x，所以y=e1−x，

所以ex+y=ex+e1−x≥2ex⋅e1−x=2ex+1−x=2【解析】解：因为直三棱柱的密闭容器的底面边长为63，且为正三角形，容器的高为6，

小球的半径为1，则小球在这个容器内向各个方向自由滚动时，

小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分．

上下底面部分是正三角形，边长为63−2×1tan30∘=43，面积为2×34×43×43=243；

侧面部分是底边长为43，高为4的矩形，面积为3×43×4=483．

则小球能接触到的容器内壁的最大面积为243+483=723．

故答案为：723．

15.【答案】解：(1)函数f(x)在[−1,1]上单调递增，

证明：任取x1<x2∈[−1,1]，

则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=x1(1+x22)−x2(1+x12)(1+x12)(1+x22)

=(x【解析】(1)先判断然后利用单调性的定义即可得证；

(2)由题可得g(x)=x4+216.【答案】解：(1)由题意，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3，

DP=λDC,BQ=λBC,0≤λ≤1，

则AP⋅AQ=(AD+DP)⋅(AB+BQ)

=AD⋅λBC+λDC⋅【解析】(1)由向量的线性运算和数量积运算即可求解；

(2)由向量加法的平行四边形法则即可求解．

17.【答案】解：(1)由题f(π6)=34+a⋅32−a2=−34，

即a2−32a−32=0，解得a=−32，

所以f(x)=1+cos2x2−32sin2x−34=−sin(2x−π6)−14，

令2kπ−π2≤2x−π【解析】(1)f(π6)=−34可得a=−32，然后将a代入原函数化简可得f(x)=−sin(2x−π6)−14，再利用三角函数的单调性即可求解；

(2)18.【答案】解：(1)因为过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F，G，

故CD⊥EF，CD⊥EG，CD⊥FG，

在平面ACD内，过E作CD的垂线，垂足为G，

由AE=2EC，可知EC=2，结合△ACD为等边三角形，可知CG=1，

过G作CD的垂线，交BC于F，

结合∠DCB=60°，可知CF=2，FG=3；

(2)取CD中点M，则CD⊥AM，CD⊥BM，

故∠AMB为二面角A−CD−B的平面角，

易知AM=BM=33，

由余弦定理得cos∠AMB=−12；

(3)设C到平面DEF的距离为ℎ，则由VC−DEF=VE−CDF，

可得S△DEF⋅ℎ=S△CDF⋅EG⋅sin2π3，

由余弦定理得DE2=CD2+CE2−2CD⋅CEcosπ3=28【解析】(1)由题设条件，用几何法即可求得FG的长；

(2)取CD中点M，可得∠AMB为二面角A−CD−B的平面角，由余弦定理即可求得；

(3)由等体积法即可求得点C到平面DEF的距离．

19.【答案】解：(1)g(x)与ℎ(x)关于f(x)是“1维交换”，

理由如下：因为f(g(x))=(x+1)2，ℎ(f(x))=x2−1，

令f(g(x))=ℎ(f(x))，

所以(x+1)2=x2−1，

解得x=−1，所以f(g(x))=ℎ(f(x))有唯一解x=−1，

所以g(x)与ℎ(x)关于f(x)“1维交换”．

(2)由题意可知，对任意的x∈R，f(g(x))=ℎ(f(x))成立，

即对任意的x∈R，a[(x2+bx−1)2+2]=ℎ(a(x2+2))因为ℎ(x)为函数，

且ℎ(a(−x)2+2)=ℎ(a(x2+2))，

故b=0，

故a[(x2−1)2+2]=ℎ(a(x2+2))，

即a[(a(x2+2)a−3)2+2]=ℎ(a(x2+2))，

所以ℎ(x)=a[(xa−3)2+2]=x2a−6x+11a，

综上所述，b=0．

(3)由