2023-2024学年广东省阳江市高二下学期期末测试数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省阳江市高二下学期期末测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x∈N|x2−x−6<0}，则A∩B=A.{1,2} B.{0,1,2} C.{−1,0,1} D.{−1,0,1,2}2.双曲线E:x29−A.y=±14x B.y=±12x3.已知n为平面α的一个法向量，l为一条直线，m为直线l的方向向量，则“m→⊥n→”是“l/​/αA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是(

)A.若随机变量X~B10,12，则E(X)=5．

B.若随机变量X的方差D(X)=1，则D3X+1=10．

C.若P(A)=0.6，P(B)=0.4，PBA=0.4，则事件A与事件B独立．

D.若随机变量5.2−3x2(1+x)5A.17 B.20 C.75 D.1006.已知正数x，y满足x+y=2，则x2+y2A.1,4 B.0,4 C.[1,4) D.[1,3)7.若函数f(x)=x+3x,x≤013A.4 B.5 C.6 D.78.记[x]表示不超过x的最大整数，<x>=x−[x]，如[2.4]=2，<2.4>=0.4，已知数列{an}的通项公式为an=13n−2，数列A.23 B.22 C.24 D.25二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若直线y=kx与圆(x−2)2+(y+1)2=9相交于A,BA.3 B.4 C.5 D.610.下列定义在(0,+∞)上的函数f(x)中，满足∀x∈(0,+∞),f(x)+f1x≥2f(1)的有A.f(x)=x B.f(x)=x1+x211.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别为棱DD1,DC的中点，点A.A1B//平面AMN

B.点P的轨迹长度为3π

C.存在点P，使得MP⊥面AMN

D.点P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数fx=x2−1513.已知过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A作直线l交y轴于点M14.现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则PBA=

，PAB四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求an(2)若数列bn满足bn=1anan+216.(本小题15分)在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面为矩形，AB=3AD=3a，AA1=ℎ，(1)求证：平面A1OE⊥平面(2)若ℎa=62，求平面17.(本小题15分)已知函数fx(1)若a=1，求曲线y=fx在点1,f(2)求函数fx(3)若fx≥0恒成立，求实数a18.(本小题17分)时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：主播的学历层次直播带货评级合计优秀良好本科及以上6040100专科及以下3070100合计90110200(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？(2)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数X的概率分布和数学期望；(3)统计学中常用RBA=PBAPBA表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当RBA≥1.35时，我们认为事件A条件下B发生有优势．现从这200人中任选附：χ2=

α=P0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(本小题17分)如图，抛物线Γ:y2=2px(p>0),M(2,1)是抛物线内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1,l2，设l1与抛物线Γ相交于点A,B,l2与抛物线Γ相交于点(1)求抛物线Γ的方程；(2)求AC⋅DB的最小值．答案解析1.B

【解析】解：B={x∈N|x2−x−6<0}={x∈N|−2<x<3}={0,1,2}，

所以A∩B={0,1,2}，

2.C

【解析】解：由双曲线

E:x29−y2所以双曲线的渐近线方程为

y=±bax=±2x

．

3.B

【解析】解：若

n为平面α的一个法向量，

m→⊥n→，则l/​/α或l⊂α，

若n为平面α的一个法向量，l/​/α，则m→⊥n→，

故“4.B

【解析】解：对于A，因为随机变量X~B(10,12),

所以E(X)=10×12=5，故A正确；

对于B，D(3X+1)=9D(X)=9，故B错误；

对于C，由P(B|A)=P(AB)PA,得P(AB)=P(B|A)P(A)=0.24,

因为P（A）P(B)=P(AB),

所以事件A

与事件B

独立，故C正确；

对于D，因为P(X<10)=0.8,所以P(X≥10)=1-0.8=0.2.

因为随机变量X服从正态分布N(6,σ2),

所以P(X≤2)=P(X≥10)=02.

所以P(2<X<6)=15.A

【解析】解：因为(2−3x2)(1+x)5=2(1+x)5−3x2(1+x)5，

(1+x)5的通项为：Tr+1=C5rxr6.C

【解析】解：因为

0<xy≤(x+y)24=1

，即

0<xy≤1

所以

x2+y2−xy=(x+y)7.C

【解析】解：根据指数函数性质y=3x在−∞,0上单调递增，

且y=x在故当x≤0时，则fx=x+3f0根据零点存在定理，fx在−∞,0则当x>0时，fxx>0时，f′x令f′x>0，则x>2

；f′xfx在(0,2)上单调递减，在2,+∞于是x>0时，f(x)有最小值f(2)，依题意，f2=a−163>0故选：C8.D

【解析】解：由<an>=an−[an]，可知bn=2[an]−3<an>=5[an]−3an，

记数列{an}和{[an]}的前9.BCD

【解析】解：根据题意，可得直线y=kx经过原点O(0,0)，

圆C：(x−2)2+(y+1)2=9，圆心为C(2,−1)，半径r=3．

当直线经过点C时，直线被圆截得的弦长为圆的直径2r=6，此时弦长达到最大值；

|OC|=22+12=5，当直线与OC垂直时，

直线被圆截得的弦长为2r2−|OC|2=29−5=4，此时弦长达到最小值．

综上所述，直线y=kx10.ACD

【解析】解：对于A，f(x)=x，则f(x)+f(1x)=x+1x≥2=2f(1)，当且仅当x=1时，等号成立，满足条件；

对于B，f(x)=x1+x2，则f(x)+f(1x)=x1+x2+1x1+1x2=2x1+x2=2x+1x≤1=2f(1)，

当且仅当x=1时，等号成立，不满足条件；

对于C，f(x)=cosπx11.AD

【解析】解：对于A，由正方体的性质可知，

A1B

‖

D1C

，因为点M，N分别为棱

DD1,DC

的中点，所以

MN

‖

D1C

，所以

A1B

‖

MN

，因为

A1B⊄

平面

AMN

，

MN⊂

平面

AMN

，所以

A1B

‖平面AMN

，所以A正确；

对于B，因为

D1P=MP2−D1对于C，以

D

为原点，

DA,DC,DD1

所在的直线分别为

x,y,z

则

A(2,0,0),M(0,0,1),N(0,1,0),D1(0,0,2)

，设

AM=(−2,0,1),AN因为

MP⊥

面

AMN

，

AM,AN⊂

面

AMN

，所以

MP⊥AM

，

MP⊥AN

，所以

MP⋅AM=−2x+1=0MP⋅AN=−2x+y=0

，解得

所以

D1P=(12,1,0)

，所以

D1P=14+1=52≠3

，所以不存在点

P

，使得

MP⊥

面

AMN

，所以C错误；

对于D，设平面

AMN

的法向量为

m=(x1,y1,z1)

，则

m⋅AM=−2x1+z1=0m⋅AN=−2x1+y1=0

，令

x1=1

，则

m=(1,2,2)

，因为

MP=(x,y,1)

，所以点

12.3

【解析】解：f′x令f′x>0，得x>3或x<−5，令f′x所以函数fx在−∞,−5,3,+∞所以函数fx=x故答案为：3．13.2【解析】解：不妨设A(a,0)，M(0,a)，

因为|MN|=2|NA|，所以N(2a3,a3)，

代入椭圆x2a2+y2b14.12【解析】解：p(A)=C22C32=13，p(AB)=C215.解：(1)因为Sn=12n2+12n，

所以当n=1时，a1=S1=1，

当n⩾2时，an=Sn−Sn−1【解析】本题考查数列的递推关系及通项公式的求解，等差数列的判定，以及裂项相消法求和的应用，属于中档题．(1)由已知通过数列的递推关系可得数列的通项公式；

(2)分类讨论n的奇偶，然后结合裂项相消法求和及等比数列求和求解即可．16.解：(1)证明：由题可得OE⊥CD，

因为DD1⊥平面ABCD，OE⊂平面ABCD，

所以DD1⊥OE，

又因为DD1∩CD=D，DD1，CD⊂平面CDD1C1，

所以OE⊥平面CDD1C1，

因为OE⊂平面A1OE，

所以平面A1OE⊥平面CDD1C1．

(2)以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

因为ℎa=62，所以不妨取a=2,ℎ=6，

由已知得A1(2,0,6)，D1(0,0,6)，O1,3,0，C0,23,0，E0,3,0，B2,23,0，

所以【解析】本题主要考查面面垂直的判断，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．

(1)可证OE⊥平面CDD1C1，利用面面垂直的判定定理，可证平面A1OE⊥平面CDD117.(1)当

a=1

时，

fx=x−1−lnx

，

f′所以

f1=0

，

f′1=0

，即切点坐标为

1,0

，切线的斜率所以曲线

y=fx

在点

1,f1

处的切线方程为(2)由题意得：

fx

的定义域为

0,+∞

，

f′x当

a≤0

时，

f′x<0

，则

fx

单调递减区间为

当

a>0

时，令

f′x=0

，解得：

x=所以当

x∈0,1a

时，

当

x∈1a,+∞

时，

所以

fx

的单调递减区间为

0,1a

，单调递增区间为

综上所述：

a≤0

时，则

fx

的单调递减区间为

0,+∞

a>0

时，

fx

的单调递减区间为

0,1a

，单调递增区间为

(3)当

a≤0

时，

f2=a−当

a>0

时，由(1)知

f(x)min则

1−a+lna≥0令

ga=1−a+lna

，则所以当

a∈0,1

时，

g′a当

a∈1,+∞

时，

g′a所以

ga

在

0,1

上单调递增，在

1,+∞

所以

g(a)max所以

a=1

，实数

a

的取值集合为

1

【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．

(1)求出函数的导数，分别计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；

(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

(3)根据函数的单调性求出a的范围即可．18.解：(1)由题意得

χ2=由于

18.182>10.828

，依据小概率值

α=0.001

的独立性检验，可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；(2)按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，随机变量

X

的可能取值为1，2，3，PX=1=C31⋅PX=3=所以

X

的分布列为：X123P331所以数学期望

EX=1×(3)

R(B|A)=P(B|A)P(因为

1.75>1.35

，所以认为在事件

A

条件下

B

发生有优势．

【解析】本题考查独立性检验，考查条件概率，以及离散型随机变量分布列和期望，属于中档题．

(1)计算出卡方，即可判断；(2)首先求出直播带货优秀与良好的人数，则X

的可能取值为1

，2

，3，求出所对