2023-2024学年福建省福州市闽清一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州市闽清一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1+2i)z=|3−4i|，z的共轭复数为z−，则z⋅z−A.6 B.5 C.4 D.32.已知向量a=(3,4)，b=(1,0)，c=a−tb，若A.73 B.253 C.3 3.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是(

)A.α/​/β，m/​/α，则m//β

B.m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，则α/​/β

C.α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

D.m⊥α，m/​/n，α/​/β，则n⊥β4.一个笼子里有3只白兔，3只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是(

)A.45 B.35 C.125.函数y=1x4−1A. B.

C. D.6.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台ABCD−A1B1C1D1，上下底面的中心分别为O1和O，若AB=2AA.2023 B.28237.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱DD1的中点，N为棱BC1A.2

B.32

C.1

D.8.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，M是面BCC1B1A.2 B.3+1 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如下所示，则(

)A.f(x)的图象关于直线x=6对称

B.f(x)的图象关于点(π6,0)对称

C.f(x)在区间(−π6,π6)上单调递增

D.

10.掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则(

)A.事件A与B是独立事件 B.事件B与C是互斥事件

C.事件C与D是对立事件 D.D⊆A∩B11.如图，已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A.直线AD1与直线DP所成角的大小不变

B.平面PBD1⊥平面A1C1D

C.点P到平面A1C1D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是23，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是115.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是35，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有13.已知菱形ABCD的边长为2，且∠BAD=60°，将△ABD沿直线BD翻折为△ABD，记AC的中点为M，当△ACD的面积最大时，三棱锥M−BCD的外接球表面积为______．14.如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处B的距离(AB垂直于水平面)，研究人员在距D研究所200m处的观测点C处测得山顶A的仰角为30°，山脚B的俯角为15°.若该研究员还测得B到C处的距离比到D处的距离多80m，且∠BCD=60°，则AB=______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，a+bc=sinC−sinBsinA−sinB．

(1)求△ABC外接圆的周长；

(2)若b=116.(本小题15分)

已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，M是DD1的中点．

(Ⅰ)求证：BD1//平面AMC；

(Ⅱ)求证：AC⊥BD1；

(Ⅲ17.(本小题15分)

某大型连锁超市为了解客户去年在该超市的消费情况，随机抽取了100位客户进行调查、经统计，这100位客户去年到该超市消费金额(单位：万元)均在区间[0.2,1.4]内，按[0.2,0.4]，(0.4,0.6]，(0.6,0.8]，(0.8,1.0]，(1.0,1.2]，(1.2,1.4]分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)求该频率分布直方图中a的值，并估计这100位客户去年到该超市消费金额的平均数x−；(同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作为代表)

(2)为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间(0.4,0.6]和(0.6,0.8]内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机抽取2人作为“幸运客户”，求“幸运客户”中恰有1人来自区间(0.4,0.6]的概率．18.(本小题17分)

如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E为AC的中点，将△ACD沿AC翻折使点D至点D′．

(1)求证：平面BD′E⊥平面ABC；

(2)若三棱锥D′−ABC的体积为223，求二面角D′−AB−C的余弦值．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x−1)⋅|x−a|−1，a∈R．

(1)若a=0，解不等式f(x)<1；

(2)若函数f(x)恰有三个零点x1，x2，x3答案解析1.B

2.B

3.D

4.B

5.C

6.B

7.C

8.B

9.CD

10.AB

11.ABC

12.133013.6π

14.28015.解：(1)因为a+bc=sinC−sinBsinA−sinB，

由正弦定理得a+bc=c−ba−b，

整理得b2+c2−a2=bc，

由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=12，

且A∈(0,π)，则A=π3．

又因为a=2，由正弦定理得△ABC外接圆的半径r=12×asinA=233，

所以△ABC外接圆的周长为2πr=4316.(本小题满分14分)

(Ⅰ)证明：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，连结BD交AC于N，连结MN．

因为ABCD为正方形，所以N为BD中点．…(1分)

在△DBD1中，因为M为DD1中点，

所以BD1//MN.…(2分)

因为MN⊂平面AMC，BD1不包含于平面AMC，…(4分)

所以BD1//平面AMC.…(5分)

(Ⅱ)证明因为ABCD为正方形，

所以AC⊥BD.…(6分)

因为DD1⊥平面ABCD，

所以DD1⊥AC.…(7分)

因为DD1∩BD=D，…(8分)

所以AC⊥平面BDD1.…(9分)

因为BD1⊂平面BDD1，

所以AC⊥BD1.…(10分)

(Ⅲ)解：当λ=12，即点P为线段BB1的中点时，平面A1PC1//平面AMC.…(11分)

因为AA1/​/CC1，且AA1=CC1，

所以四边形17.解：(1)由题可知，0.2×(a+1.0+1.5+0.9+a+0.3)=1，

解得a=0.65，

由频率分布直方图可得x−=0.3×0.65×0.2+0.5×1.0×0.2+0.7×1.5×0.2+0.9×0.9×0.2+1.1×0.65×0.2+1.3×0.3×0.2=0.732，

因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.732万元；

(2)记“幸运客户中恰有1人来自区间(0.3,0.4]”为事件A，

因为区间(0.4,0.6]和(0.6,0.8]频率之比为2：3，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，

故从分组区间(0.4,0.6]中抽取2人，分别记为A1，A2，从分组区间(0.6,0.8]中抽取3人，分别记为B1，B2B3，

从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，

则样本空间Ω={(A1,A2)，(A1,B1)(A1,B2)，(A1,B3)，18.(1)证明：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴△ABC和△ACD均为等边三角形，∴△ACD′也为等边三角形，

又E为AC的中点，∴BE⊥AC，D′E⊥AC，

∵BE∩D′E=E，BE、D′E⊂平面BD′E，

∴AC⊥平面BD′E，

∵AC⊂平面ABC，

∴平面BD′E⊥平面ABC．

(2)解：过D′作D′M⊥BE于点M，

∵平面BD′E⊥平面ABC，D′M⊂平面BD′E，

∴D′M⊥平面ABC，

由题意知，△ABC是边长为2的等边三角形，

∴S△ABC=12×2×2×32=3，

∴VD′−ABC=13⋅S△ABC⋅D′M=13⋅3⋅D′M=223，即D′M=263，

过M作MN⊥AB于点N19.解：(1)当a=0时，原不等式可化为(x−1)|x|−2<0…①．

(ⅰ)当x≥0时，①式化为x2−x−2<0，解得−1<x<2，所以0≤x<2；

(ⅱ)当x<0时，①式化为x2−x+2>0，解得x∈R，所以x<0．

综上，原不等式的解集为(−∞,2)；

(2)依题意，f(x)=−x2+(a+1)x−a−1,x<