中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题三集合的运算及充要条件(原卷版+解析)

专题三集合的运算及充要条件思维导图知识要点知识要点1．交集(1)定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2)性质：①A∩A＝A；②A∩B＝B∩A；③A∩∅＝∅；④A∩B⊆A；A∩B⊆B；⑤A⊆B⇔A∩B＝A.2．并集(1)定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由集合A，B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(2)性质：①A∪B＝B∪A；②A∪A＝A，A∪∅＝A；③A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；④A⊆B⇔A∪B＝B.3．补集(1)全集：研究某些集合时，这些集合常是一个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，一般用U来表示，在研究数集时，常把实数集R作为全集．(2)定义：如果集合A是全集U的子集，那么由U中不属于A的所有元素组成的集合叫做A在全集U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集”，即A＝{x|x∈U且x∉A}．(3)性质：①A∪A＝U；②A∩A＝∅；③(A)＝A.4．充要条件p是q的……条件，p是条件，q是结论．充分pq：p是q的充分不必要条件（充分条件）；不必要不充分pq：p是q的必要不充分条件（必要条件）；必要充分pq：p是q的充分必要条件（充要条件）；必要不充分pq：p是q的既不充分也不必要条件.不必要典例解析典例解析【例1】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，3，4，5，6}，求A∩B，A∪B.变式训练1已知A＝{平行四边形}，B＝{对角线相等的四边形}，C＝{对角线互相垂直的四边形}，求A∩B，A∪C，B∩C.【例2】已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|－1≤x≤2}，求A∩B，A∪B.变式训练2已知集合A＝{x|－x＋1＝0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围是________．【例3】设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，求A∩B.变式训练3设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，4}，A的所有真子集个数是()A．3 B．6 C．7 D．8【例4】设全集U＝R，A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|x>0}，求A∩B，A∪B，A∪B.变式训练4已知集合A＝{x|2≤3x－1≤8}，B＝{x|2x－1<5}，C＝{x|x≤a或x≥a＋1}．(1)求A∩B，A∪B；(2)若(C)⊆A，求实数a的取值范围．【例5】已知集合A＝{x|2＋x＋m＝0}，B＝{x|2＋nx＋2＝0}，且A∩B＝，求实数m，n的值，并求出A∪B.变式训练5已知全集U＝{x|x<6且x∈N*}，A＝{x|－5x＋p＝0，x∈U}，求实数p的值及相应的∁UA.【例6】指出下列各组命题中条件p是结论q的什么条件．(1)p：a＝0且b＝0，q：＋＝0； (2)p：x<3，q：x<－2；(3)p：x＋y＝0，q：－＝0； (4)p：＋5x＋6>0，q：x＋2>0；(5)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(6)p：ab≠0，q：a≠0.变式训练6“m≤1”是方程“－2x＋m＝0”有实根的(C)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件高考链接高考链接1．(四川省2016年对口升学考试试题)设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－1，0，1}，则A∩B＝()A．∅ B．{0，1}C．{－1，0，1} D．{0，1，2，3}2．(四川省2019年对口升学考试试题)已知集合A＝{－2，2}，B＝{－1，2}，A∪B＝()A．{2} B．{－2，－1}C．{－2，2} D．{－2，－1，2}3．(四川省2015年对口升学考试试题)“x<2”是“x2－x－2<0”的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．(四川省2017年对口升学考试试题)已知a，b，c∈R，则“ac＝”是“a，b，c成等比数列”的()A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件同步精练同步精练选择题1．已知集合M＝{x|x＞5}，N＝{x|x＜4}，则M∩N等于()A．M B．NC．∅ D．{x|x＜4或x＞5}2．设集合A＝{x|＋x－2＝0}，B＝{x|2＋x－3＝0}，则A∪B等于()A．{1，－2} B．{1}C．{1，－2，－3} D．{－2，－，1}3．A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈N*|x－1≤2}，则A∩B等于()A．{0，1，2} B．{0，1，2，3}C．{1，2，3} D．{1，2}4．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩∁UB等于()A．{x|2≤x＜3} B．{x|2＜x≤3}C．{x|x＜2} D．R5．在△ABC中，“cosA＝cosB”是“A＝B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．设U为全集，P，Q为两个非空集合，且满足P∩Q＝P，则下列结论正确的是()A．PQ B．PQC．P＝Q D．P∩∁UQ＝∅7．设集合M＝{(x，y)|＋＝1}，N＝{(x，y)|y＝x}，则M∩N等于()A．x＝，y＝ B.C. D.8．已知集合M＝{x|＋2x－3<0}，N＝{x||x|<}，则M∪N等于()A．{x|－<x<1} B．{x|－<x<}C．{x|－3<x<1} D．{x|－3<x<}9．命题“sinα＝”是命题“α＝”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件填空题10．设全集U＝{x|－5<x≤7}，A＝{x|0≤x<4}，则∁UA＝.【提示】利用数轴．方程a＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是．解答题12．设集合A＝{x|＋4x＝0}，B＝{x|＋2(a＋1)x＋－1＝0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．13.已知集合A＝{x|3<x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m＋1}(1)若m＝2，求A∩B，A∪B； (2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．14．判断下列各组命题中，p是q的什么条件．(1)在△ABC中，p：a＞b，q：sinA＞sinB；(2)p：(x－1)(x－5)＝0，q：x＝5；(3)p：|x|≤2，q：－2≤x≤2；(4)p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；(5)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(6)p：a>3，b>2，q：a＋b>5.15．已知集合P＝{x|－ax＋a2－19＝0}，Q＝{x|(x2－5x＋8)＝1}，T＝{x|＝1}，且(P∩Q)∅，P∩T＝∅，求实数a的值．专题三集合的运算及充要条件思维导图知识要点知识要点1．交集(1)定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2)性质：①A∩A＝A；②A∩B＝B∩A；③A∩∅＝∅；④A∩B⊆A；A∩B⊆B；⑤A⊆B⇔A∩B＝A.2．并集(1)定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由集合A，B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(2)性质：①A∪B＝B∪A；②A∪A＝A，A∪∅＝A；③A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；④A⊆B⇔A∪B＝B.3．补集(1)全集：研究某些集合时，这些集合常是一个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，一般用U来表示，在研究数集时，常把实数集R作为全集．(2)定义：如果集合A是全集U的子集，那么由U中不属于A的所有元素组成的集合叫做A在全集U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集”，即A＝{x|x∈U且x∉A}．(3)性质：①A∪A＝U；②A∩A＝∅；③(A)＝A.4．充要条件p是q的……条件，p是条件，q是结论．充分pq：p是q的充分不必要条件（充分条件）；不必要不充分pq：p是q的必要不充分条件（必要条件）；必要充分pq：p是q的充分必要条件（充要条件）；必要不充分pq：p是q的既不充分也不必要条件.不必要典例解析典例解析【例1】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，3，4，5，6}，求A∩B，A∪B.【思路点拨】根据交集和并集的定义进行解题．答案：解：A∩B＝{1，2，3，4，5}∩{2，3，4，5，6}＝{2，3，4，5}，A∪B＝{1，2，3，4，5}∪{2，3，4，5，6}＝{1，2，3，4，5，6}．变式训练1已知A＝{平行四边形}，B＝{对角线相等的四边形}，C＝{对角线互相垂直的四边形}，求A∩B，A∪C，B∩C.解：B＝{矩形}，C＝{菱形}，∴A∩B＝{矩形}，＝{平行四边形}，B∩C＝{正方形}．【例2】已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|－1≤x≤2}，求A∩B，A∪B.【思路点拨】求交集和并集时，注意是否包含端点．答案：解：A∩B＝{x|－1≤x≤1}，A∪B＝{x|－2<x≤2}．变式训练2已知集合A＝{x|－x＋1＝0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围是________．解：∵A∩R＝∅⇒A＝∅，∴Δ<0⇒m－4<0，∴m<4，又m≥0，故m的取值范围为[0，4)．【例3】设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，求A∩B.【思路点拨】先联立方程组解出x，y，再求出A∩B.答案：解：解方程组得则A∩B＝{(1，2)}．变式训练3设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，4}，A的所有真子集个数是()A．3 B．6 C．7 D．8【例4】设全集U＝R，A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|x>0}，求A∩B，A∪B，A∪B.【思路点拨】画出数轴并将集合在数轴上表示出来．答案：解：A∩B＝{x|0<x≤5}，A∪B＝{x|x>－3}，B＝{x|x≤0}，∴A∪B＝{x|x≤5}．变式训练4已知集合A＝{x|2≤3x－1≤8}，B＝{x|2x－1<5}，C＝{x|x≤a或x≥a＋1}．(1)求A∩B，A∪B；(2)若(C)⊆A，求实数a的取值范围．解：(1)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x<3}，A∩B＝{x|1≤x<3}，A∪B＝{x|x≤3}；(2)C＝{x|a<x<a＋1}，∵C⊆A，∴∴解得1≤a≤2.故实数a的取值范围是[1，2]．【例5】已知集合A＝{x|2＋x＋m＝0}，B＝{x|2＋nx＋2＝0}，且A∩B＝，求实数m，n的值，并求出A∪B.思路点拨】已知∈A，∈B，先求出m，n的值，再求出A，B.答案：解：∵A∩B＝，∴∈A且∈B，∴解得∴A＝{x|2＋x－1＝0}＝B＝{x|2－5x＋2＝0}＝∴A∪B＝变式训练5已知全集U＝{x|x<6且x∈N*}，A＝{x|－5x＋p＝0，x∈U}，求实数p的值及相应的∁UA.解：全集U＝{1，2，3，4，5}，方程－5x＋p＝0的两根之和为5，可得两根为2，3或1，4，即有p＝2×3＝6；A＝{2，3}，∁UA＝{1，4，5}；或p＝1×4＝4；A＝{1，4}，∁UA＝{2，3，5}．【例6】指出下列各组命题中条件p是结论q的什么条件．(1)p：a＝0且b＝0，q：＋＝0； (2)p：x<3，q：x<－2；(3)p：x＋y＝0，q：－＝0； (4)p：＋5x＋6>0，q：x＋2>0；(5)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(6)p：ab≠0，q：a≠0.【思路点拨】根据“充分条件”“必要条件”和“充要条件”的定义进行解题．答案：解：(1)∵p⇔q，∴p是q的充要条件．(2)∵p⇐q，∴p是q的必要条件． (3)∵p⇒q，∴p是q的充分条件．(4)∵p⇐q，∴p是q的必要条件． (5)∵p⇐q，∴p是q的必要条件．(6)∵p⇒q，∴p是q的充分条件．变式训练6“m≤1”是方程“－2x＋m＝0”有实根的(C)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件高考链接高考链接1．(四川省2016年对口升学考试试题)设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－1，0，1}，则A∩B＝(B)A．∅ B．{0，1}C．{－1，0，1} D．{0，1，2，3}2．(四川省2019年对口升学考试试题)已知集合A＝{－2，2}，B＝{－1，2}，A∪B＝(D)A．{2} B．{－2，－1}C．{－2，2} D．{－2，－1，2}3．(四川省2015年对口升学考试试题)“x<2”是“－x－2<0”的(A)A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．(四川省2017年对口升学考试试题)已知a，b，c∈R，则“ac＝”是“a，b，c成等比数列”的(C)A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件同步精练同步精练选择题1．已知集合M＝{x|x＞5}，N＝{x|x＜4}，则M∩N等于(C)A．M B．NC．∅ D．{x|x＜4或x＞5}2．设集合A＝{x|＋x－2＝0}，B＝{x|2＋x－3＝0}，则A∪B等于(D)A．{1，－2} B．{1}C．{1，－2，－3} D．{－2，－，1}【提示】A＝{－2，1}，B＝3．A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈N*|x－1≤2}，则A∩B等于(C)A．{0，1，2} B．{0，1，2，3}C．{1，2，3} D．{1，2}4．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩∁UB等于(A)A．{x|2≤x＜3} B．{x|2＜x≤3}C．{x|x＜2} D．R5．在△ABC中，“cosA＝cosB”是“A＝B”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．设U为全集，P，Q为两个非空集合，且满足P∩Q＝P，则下列结论正确的是(D)A．PQ B．PQC．P＝Q D．P∩∁UQ＝∅【提示】由P∩Q＝P推出P⊆Q，根据Venn图可知，P∩∁UQ＝∅.7．设集合M＝{(x，y)|＋＝1}，N＝{(x，y)|y＝x}，则M∩N等于(D)A．x＝，y＝ B.C. D.【提示】解方程组，解是一组有序实数对．8．已知集合M＝{x|＋2x－3<0}，N＝{x||x|<}，则M∪N等于(D)A．{x|－<x<1} B．{x|－<x<}C．{x|－3<x<1} D．{x|－3<x<}【提示】解不等式得M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－<x<}，∴M∪N＝{x|－3<x<}．9．命题“sinα＝”是命题“α＝”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【提示】sinα＝，α的值不唯一，又∵a＝可推得sinα＝，∴为必要不充分条件．填空题10．设全集U＝{x|－5<x≤7}，A＝{x|0≤x<4}，则∁UA＝__{x|－5<x<0或4≤x≤7}.【提示】利用数轴．方程a＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是___a≤1_____．解答题12．设集合A＝{x|＋4x＝0}，B＝{x|＋2(a＋1)x＋－1＝0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解：∵A＝{x|＋4x＝0}＝{－4，0}，B⊆A，∴B中最多有一个元素或B＝A.(1)当＋2(a＋1)x＋－1＝0有两个相等实根或无实根，即B＝{0}，{－4}或B＝∅，则Δ≤0，∴[2(a＋1)]2－4(－1)≤0，∴a≤－1.(2)当B＝A时，