高考数学大题精做专题08解析几何中的最值范围问题(第五篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题08解析几何中的最值范围问题类型对应典例弦长的最值范围问题典例1三角形面积的最值范围问题典例2四边形面积的最值范围问题典例3参数的最值范围问题典例4【典例1】【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试】已知点，直线为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线与分别交轨迹于四点.求的取值范围.【典例2】【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次质量检查考试】已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围．【典例3】【东北三省四市2019届高三第一次模拟】已知椭圆：的短轴端点为，，点是椭圆上的动点，且不与，重合，点满足，.（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）求四边形面积的最大值.【典例4】【陕西省咸阳市2020届高三模拟】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【针对训练】1.【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且与圆：交于E、F两点，求的取值范围．2.【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查】已知点M(−2,0)是椭圆C:x2a2+y（1）求椭圆C的标准方程；（2）矩形ABCD的四个顶点均在椭圆C上，求矩形ABCD面积的最大值.3．【新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测】已知是椭圆的右焦点,过点的直线交椭圆于两点.是的中点，直线与直线交于点.（Ⅰ）求征：；（Ⅱ）求四边形面积的最小值.4.【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】设椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为，.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于不同的两点M、N，且点O在以MN为直径的圆外（其中O为坐标原点），求的取值范围.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题08解析几何中的最值范围问题类型对应典例弦长的最值范围问题典例1三角形面积的最值范围问题典例2四边形面积的最值范围问题典例3参数的最值范围问题典例4【典例1】【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试】已知点，直线为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线与分别交轨迹于四点.求的取值范围.【思路引导】（1）设动点，则，由展开计算得到的关系式即可；(2)当直线的斜率不存在（或者为0）时，可求出四点坐标，即可得到；当直线的斜率存在且不为0时，设为，直线的方程为，与轨迹的方程联立，结合根与系数的关系可得到+的表达式，然后利用函数与导数知识可求出的取值范围．【详解】（1）设动点，则，由，则，所以，化简得.故点的轨迹的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，轴，可设，，当直线的斜率为0时，轴，同理得，当直线的斜率存在且不为0时，设为，则直线的方程为：，设，由得:，则所以，则，直线的方程为：，同理可得：，所以令，则，，由，得；，得；在上单调递减，在上单调递增，又，故.综上所述，的取值范围是.【典例2】【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次质量检查考试】已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围．【思路引导】（1）求出AB，得到a，然后求解b，即可得到椭圆方程;（2）当直线AB的斜率不存在时，求解三角形面积，设直线CD的方程为y＝k（x+2）（k≠0）．由消去y整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8＝0，△＞0，设C（x1，y1），D（x2，y2），利用弦长公式求解CD，然后求解三角形面积，推出范围即可．【详解】（1）当点的坐标为时，，所以．由对称性，，所以，得将点代入椭圆方程中，解得，所以椭圆方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，此时．当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由消去整理得：．显然，设，则故．因为，所以，所以点到直线的距离即为点到直线的距离，所以，因为，所以，所以．综上，．【典例3】【东北三省四市2019届高三第一次模拟】已知椭圆：的短轴端点为，，点是椭圆上的动点，且不与，重合，点满足，.（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）求四边形面积的最大值.【思路引导】（Ⅰ）设，，结合垂直关系设出两直线的方程，相乘即可得到动点的轨迹方程；（Ⅱ）利用根与系数的关系表示四边形面积，转求函数最值即可.【详解】（Ⅰ）法一：设，，直线直线得又，，整理得点的轨迹方程为法二：设，，直线直线由,解得：，又，故，代入得.点的轨迹方程为法三：设直线，则直线直线与椭圆的交点的坐标为.则直线的斜率为.直线由解得:点的轨迹方程为：（Ⅱ）法一：设，由（Ⅰ）法二得：四边形的面积，，当时，的最大值为.法二：由（Ⅰ）法三得：四边形的面积当且仅当时，取得最大值.【典例4】【陕西省咸阳市2020届高三模拟】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【思路引导】（1）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆C的方程．（2）存在这样的点M符合题意．设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出，通过点N在直线PQ上，求出N的坐标，利用MN⊥PQ，转化求解m的范围．【详解】（1）由得，，，由余弦定理得，，解得，，，所以椭圆的方程为．（2）存在这样的点符合题意.设，，，由，设直线的方程为，由得，由韦达定理得，故，又点在直线上，，所以.因为，所以，整理得，所以存在实数，且的取值范围为.【针对训练】1.【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且与圆：交于E、F两点，求的取值范围．【思路引导】(1)本题首先可以通过离心率为得到，再将点带入椭圆方程中即可得出结果；(2)首先可以通过椭圆方程来确定椭圆的右焦点坐标，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，分别求出在两种情况下的取值范围，最后即可得出结果。【详解】（1）由已知可得，所以，所以椭圆的方程为，将点带入方程得，即，所以椭圆C的标准方程为。（2）椭圆的右焦点为，①若直线的斜率不存在，直线的方程为，则，，，所以，，；②若直线的斜率存在，设直线方程为，设，，联立直线与椭圆方程，可得，则，，所以，因为圆心到直线的距离，所以，所以，因为，所以，综上，。2.【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查】已知点M(−2,0)是椭圆C:x2a2+y（1）求椭圆C的标准方程；（2）矩形ABCD的四个顶点均在椭圆C上，求矩形ABCD面积的最大值.【思路引导】（1）利用点M坐标可得a值，由离心率求c,从而可得椭圆标准方程；（2）设Ax0,解：（1）依题意，M−2,0是椭圆C的左顶点，所以a=2又e=ca=32从而椭圆C的标准方程为x2（2）由对称性可知，设Ax0,y0，其中x0y所以AB=2x0，AD因为S矩形ABCD2=16所以S矩形ABCD2=16而x02∈0,4，故当所以矩形ABCD的面积最大值为4.3．【新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测】已知是椭圆的右焦点,过点的直线交椭圆于两点.是的中点，直线与直线交于点.（Ⅰ）求征：；（Ⅱ）求四边形面积的最小值.【思路引导】（Ⅰ）当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程后可得中点坐标，故可用直线的斜率表示的坐标，求出的斜率后可证.注意直线斜率不存在的情形.（Ⅱ）当直线斜率存在时，利用（Ⅰ）的可以计算，从而得到，当直线斜率不存在时，，故可得最小值.【详解】（Ⅰ）当直线斜率不存在时，直銭与轴垂直，，,当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，设，，，则，，联立得得，，所以直线的方程为，，又，，，；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，直线与轴垂直，，当直线斜率存在时，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，则，，，所以四边形面积的最小值为4.【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】设椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为，.（1）求椭圆C的方程；（2）设直