高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题12.4《概率、随机变量及其分布列》真题+模拟试卷(原卷版+解析)

专题12.4《概率、随机变量及其分布列》真题+模拟试卷第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·全国·高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题（文））生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A． B．C． D．3．(2023·浙江省嘉善中学高三阶段练习）某冷饮店的冰淇淋在一天中销量为200个，三种口味各自销量如表所示：把频率视作概率，从卖出的冰淇淋中随机抽取10个，记其中草莓味的个数为X，则（

）冰淇淋口味草莓味巧克力味原味销量（个）4060100A．5 B．3 C．2 D．14．(2023·湖南师大附中高三阶段练习）自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元.若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（

）A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元5．(2023·福建师大附中高三阶段练习）已知某地区成年女性身高(单位：cm)近似服从正态分布，且，则随机抽取该地区1000名成年女性，其中身高不超过162cm的人数大约为（

）A．200 B．400 C．600 D．7006．(2023·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（

）A． B． C． D．7．(2023·河南·南阳中学高三阶段练习（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（

）A．6 B．5 C．4 D．38．(2023·全国·高三专题练习）在某独立重复实验中，事件，相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中.若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．(2023·江苏淮安·模拟预测）设，这两个概率密度曲线（如图），下列说法正确的是（

）A．B．C．对任意实数D．若，则10．（2023·全国·高三专题练习）若袋子中有2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则（

）A． B．C．X的期望 D．X的方差11．(2023·重庆一中高三阶段练习）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即.若，则下列说法正确的有（

）A． B．C．在上是增函数 D．12．（2023·全国·高三专题练习）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2023·江苏·高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.14．(2023·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．15．（2023·全国·高三专题练习）现有一摸球游戏，规则如下：袋子里有形状和大小完全一样的标有1～6号的6个小球，游戏参与者每次从袋中不放回地摸1个球，若摸到1号球或6号球得2分，摸到3号球、4号球或5号球得1分，摸到2号球得0分，若参与者摸到2号球或摸了三次后不管有没有摸到2号球游戏均结束．记随机变量X为参与者摸球结束后获得的分数，则X的数学期望是__________．16．（2023·全国·高三专题练习）2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特效治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者､疑似的新冠肺炎患者､无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户､不漏一人，在排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023·全国·高考真题（理））11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.18．（2023·北京·高考真题（文））改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．19．（2023·北京·高考真题（理））改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：交付金额（元）支付方式（0,1000]（1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．20．(2023·山东·汶上县第一中学高三开学考试）为了响应2022年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会.该市文明办随机抽取了人的得分（满分：分），统计结果如下表所示：组别频数(1)若此次调查问卷的得分服从正态分布，近似等于样本的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替），求；(2)该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，规定：调查问卷得分不低于的可以用本人手机随机抽取次手机话费奖励，次抽取互不影响，有三种话费奖励金额，每种金额每次被抽到的概率如下表：话费金额/元如果某市民参加调查问卷的得分不低于，记“该市民获得手机话费奖励总金额为”.（i）求时的概率；（ii）证明：.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.21．（2023·江苏·高考真题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．22．(2023·河南·安阳一中高三阶段练习（理））根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230概率其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.(1)若，求和；(2)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等）.①若希望增大，如何调控的值？②是否存在的值使得，请说明理由.专题12.4《概率、随机变量及其分布列》真题+模拟试卷第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·全国·高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A． B． C． D．答案：D【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．2．（2023·全国·高考真题（文））生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A． B．C． D．答案：B分析：本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，所以恰有2只做过测试的概率为，选B．3．(2023·浙江省嘉善中学高三阶段练习）某冷饮店的冰淇淋在一天中销量为200个，三种口味各自销量如表所示：把频率视作概率，从卖出的冰淇淋中随机抽取10个，记其中草莓味的个数为X，则（

）冰淇淋口味草莓味巧克力味原味销量（个）4060100A．5 B．3 C．2 D．1答案：C【详解】按照所给的数据，卖出草莓味冰淇淋的频率为，抽取的草莓味的冰淇淋个数分布列服从超几何分布，按照超几何分布的公式计算即可.分析：由题意可得卖出草莓味冰淇淋的频率为，由于把频率视作概率，故卖出草莓味冰淇淋的概率为，已知Ⅹ表示抽取卖出的冰淇淋中草莓味的个数，则X服从超几何分布，且，，，由超几何分布的定义知，，．所以；故选：C．4．(2023·湖南师大附中高三阶段练习）自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元.若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（

）A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元答案：C分析：根据全概率公式先求任选一人，他是乘观光车登顶的概率为，再结合二项分布求每天的营运票价收入．【详解】从登顶观日出的人中任选一人，他是乘观光车登顶的概率则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是元）故选：C．5．(2023·福建师大附中高三阶段练习）已知某地区成年女性身高(单位：cm)近似服从正态分布，且，则随机抽取该地区1000名成年女性，其中身高不超过162cm的人数大约为（

）A．200 B．400 C．600 D．700答案：D分析：根据正态分布的对称性求出身高不超过162cm的概率为，再求出该地区1000名成年女性身高不超过162cm的大约人数.【详解】因为，所以，则随机抽取该地区1000名成年女性，其中身高不超过的人数服从，所以.故选:D．6．(2023·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用条件概率公式求解即可．【详解】解：事件“甲选择农夫山泉”，则事件“甲和乙选择的饮品不同”，则事件=“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”所以所以，故选：D7．(2023·河南·南阳中学高三阶段练习（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3答案：A分析：由二项分布的方差公式可求出或，又因为可得，所以可求出，再由二项分布的期望即可求出答案.【详解】解：由二项分布的方差公式有，解得:或.而即，解得:所以，从而.故选:A8．(2023·全国·高三专题练习）在某独立重复实验中，事件，相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中.若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．答案：C分析：由题意可知，X、Y、Z均满足二项分布，分别求出，，，，对照四个选项一一验证.【详解】因为，，所以.故A错误；因为，，.故B错误；因为，独立，所以，所以.故C正确；因为，，所以.故D错误.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．(2023·江苏淮安·模拟预测）设，这两个概率密度曲线（如图），下列说法正确的是（

）A．B．C．对任意实数D．若，则答案：AC分析：根据正太分布的相关性质逐一判断即可【详解】因为越小图象越瘦高，所以，故A正确，B错误由图可知，当时，所以，故C正确当时，当时，故D错误故选:AC10．（2023·全国·高三专题练习）若袋子中有2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则（

）A． B．C．X的期望 D．X的方差答案：CD分析：由题意可知4次取球的总分数为X，即为4次取球取到白球的个数，故可确定判断A;由此可计算，判断B;利用二项分布的期望和方差公式计算期望和方差，即可判断C,D.【详解】由题意知从袋子中有放回地随机取球4次，每次取到白球的概率为，取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分，则记4次取球的总分数为X，即为4次取球取到白球的个数，则知，A错误；，B错误；X的期望，C正确；X的方差，D正确，故选：CD．11．(2023·重庆一中高三阶段练习）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即.若，则下列说法正确的有（

）A． B．C．在上是增函数 D．答案：ACD分析：根据正态分布的性质和逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为随机变量服从正态分布，，所以，所以A正确，对于B，因为，，所以B错误，对于C，因为随机变量服从正态分布，，所以当时，随的增大，的值在增大，所以在上是增函数，所以C正确，对于D，因为，所以，所以D正确，故选：ACD12．（2023·全国·高三专题练习）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．答案：ABC分析：对于A选项，由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，则，所以A正确；对于B选项，依题意，利用等比数列的定义即可判断数列是等比数列；对于C，D选项，利用B选项的结论可解得，则当时，，所以，所以C正确，错误.【详解】由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，所以，故A正确；依题意，，则.又时，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确所以，当时，，所以，所以C正确，错误.故选：ABC.第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2023·江苏·高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.答案：分析：分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为个.点数和为5的基本事件有，，，共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为.故答案为：.14．(2023·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．答案：

，

##分析：利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，

所以,故答案为：，.15．（2023·全国·高三专题练习）现有一摸球游戏，规则如下：袋子里有形状和大小完全一样的标有1～6号的6个小球，游戏参与者每次从袋中不放回地摸1个球，若摸到1号球或6号球得2分，摸到3号球、4号球或5号球得1分，摸到2号球得0分，若参与者摸到2号球或摸了三次后不管有没有摸到2号球游戏均结束．记随机变量X为参与者摸球结束后获得的分数，则X的数学期望是__________．答案：##2.8分析：由题知X的可能取值：0，1，2，3，4，5，求得X的分布列，继而运用期望公式可求得答案.【详解】解：由题知X的可能取值：0，1，2，3，4，5，则，．所以X的分布列为：X012345P所以X的数学期望为：．故答案为：．16．（2023·全国·高三专题练习）2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特效治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者､疑似的新冠肺炎患者､无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户､不漏一人，在排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则___________.答案：分析：根据分类加法原理求出检测出3人或检测出4人确定为“感染高危户”的概率，相加得，利用导数求得最大值，从而得结论．【详解】设事件A为：检测了3个人确定为“感染高危户”，事件B为：检测了4个人确定为“感染高危户”；∴，即，，时，，时，，∴在单调递增，在单调递减，时，最大．即.故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023·全国·高考真题（理））11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.答案：（1）；（2）0.1分析：(1)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”所以(2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”所以18．（2023·北京·高考真题（文））改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．答案：（Ⅰ）400人；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.分析：(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；(Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率；(Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可.【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有，所以全校学生中两种支付方式都使用的有（人）.（Ⅱ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为.（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为，因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.19．（2023·北京·高考真题（理））改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：交付金额（元）支付方式（0,1000]（1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.分析：(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(Ⅱ)首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.(Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可.【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：人，则：该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率.(Ⅱ)由题意可知，仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，且X可能的取值为0,1,2.，，，X的分布列为：X012其数学期望：.(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率．学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.20．(2023·山东·汶上县第一中学高三开学考试）为了响应2022年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会.该市文明办随机抽取了人的得分（满分：分），统计结果如下表所示：组别频数(1)若此次调查问卷的得分服从正态分布，近似等于样本的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替），求；(2)该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，