2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 861 直线与直线垂直作业

2020-2021学年新教材人教A版必修第二册8.6.1直线与直线

垂直作业

一、选择题

PA=PB=PC=Z

1、如果P是等边AABC所在平面外一点，且3,AABC边长为

1,那么个与底面ABC所成的角是（）.

A.30。B.45。c.60。D.90。

2、如图，在棱长为1的正方体A8C°-44GA中，P,。分别为叫网上的动

点,则AGPQ周长的最小值为（）

2后_____118爪2V13

A.3B."+2丁C.V3D.3

3、已知正方体-中，E是CO的中点，直线4E与平面8/C所成

角的正弦值为（）

1L显B

A.2B.3c.2D.2

4、如图，在六边形MCOE/中，四边形是边长为2的正方形，和

△COE都是正三角形，以8E和CE为折痕，将六边形ABC。瓦'折起并连接

BD,DF,AC,AE得到如图所示的多面体ABFDCE,其中平面ABF〃平面CDE,

二面角A-BE-C的余弦值为3,则折叠后得到的多面体的体积为（）

8—10近

A.2&B.3c.38D.3

5、在四棱锥石一瓶8中，已知钻=1,BC=—2,CD=­2,Dp4,A=-Wfl.,三角

形BOE是边长为2的正三角形，当四棱锥E-MCD的外接球的体积取得最小值

时，则以下判断正确的是（）

6+收

A.四棱锥E-MCD的体积取得最小值为12,外接球的球心必在四棱锥

E—ABCD内

6+不

B.四棱锥£一筋8的体积取得最小值为4,外接球的球心可在四棱锥

£_ABCD内或外

6+⑨

C.四棱锥E-MCD的体积为12,外接球的球心必在四棱锥E-ABCD内

6+不

D.四棱锥E-MCO的体积为4,外接球的球心可在四棱锥E-ABC。内或

外

6、在正三棱柱ABC-AMG中，4—2,。是处的中点，则异面

直线A。与A。所成的角为（）

7T2L££

A.6B.4c.3D.2

7、下列命题中，加，〃表示两条不同的直线，a、B、/表示三个不同的平面.

①若〃z_La,〃//a,则加J_〃；②若。工丫,八丁,则。/力；

③若m//a,”//a,贝（］〃〃/〃；④若分，ml.af则机

正确的命题是（）

A.①③B.（2X3）C.①④D.②©

8、已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，平面ABC,

PA=AB=BC=2,总与平面P4C所成的角为30。，则球。的表面积为（）

A.6万B.8万c.12乃D.24万

9、在正方体八8C0—A4GR中，点血N分别是直线AD,BC上的动点，点P是

71

△A&A内的动点（不包括边界），记直线AP与MN所成角为e,若0的最小值为i,

则点P的轨迹是（）

A.圆的一部分B.椭圆的一部分

C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分

10、如图，在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）

ABC-44c中，p,E,F分别是AA|,4G,AC的中点.则四棱锥"一石"'片的

体积为（）

V3V326473

A.3B.2c.3D.3

11、已知三棱锥尸一至。的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,AA6c是

边长为2的正三角形，E、尸分别是0A、依的中点，NCEF=90,则球。的体

积为（）

A兀B4娓兀c2屈兀口瓜兀

12、正方体MCD-EFG”的棱长为1,点M在正方体的表面瓦6”上，定义每

一点均在正方体表面上的一条路线为一条路径.已知点M到A的最短路径

”（M,A）等于点M到点G的最短路径"（”，G）.则"（M，G）的最大值为（）

石21+650

A.5B.4c.2D.6

二、填空题

13、若三棱锥P-MC的所有顶点都在球0的球面上，平面ABC,

473

AB=AC=2,NBAC=90°,且三棱锥尸-的体积为3，则球0的体积

为.

14、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为

鳖儒.如图，在鳖麝MCQ中，A3,平面BCD,其三视图是三个全等的等腰直角

三角形，则异面直线AC与3。所成的角的余弦值为.

15、已知三棱锥尸一瓶。的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,AABC是

BE=—PB

边长为2的正三角形，E为PA中点,2,则球。的体积为.

16、如图，已知AB是平面a的一条斜线，8为斜足，AOla,。为垂足，BC为

a内的一条直线，44BC=6（r,N08C=45。，则斜线A3和平面a所成角是

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图，ABCD是圆柱的一个轴截面，点E是上底面圆周上的

一点，己知AB=BC=5,AE=3.

（1）求证：DEJ_平面ABE.

（2）求直线BE与平面ADE所成角的正切值.

18、（本小题满分12分）如图所示，在正方体中，M,N分别是

棱A4和A3上的点，若"MN是直角,则NGMN=.

19、（本小题满分12分）如图，已知三棱锥P-ABC中，平面P4Cj_平面ABC,

AB=AC=BC=PA=2fNPAC=120,PM=3MC

（D证明：BM1/，c；

（2）求直线A8和平面PBC所成角的正弦值.

参考答案

1、答案A

解析详解

如图，易知尸-A5C为正三棱锥，P0*L面ABC,

出与底面ABC所成的角，即为乙4P0,

AO=—AB=—PA=2

33,3,

AO73

cos/PAO=---=——

PA2,

故/R4O=30°.

故选A.

点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹

角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小

线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小

二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可

2、答案B

解析由题意构造出三棱锥，求解展开图中三角形边长，即可得出结论.

详解：连接BCI，BR,将三棱锥展开得到如图所示的平面展开图，

则AGPQ周长的最小值为GG的距离.

在四边形BBRG中，易知BBi=DC,BR=BC]

所以四边形为平行四边形.

又易知BB'1B'D',所以四边形BBRG为矩形，

所以阴即=9()。

又BC)=45。，所以/C|，G=135。，

,AgC巾CC=1BC；+BC：-2BC/BC；.cos135。=,4+2立

Tl-*1''，•

故选：B.

点睛

本题考查了几何体的展开图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.

3、答案B

解析直线片后与平面BiBC所成角即直线4E与平面A,所成角，根据定义找出线面

角即可.

详解

在正方体ABS-ABCQ中，平面8/C〃平面

所以直线A"与平面片8C所成角即直线4"与平面所成角,

连接4比4。，CDJL与平面AAO,

所以NEA°就是直线AE与平面AA°所成角，

DE1

tanZEA.D=---=—产

在MAE4,。中，4。20,

sinZ£AD=-

所以3.

故选：B

点睛

此题考查求直线与平面所成角的大小，根据定义找出线面角即可.

4、答案B

解析多面体ABFDCE的体积转化为两个相等的四棱锥的体积和.

详解:

图⑴

如图(1),设B£CE的中点分别为卜［和N,连接40，"N

由题意得A"LBF,MN±BF,故NNM4为二面角A-BE-C的平面角,

cosZ.NMA=

所以3

过A作A”,MN于H,易证A"，平面BCM,

AM=2x—=V3AH=AM-sinZWA=V5x—=72

因为2,所以3

^A-BCEF

所以

r472_872

2x---=----

故多面体ABFDCE的体积为33.

故选：B

点睛

本题考查平面图形翻折成立体图形、二面角、求多面体体积等基本知识，考查了空间想

象能力，数学运算能力，属于中档题.

5、答案C

解析根据A3?+4)2=802+82=502,得到BCLCD,说明四边形

ABCO有一个外接圆，且圆心为8。的中点设为°、设外接球的球心为°,利用截面

圆的性质，则°。,平面ABCD,设°q=x,同理过。作平面3DE的垂线，垂足为产，

F为正三角形BDE的外心，设。”=',外接球的半径为一，则有

产=12+%2=(4]+/

73),然后根据当四棱锥£一钻8外接球的体积取得最小时，外

接球的半径最小求解.

详解：当四棱锥E-ABCD外接球的体积取得最小时，外接球的半径最小.

由已知得，AB2+AD2=BC2+CD-^BD2,所以BC1CD,

所以四边形A3CD有一个外接圆，且圆心为B。的中点设为,

设外接球的球心为°，则°9，平面ABC。，设。q=x,

过°作平面8OE的垂线，垂足为尸，则尸为三角形8DE的外心，

222

r=1+x+/x2=y2+l>l

设°尸=>\外接球的半径为「，则"3)，所以-33,

X〉且

所以-3,当且仅当丁二°时，外接球的体积取得最小值，此时平面8DEJL平面

户_3

ABCD,r-3

11f./rV2714"1/r_6+V2i

可得四棱锥E-MCO的体积为32I22J12，且外接球

的球心必在四棱锥E-ABCD内.

故选：C

点睛

本题主要考查球的截面性质，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

6、答案C

解析取用G中点E,连接AE,CE,根据正棱柱的结构性质，得出4E//A。，则

CE

tanZCAjE=---

NCRE即为异面直线A£＞与4。所成角，求出AE,即可得出结果.

详解：解：如图，取4G中点E,连接A",CE,

由于正三棱柱AB。—AGG,则即,底面AgG,而AEu底面MG,所以

BBi

由正三棱柱的性质可知，4G为等边三角形，所以且

所以A八平面网"，

而ECu平面BgCC,则AE,成1,则AIE〃AD,ZA,EC=90°

AZCA'£即为异面直线与4。所成角，

lI-tanACA.E=——^―=5/3

又A£=2,AA、=2版,A1E=yl3CE=3,则4七\/3,

ZCAE=——

・・・i3.所以异面直线A。与4。所成的角为3.

故选：C.

点睛

本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力，属于基础题.

7、答案C

解析对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m与平面a内的任意一条直线垂直，由

知，存在直线》ua内，使〃12，所以“工。,机J-”，故①正确；对于②，平面a

与平面£可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m与n可能相交,

可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有及,正

确.故正确命题为①④，选C.

8、答案C

解析取AC中点。，连接80，P。，证明8。_L平面PAC,故尸8为心与平面P4C

所成的角为3。°,球心。在平面ABC的投影为AABC的外心。，计算得到答案.

详解：取AC中点0,连接BD,PDAB=3C=2,则BOIAC.

PAL平面ABC,BOu平面ABC,故R4J_5D.

PAAAC=A>故8。J_平面PAC,故/。尸5为P8与平面PAC所成的角为30。.

71

PB=2^,故8。=夜，PD=#),AC=2血，故'=5.

球心。在平面ABC的投影为AABC的外心D,

OH人AP,AH=HP,OD==AP=1,,,

根据04=0尸知，2，故R-=OZ>+A/y=3,

故球的表面积为4万斤=12万.

故选：C.

点睛

本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心°在平面A8C的投影为AABC的外心。是

解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

9、答案B

解析直线N与MN所成角的最小值是直线与面ABCD所成角，即原问题转化为:

71

直线4尸与面ABCO所成角为5,求点P的轨迹.延长40交面A8CO于点K,则K

在面3CD内的轨迹为圆的一部分，则将点P的轨迹转化为平面截圆锥面所得曲线.

详解：解：

直线AP与MN所成角的最小值是直线4尸与面ABCZ)所成角，

71

即原问题转化为：直线40与面ABC。所成角为5,求点P的轨迹.

延长4P交面ABCD于点K,因为AAJ•面ABC。，

所以24必就是直线AP与面ABCO所成角，

ZA]KA=-=>ZAA]K=-=KA=­A{A

36.AK3

&A

则K在面ABC。内的轨迹为以A为圆心，3为半径的圆的一部分,

4K的轨迹是以为轴的圆锥面的一部分,

...点p是AAg'内的动点（不包括边界），其在AA与D内的轨迹，等价于平面4旦°截

圆锥面所得的曲线，

172

An日A。=—4。］=---

取“臼的中点。，连接设正方体的棱长为1,22

tanZAiAO=>tanNA41K=

7T

->^\A0>AAA.K

2,即圆锥的轴与截面所成的角大于轴与母线的夹角，小于直角,

二平面ABR截圆锥面所得的曲线为椭圆的一部分.

故选：B.

点睛

本题考查线线角、线面角及空间轨迹问题，求解时注意判断截面与圆锥的轴所成角与圆

锥母线与轴所成角的大小关系，中档题.

10、答案C

解析先证明ACJ•平面EFBB,从而得到p到平面EFBB,的距离为AF=1,再利用四

棱锥的体积公式，即可得到答案。

详解

因为AC_L3F,ACA.EF,BFcEF=F,

所以AC工平面EFBBI,所以p到平面EFBB,的距离为AF=1,

2G

又因为比四

2G

Vp-EFBB、=-xlx2V3

所以33

故选：c.

点睛

本题考查四棱锥体积的求解，求解时注意先证明线面垂直，找到高，再代入体积公式求

得答案，考查空间想象能力和运算求解能力。

n、答案D

解析先证得尸3,平面PAC,再求得PA=PB=PC=y^,求得APAC的外接圆半径

「，利用公式VI2J可求得球。的半径，利用球体的体积公式可求得球°的

体积.

详解：取AC的中点。，连接产。、BD,

.；PA=PB=PC,AA3c为边长为2的等边三角形，二尸一ABC为正三棱锥，

:.PDLAC,BDLAC,iPDcBDuD,；.AC工平面PBD,

♦.•依<=平面尸6£>,二尸3_1_71。，

又E、F分别为PA、AB中点，..EF//PB,:.EF工AC,

又EFLCE,CEriAC=C,/"L平面P4C,则平面PAC,

•.•2(=平面尸4°,，24,95,即ZPAB=90°,易知Q4、PB、尸。两两垂直，

-.AB=2,PA=PB,由勾股定理得以2+依2=.2,则PA=PB=0,

所以，PA=PB=PC=V2,

用APAC的外接圆直径为2r=AC=2,即厂=1,

所以，三棱锥P—ABC的外接球半径为YV2)2,

V=-7rR3=—Xf=逐兀

所以，该三棱锥的外接球的体积为3312)

故选:D.

点睛

本题考查三棱锥外接球体积的计算，解答的关键就是推导出线面垂直，考查推理能力与

计算能力，属于中等题.

12、答案B

解析将正方形ABFE和正方形FEHG展开成平面图形，根据d(M,A)等于d(M,G),

求得d(M,G)的最大值.

详解：将正方形ABFE和正方形FEHG展开成平面图形如下图所示.

连接AG交EE于°,根据矩形的对称性可知°是线段环的中点，且O4=OG.

过0作PQLAG,分别交A77,BG于P,Q

由于d(M,A)等于d(M,G),所以M点的轨迹为线段°P,

则d(",G)的最大值为PG=PA.

在RtAAOP中，OELAP,由射影定理得OE2=PEAE,所以

(1Y1

-=PExl=PE=-

⑴4

PG=PA=I+-^-

所以44.

故选：B

点睛

本小题主要考查正方体的侧面展开图，属于中档题.

13、答案祖叵乃

3

解析根据几何体特征补图成长方体，长方体的体对角线就是该锥体外接球的直径，即可

求得体积.

详解

4出

PAL平面ABC,A8=AC=2,ZBAC=90\且三棱锥产一ABC的体积为3,

-x-x2x2xPA=^^

即323解得PA=26,

由题可得PA，.，AC两两互相垂直，

对几何体补图成如图所示的长方体，不共面的四点确定一个球，

所以长方体与三棱锥有同一个外接球，球的直径为长方体体对角线长,

即V^42+AB2+AC2=J12+4+4=2卡),

所以外接球半径为逐，

2075

V----------71

体积

2075

----------71

故答案为：3

点睛

此题考查求三棱锥外接球的体积，关键在于准确求出外接球的半径，解决此类问题，多

做积累，特殊几何体常见的处理办法.

14、答案且

3

解析取8C,CD,BD,的中点“，MQ，P,连接MN,PM,PN,PQ,MQ,根据

三视图可设钻=B°=CD=a,在APMN中，利用余弦定理即可求解.

详解：取8C,CD,BD,AO的中点”，N，Q，P,

连接MN,PM,PN,PQ,MQ,

则肱V//8D,PN//AC,

即异面直线AC与①）所成的角为NPMW,

根据题意，由三视图可知46=80=8,

在APMN中,由余弦定理可得

3a2a2a2

222

/DKJ..PN+MN-PM丁+“一万6

cosNPNM=--------------------------=———；=?———=—

2PN-MN'上aa3

/.,------,—

22.

且

故答案为：3

点睛

本题考查了求异面直线所成的角、余弦定理，属于中档题.

15、答案G

解析由题意画出图形，证明三棱锥为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直,

再由补形法求外接球球0的体积.

详解:解:如图，由PA=P6=PC,△钻c是边长为2的正三角形，可知三棱锥P-MC

为正三棱锥，

则顶点P在底面的射影。为底面三角形的中心，取AB的中点/，连接8°并延长，交

AC于G,

则ACJ_BG,又尸。_LAC,POC\BG=OfBGu平面PBG,尸Ou平面P8G,可

得AC,平面PBG,则尸

”,F分别是必，AB的中点，：・EF〃PB,

BE=—PB-

又2,所以「夕+^炉二台炉即PBLQA,-.■ACC\PA=AtPAu平面

PAC,ACu平面PAC,所以PB_L平面PAC,

•••正三棱锥「一ABC的三条侧棱两两互相垂直，

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，

其直径，2R=7^百丽万N="，

夫=逅V^-7rR3=—/rf—=瓜兀

所以一2,则球。的体积为33(2)

故答案为：娓冗.

点睛

本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属

于中档题.

16、答案45。

解析在平面a内作8八8C,垂足为点。，连接AO,设08=2,计算出3£>、AB,

可求得cos443°的值，由此可求得斜线和平面a所成的角的大小.

详解：如下图所示，在平面〃内作8人8。，垂足为点。，连接AZ),

设08=2,在心△03。中，ZOBD=45°,则8。=0Bcos45=&，

vAO±a,BCua,/.AO±BC,又,.,OZ)_L3C,AOr>OD=OfBC_L平面

AOD

QADu平面AOD,BC±AD;

AB=-BD=2J2

ZABD=60tcos60,

•.•A8_La,所以，直线A5与平面a所成的角为NA8O,

c°sNABO=哟=也

在H/AABO中，AB2,ZABO=45\

因此，直线A6与平面a所成的角为45二

故答案为：45。.

点睛

本题考查直线与平面所成角的计算，考查计算能力，属于中等题.

17、答案（1）证明见解析；（2）|.

（2）根据线面角的定义证出NAE3为直线5E与平面AOE所成角，在R/AA8E中即可

求解.

详解

（1）•.•ABCD是圆柱的一个轴截面，

二A3,平面ADE,又£>Eu平面ADE,

.-.ABIDE，又E是上底面圆周上的一点，A。为直径，

\AEADE,又AEIAB=A,

DE_L平面ABE.

（2）4?_1_平面4。£,

ZAEB为直线BE与平面ADE所成角，

在H/AA8E中，AB=5,AE=3,

点睛

本题考查了线面垂直的判定定理以及求线面角，考查了学生的推理能力，属于基础题.

解